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Hallo liebe Freunde der Nacht,
in meinem Buch steht folgendes:
[mm] y=x*ln(x+e^x)^2=2x*ln(x+e^x)
[/mm]
Kann das stimmen? Oder hat sich da ein Fehler eingeschlichen?
LG und besten Dank im voraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:18 Fr 06.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo liebe Freunde der Nacht,
>
> in meinem Buch steht folgendes:
>
> [mm]y=x*ln(x+e^x)^2=2x*ln(x+e^x)[/mm]
>
> Kann das stimmen? Oder hat sich da ein Fehler
> eingeschlichen?
>
> LG und besten Dank im voraus...
Stimmt nicht.
DieAcht
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Hallo,
kann mir einer erklären welches Gesetz dahinter steht? Wenn ich Werte für x einsetze und mit dem Taschenrechner ausrechne bekomme ich verschiedene Ergebnisse... Wieso bloß? :-(
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:29 Fr 06.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Potenzgesetz der Logarithmusfunktion.
Rechne doch mal vor, dann können wir dir weiterhelfen 
DieAcht
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Also, ich habe ja einen Taschenrechner der eine natürliche Eingabefunktion hat... Wenn ich nun folgendes eingebe:
[mm] 5*ln(5+e^5)^2 [/mm] komme ich auf 126, 66
Bei [mm] 10*ln(5+e^5) [/mm] komme ich aber auf 50, 33
Wie kann das sein?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:11 Fr 06.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich habe mich vertan. Das ist nicht das Logarithmusgesetz.
Geht ja auch nicht, da der Exponent im Logarithmus sein muesste!
Bei deinem Fall:
[mm] \ln{x^a}=a\ln{x} [/mm] mit x,a>0
Du hast aber [mm] \ln^2{x}=\ln{x}*\ln{x} [/mm] mit [mm] x=\ldots
[/mm]
Hier gilt das Potenzgesetz nicht!
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:05 Fr 06.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Die schlampige Schreibweise [mm] $\ln a^2$ [/mm] lässt Unklarheiten aufkommen .....
Es ist [mm] $\ln (a^2)=2*\ln [/mm] (a)$, aber i.a. ist [mm] $(\ln a)^2 \ne [/mm] 2* [mm] \ln(a)$
[/mm]
FRED
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O.K. verstehe... Also besser würde es heißen:
[mm] x*ln((x+e^x)^2)=2x*ln(x+e^x)
[/mm]
Oder wie würde man es exakt schreiben? Im Buch steht es ohne die doppelte Klammer...
LG und besten Dank im Voraus...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 06.12.2013 | | Autor: | abakus |
> O.K. verstehe... Also besser würde es heißen:
>
> [mm]x*ln((x+e^x)^2)=2x*ln(x+e^x)[/mm]
>
> Oder wie würde man es exakt schreiben? Im Buch steht es
> ohne die doppelte Klammer...
>
> LG und besten Dank im Voraus...
Hallo,
das Problem ist weder das Buch noch deine Schreibweise hier.
Das Problem ist, dass du deinem Taschenrechner befohlen hast, den Logarithmus zu quadrieren (statt den Logarithmus des Quadrats zu berechnen).
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Fr 06.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Allgemein gilt [mm] \log_b{x^a}=a*\log_b{x} [/mm] für alle [mm] x,a\in\IR_{>0} [/mm] und für alle [mm] b\not=1.
[/mm]
Man sprich vom natürlichem Logarithmus, wenn die Basis $b:=e$ ist und es gilt:
[mm] \log_e{x^{a}}:=\ln(x^{a}) [/mm] für alle [mm] x,a\in\IR_{>0}
[/mm]
Es geht hier um die Schreibweise, die man auch anders interpretieren kann:
[mm] \alpha) x*\ln(x+e^x)^2=x*\ln(x+e^x)\ln(x+e^x)
[/mm]
[mm] \beta) x*\ln(x+e^x)^2=x*\ln((x+e^x)^2)
[/mm]
Ich tippe auf [mm] \beta, [/mm] denn dann macht das auch alles Sinn, auch wenn ich die Schreibweise nicht in Ordnung finde!
Ich habe [mm] \alpha [/mm] noch nie so gesehen. Meistens sieht man: [mm] x*\ln(x+e^x)\ln(x+e^x)=x*(\ln(x+e^x))^2=x*\ln^2(x+e^x).
[/mm]
Wir schreiben, auch wenn es zu solchen Missverständnisse kommen kann:
[mm] x*\ln(x+e^x)^2=x*\ln((x+e^x)^2)
[/mm]
Anderes Beispiel:
[mm] \ln(\pi)=\ln{\pi} [/mm] oder [mm] \ln(e)=\ln{e}=1
[/mm]
Wenn man [mm] x*(\ln(x+e^x))^2 [/mm] meinen sollte, dann schreibt man in der Regel auch kurz: [mm] x*\ln^2(x+e^x).
[/mm]
Ich würde aber fast immer um den Logarithmus Klammern setzen, sonst kann es sehr schnell zu Missverständnisse kommen!
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:51 Sa 07.12.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Alles klar... jetzt habe ich verstanden... Danke für die ausführliche Informationen...
LG
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> Um es noch heftiger zu machen:
> ........
> ........
> Ich schweife ab..
>
> Wenn man [mm]x*(\ln(x+e^x))^2[/mm] meinen sollte,
> dann schreibt man
> in der Regel auch kurz: [mm]x*\ln^2(x+e^x),[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> oder noch kürzer: [mm]x*\ln^2{x+e^x}[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Einverstanden: das ist dann wirklich heftig,
und zwar sogar ein bisschen allzu heftig.
Letzteres kann man auch beim besten Willen
nicht mehr tolerieren.
Dieser letzte Term wäre doch dann mit Klammern
so zu verstehen:
[mm]\left(x*\ln^2(x)\right)+e^x\ =\ \left[x*\left(\ln(x)\right)^2\right]+e^x[/mm]
Doch auch die "Abkürzung" [mm] ln^2(x) [/mm] für [mm] \left(\ln(x)\right)^2
[/mm]
oder analog etwa bei trigonometrischen Funktionen,
wie im berühmten Beispiel:
$\ [mm] sin^2(\alpha)\ [/mm] +\ [mm] cos^2(\alpha)\ [/mm] =\ 1$
bzw. $\ [mm] sin^2 \alpha\ [/mm] +\ [mm] cos^2 \alpha\ [/mm] =\ 1$
ist nicht wirklich über alle Zweifel erhaben,
obwohl sie seit Jahrhunderten verbreitet ist.
In etwas anderem Zusammenhang benützt man ja
für Funktionen auch folgende Schreibweisen:
$\ [mm] f^2\ [/mm] =\ [mm] f\circ [/mm] f$
$\ [mm] f^3\ [/mm] =\ [mm] f\circ f\circ [/mm] f$
und damit:
$\ [mm] f^2(x)\ [/mm] =\ [mm] (f\circ [/mm] f)(x)\ =\ f(f(x))$
Nach dieser Konvention wäre etwa:
$\ [mm] sin^2(\alpha)\ [/mm] +\ [mm] cos^2(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] sin(sin(\alpha))\ [/mm] +\ [mm] cos(cos(\alpha))$ [/mm]
ferner:
$\ [mm] f^{-1}$ [/mm] = Umkehrfunktion von f
also im Allgemeinen:
$\ [mm] f^{-1}(x)\not= [/mm] \ [mm] \left(f(x)\right)^{-1}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{f(x)}$ [/mm]
LG , Al-Chw.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 16:29 Sa 07.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> > Um es noch heftiger zu machen:
> > ........
> > ........
> > Ich schweife ab..
> >
> > Wenn man [mm]x*(\ln(x+e^x))^2[/mm] meinen sollte,
> > dann schreibt man
> > in der Regel auch kurz: [mm]x*\ln^2(x+e^x),[/mm]
> > oder noch kürzer: [mm]x*\ln^2{x+e^x}[/mm]
>
>
> Einverstanden: das ist dann wirklich heftig,
> und zwar sogar ein bisschen allzu heftig.
> Letzteres kann man auch beim besten Willen
> nicht mehr tolerieren.
Vorab: Ich kann das auch nicht tolerieren. Wenn es nach mir geht, dann sollte man fast immer Klammern setzen!
Ich mache mal ein kleines fiktives Beispiel um zu verdeutlichen wie ich das schon öfter an der Tafel, zum Beispiel von einem Tutor, gesehen habe.
Wir wollen zeigen, dass [mm] x^x+\ln(1+x)=\xi [/mm] ist.
Achtung! Die Aufgabe macht keinen Sinn, sie soll nur verdeutlichen.
[mm] x^x+\ln(1+x)=e^{x*\ln x}+\ln1+x=\ldots=\xi
[/mm]
Du musst dir aber vorstellen, dass das $1+x$ sehr dicht an [mm] \ln [/mm] steht. Natürlich geht es hier nicht um eine Darstellung in einem Lehrbuch, aber es wird so benutzt, da es auf Grund der Gleichung "klar" ist.
Frage an dich:
Würdest du die nächsten Beispiele akzeptieren?
[mm] \alpha) \ln(2\pi)=\ln{2\pi}
[/mm]
[mm] \beta) \ln(2\pi)+2=\ln{2\pi}+2
[/mm]
Bedenke: bei [mm] \beta [/mm] würde es eigentlich so stehen auf der Tafel stehen:
[mm] \ln(2\pi)+2=\ln{2\pi} [/mm] $+2$
>
> Dieser letzte Term wäre doch dann mit Klammern
> so zu verstehen:
>
> [mm]\left(x*\ln^2(x)\right)+e^x\ =\ \left[x*\left(\ln(x)\right)^2\right]+e^x[/mm]
Sehe ich genauso!
>
> Doch auch die "Abkürzung" [mm]ln^2(x)[/mm] für
> [mm]\left(\ln(x)\right)^2[/mm]
> oder analog etwa bei trigonometrischen Funktionen,
> wie im berühmten Beispiel:
>
> [mm]\ sin^2(\alpha)\ +\ cos^2(\alpha)\ =\ 1[/mm]
>
> bzw. [mm]\ sin^2 \alpha\ +\ cos^2 \alpha\ =\ 1[/mm]
>
> ist nicht wirklich über alle Zweifel erhaben,
> obwohl sie seit Jahrhunderten verbreitet ist.
>
> In etwas anderem Zusammenhang benützt man ja
> für Funktionen auch folgende Schreibweisen:
>
> [mm]\ f^2\ =\ f\circ f[/mm]
Hier fällt mir folgendes ein:
Für die zweite Ableitung gilt:
[mm] f''(x):=f^{(2)}(x)
[/mm]
Ich habe schon oft gesehen, dass einfach [mm] f^2 [/mm] geschrieben wurde, also ohne den Klammern.
Natürlich ist es falsch, aber die Bedeutung ist in dem Zusammenhang klar und deshalb wird es nicht als falsch angesehen.
>
> [mm]\ f^3\ =\ f\circ f\circ f[/mm]
>
> und damit:
>
> [mm]\ f^2(x)\ =\ (f\circ f)(x)\ =\ f(f(x))[/mm]
>
> Nach dieser Konvention wäre etwa:
>
> [mm]\ sin^2(\alpha)\ +\ cos^2(\alpha)\ =\ sin(sin(\alpha))\ +\ cos(cos(\alpha))[/mm]
>
>
> ferner:
>
> [mm]\ f^{-1}[/mm] = Umkehrfunktion von f
>
> also im Allgemeinen:
>
> [mm]\ f^{-1}(x)\not= \ \left(f(x)\right)^{-1}\ =\ \frac{1}{f(x)}[/mm]
Auf jeden Fall!
>
> LG , Al-Chw.
>
Ich denke, dass in der Mathematik auf jeden Fall mehr auf Kleinigkeiten geachtet werden sollte, vor Allem wenn um solche "schlampigen" Ausdrucksweisen geht. Ich selbst benutze sowas fast nie. Erst heute habe ich hier einen Thread gesehen, bei dem es darum ging [mm] \sin^3(x) [/mm] zu integrieren und der Fragensteller hat sich gefragt, wie er das mit partieller Integration lösen kann, da man ja normalerweiße zwei Funktionen benötigt, etwa $f$ und $g$. Er hat nicht verstanden, dass [mm] \sin^3(x)=\sin(x)*\sin(x)*\sin(x)=\sin^2(x)*\sin(x). [/mm] So etwas ist in meinen Augen zu verhindern. Wenn es klar ist, dann kann man etwas "schlampiger" schreiben, okay, verstehe ich, aber wenn um das Verfassen eines mathematischen Artikels geht, dann sollte man entweder solche Dinge vorher abklären oder es hinschreiben. So ist es auch hier.
Für mich ist [mm] x*\ln(x+e^x)^2 [/mm] nicht eindeutig genug um zu sagen, dass [mm] x*\ln(x+e^x)^2=2x\ln(x+e^x) [/mm] gilt.
Gruß
DieAcht
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Im Nachgang zu meiner obigen Korrekturmitteilung
noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken:
| Aufgabe | a) Bestimme die lokalen und globalen Minima und
Maxima der Funktion f:
$\ f(x)\ =\ [mm] sin^2(x)+cos^2(x)$
[/mm]
b) Bestimme die kleinste positive Zahl x, für welche gilt:
$\ [mm] sin^2(x)+cos^2(x)\ [/mm] =\ 1$ |
Manch einer wird die Aufgabe für leicht lösbar,
aber wohl noch eher als ziemlich bescheuert
einschätzen ...
Die Aufgabe kriegt aber etwas Pepp, wenn man
die darin vorkommenden Potenzen in dieser
Form auffasst:
$\ [mm] sin^2\ [/mm] =\ [mm] sin\circ [/mm] sin$ $\ [mm] cos^2\ [/mm] =\ [mm] cos\circ [/mm] cos$
Viel Vergnügen !
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Mo 09.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Hallo Al,
bei Aufgabe a) habe ich:
ist [mm] $x_k:=\bruch{\pi}{2}+k* \pi$ [/mm] ( $k [mm] \in \IZ$), [/mm]
so hat f in [mm] x_{2k} [/mm] ein lokales und globales Maximum mit
$ f( [mm] x_{2k})=1+ \sin(1)$
[/mm]
und
f hat in in [mm] x_{2k+1} [/mm] ein lokales und globales Minimum mit
$ f( [mm] x_{2k+1})=1- \sin(1)$.
[/mm]
Bei b) bin ich noch am überlegen.
Gruß FRED
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Hallo FRED
> Hallo Al,
>
> bei Aufgabe a) habe ich:
>
> ist [mm]x_k:=\bruch{\pi}{2}+k* \pi[/mm] ( [mm]k \in \IZ[/mm]),
>
> so hat f in [mm]x_{2k}[/mm] ein lokales und globales Maximum mit
>
> [mm]f( x_{2k})=1+ \sin(1)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und
>
> f hat in in [mm]x_{2k+1}[/mm] ein lokales und globales Minimum ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> mit [mm]f( x_{2k+1})=1- \sin(1)[/mm].
An diesen Stellen liegt jeweils ein lokales Maximum
vor, das links und rechts von lokalen und gleichzeitig
globalen Minima mit einem Wert von [mm] $\approx [/mm] 0.107127\ <\ 1-sin(1)$
flankiert ist.
Gestaunt habe ich, als ich feststellte, dass sogar
Mathematica bei dieser Aufgabe
Maximize[Sin[Sin[x]] + Cos[Cos[x]], x]
ins Schwimmen kommt, obwohl die entsprechenden
Nullstellen der Ableitung eigentlich "schöne" Werte sind.
Insgesamt passt aber offenbar die Gleichung f'(x)=0 ,
auf die man bei der Suche nach Extremwerten über
die Ableitungen kommt, nicht in die Kategorie der
Gleichungen, die von den Löse-Algorithmen von
Mathematica erfasst werden.
Gruß , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mo 09.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED
>
> > Hallo Al,
> >
> > bei Aufgabe a) habe ich:
> >
> > ist [mm]x_k:=\bruch{\pi}{2}+k* \pi[/mm] ( [mm]k \in \IZ[/mm]),
> >
> > so hat f in [mm]x_{2k}[/mm] ein lokales und globales Maximum mit
> >
> > [mm]f( x_{2k})=1+ \sin(1)[/mm]
> >
> > und
> >
> > f hat in in [mm]x_{2k+1}[/mm] ein lokales und globales Minimum
Hallo Al,
>
> >
> > mit [mm]f( x_{2k+1})=1- \sin(1)[/mm].
>
> An diesen Stellen liegt jeweils ein lokales Maximum
> vor, das links und rechts von lokalen und gleichzeitig
> globalen Minima mit einem Wert von [mm]\approx 0.107127\ <\ 1-sin(1)[/mm]
>
> flankiert ist.
Upps, das war ich zu voreilig mit der Betrachtung des Vorzeichens von f'
Danke für die Aufklärung.
Gruß FRED
>
> Gestaunt habe ich, als ich feststellte, dass sogar
> Mathematica bei dieser Aufgabe
>
> Maximize[Sin[Sin[x]] + Cos[Cos[x]], x]
>
> ins Schwimmen kommt, obwohl die entsprechenden
> Nullstellen der Ableitung eigentlich "schöne" Werte
> sind.
> Insgesamt passt aber offenbar die Gleichung f'(x)=0 ,
> auf die man bei der Suche nach Extremwerten über
> die Ableitungen kommt, nicht in die Kategorie der
> Gleichungen, die von den Löse-Algorithmen von
> Mathematica erfasst werden.
>
> Gruß , Al
>
>
>
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Hallo Al,
ich sehe nicht, wie man Aufgabe b) exakt löst, also analytisch.
Mit der eher geringen Rechengenauigkeit von Excel lässt sich [mm] x\approx{0,4132323982} [/mm] als Lösung finden.
Das ist hier natürlich nicht akzeptabel, aber vielleicht als Kontrollergebnis geeignet, wenn doch noch jemand einen analytischen Weg findet.
Ich stelle die Frage mal zurück auf halboffen.
Liebe Grüße
reverend
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> Hallo Al,
>
> ich sehe nicht, wie man Aufgabe b) exakt löst, also
> analytisch.
>
> Mit der eher geringen Rechengenauigkeit von Excel lässt
> sich [mm]x\approx{0,4132323982}[/mm] als Lösung finden.
>
> Das ist hier natürlich nicht akzeptabel, aber vielleicht
> als Kontrollergebnis geeignet, wenn doch noch jemand einen
> analytischen Weg findet.
>
> Ich stelle die Frage mal zurück auf halboffen.
>
> Liebe Grüße
> reverend
Hallo reverend,
die Gleichung lässt sich wohl wirklich nicht exakt
lösen. Also ist eine numerische Lösung OK.
An den hintersten Stellen der angegebenen Lösung
mit Excel habe ich aber doch gewisse Zweifel.
Mathematica liefert:
x -> 0.413232402444019435174688685458224
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 So 22.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
hier zum Abschluss noch eine Figur mit dem Graph
der Funktion f mit
$ \ f(x)\ =\ sin(sin(x))+cos(cos(x)) $
an welcher man sieht, dass der Graph über einem
Grundintervall der Länge $\ [mm] 2\,\pi$ [/mm] zwei Hochpunkte
und zwei Tiefpunkte hat. Dabei ist jeweils der
eine der beiden Hochpunkte nur lokal.
![[]](/images/popup.gif) Grafik
Ferner ist die Gerade y=1 eingezeichnet (Frage b).
In dem WolframAlpha - Fenster kann man natürlich
auch die weiteren Schritte wie Bestimmung der
Extrema und der Schnittpunkte ausprobieren.
LG , Al-Chw.
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![[]](http://thepichi01hack.webnode.es/images/200000228-976c397c6b-public/bliss-matux-2610.png){kind=small}
Matux![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
, und wünsche
![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]"){kind=small}
;
