lösung einer Gleichung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Di 19.07.2011 | | Autor: | lyx |
Hallo,
Ich habe folgende Frage in keinen anderen Forum gestellt.
Ich suche eine Funktion f die folgende Eigenschaft erfüllt:
[mm] \integral_{0}^{T}{f(t) dt} [/mm] = f(T)
Wie kann ich diese Gleichung lösen?
Falls so eine Funktion nicht existiert, wie kann man dies Beweisen?
für einen Tipp währe ich sehr dankbar.
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Hallo,
verstehe ich das richtig: sollen Integrand und Integralfunktion der gleichen Funktionsvorschrift genügen?
Dann überlegt man sich leicht, dass die Gleichung nur für T=0 erfüöllt sein kann...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Di 19.07.2011 | | Autor: | lyx |
Hi Diophant. Danke für die schnelle antwort.
ja! ich suche eine Funktion f welche die obige Gleichung erfüllt. O.K. wenn T=0 ist f [mm] \equiv [/mm] 0, also nur die triviale Lösung. Und wie hast du dir überlegt das das die einzige Lösung ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Di 19.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Nimm an, es existiere noch eine andere Lösung und führe das zum Widerspruch.
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:25 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir haben also eine Funktion f mit
(*) $f(x)= [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] $
Dann haben wir schon mal: f(0)=0
Natürlich muß f R-integrierbar sein. Nach dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung folgt aus (*) zunächst, dass f stetig ist und dann , dass f differenzierbar ist mit
f'(x)=f(x).
Setze nun [mm] g(x)=f(x)/e^x [/mm] und überzeuge Dich davon, dass g'(x)=0 für alle x ist. Damit ist g konstant.
Wegen [mm] g(0)=f(0)/e^0=0 [/mm] ist g identisch Null und damit auch f.
FRED
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