log, Umformung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Vereinfache:
[mm] a^{\frac{log(log a)}{log a}} [/mm] |
Hallo
[mm] a^x [/mm] := [mm] e^{x*log a}
[/mm]
[mm] a^{log(log a) /log a} [/mm] = [mm] e^{(log(log a)/log a) *log a} [/mm] = [mm] e^{log(log a)}
[/mm]
Bei der Umformung bin ich mir schon nicht sicher.
Vielen dank.,
lg
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Hi,
die Umformung ist korrekt. [mm]e^{log(log(a))}[/mm] kann man aber noch weiter vereinfachen (noch ein Schritt).
Beste Grüße
Spunk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | [mm] \frac{x^{log_a y} }{y^{log_a x}} [/mm] |
= log (a) ?
Ich hab noch eine zweite AUfgabe, hast du da einen Tipp, wie man da anfangen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lu-!
> = log (a) ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\frac{x^{log_a y} }{y^{log_a x}}[/mm]
Es gilt z.B. für den Zähler:
[mm]\red{x}^{\log_a(y)} \ = \ \left[ \ \red{a^{\log_a(x)}} \right]^{\log_a(y)} \ = \ a^{\log_a(x)*\log_a(y)}[/mm]
Gleiche Umformung im Nenner und dann kürzen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo ;)
> Es gilt z.B. für den Zähler:
>
> [mm]\red{x}^{\log_a(y)} \ = \ \left[ \ \red{a^{\log_a(x)}} \right]^{\log_a(y)} \ = \ a^{\log_a(x)*\log_a(y)}[/mm]
>
> Gleiche Umformung im Nenner und dann kürzen ...
okay. was dann schlussendlich 1 ergibt.
Meine letzte Übung:
[mm] \produkt_{j=1}^{n-1} {log}_{{a}_ j} (a_{j+1})
[/mm]
Was heißt der Logarithmus zur Basis [mm] a_1....a_{n-1} [/mm] ?
Liebe Grüße
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> Meine letzte Übung:
> [mm]\produkt_{j=1}^{n-1} {log}_{{a}_ j} (a_{j+1})[/mm]
Hallo,
verwende hier die von Marcel in seiner Mitteilung genannte Gleichheit.
>
> Was heißt der Logarithmus zur Basis [mm]a_1....a_{n-1}[/mm] ?
???
Meinst Du, was [mm] log_{a}b [/mm] bedeutet?
[mm] c=log_{a}b [/mm] <==> [mm] a^c=b [/mm] ( <==> [mm] c=\bruch{ln(b)}{ln(a)} [/mm] )
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo ;)
> > Es gilt z.B. für den Zähler:
> >
> > [mm]\red{x}^{\log_a(y)} \ = \ \left[ \ \red{a^{\log_a(x)}} \right]^{\log_a(y)} \ = \ a^{\log_a(x)*\log_a(y)}[/mm]
>
> >
> > Gleiche Umformung im Nenner und dann kürzen ...
> okay. was dann schlussendlich 1 ergibt.
>
> Meine letzte Übung:
> [mm]\produkt_{j=1}^{n-1} {log}_{{a}_ j} (a_{j+1})[/mm]
>
> Was heißt der Logarithmus zur Basis [mm]a_1....a_{n-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
Du interpretierst das Produktsymbol anscheinend falsch. Es wäre etwa
$$\log_{\produkt_{k=1}^{n-1}a_k}(x)=\log_{a_1*\cdot*a_{n-1}}}(x)$$
der Logarithmus von $x\,$ zur Basis $a_1*\ldots*a_{n-1}\,.$
(Da würdest Du halt als Basis das Ergebnis einer Multiplikation erhalten, etwa
$$\log_{1*2*3*4}(x)=\log_{24}(x)\,,$$
wo Du halt die Basis $24\,$ $(=1*2*3*4)\,$ hast.)
Oben steht aber:
$$\produkt_{j=1}^{n-1} {\log}_{{a}_ j} (a_{j+1})$$
und das ist nix anderes als
$$\log_{a_1}(a_2)*\log_{a_2}(a_3)*\log_{a_3}(a_4)*\ldots *\log_{a_{n-1}}(a_n)\,.$$
Benutze dann Angelas Hinweis, dann kürzt sich einiges weg und am Ende kann man dann wieder meinen Hinweis benutzen.
Wenn's unklar ist:
Schreib' Dir das ganze erstmal beispielsweise für $n=5\,,$ $a_1=2\,,$ $a_2=5\,,$ $a_3=7\,,$ $a_4=11$ und $a_5=15$ hin.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\frac{x^{log_a y} }{y^{log_a x}}[/mm]
mal nebenbei (zur Verdeutlichung schreibe ich [mm] $\ln$ [/mm] anstatt [mm] $\log$ [/mm] für den Logarithmus naturalis):
Hier könntest Du auch die Regel
[mm] $$\log_{a}(y)=\frac{\ln(y)}{\ln(a)}$$
[/mm]
benutzen.
(Und etwa [mm] $x=a^{\ln(x)/\ln(a)}$ [/mm] ...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Sa 07.01.2012 | | Autor: | quasimo |
danke ;)
#denn das war auch einer meiner Bsp. ;)
LG
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