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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Fr 02.09.2005 | | Autor: | sonic444 |
mittels partialbruchzerlegung soll folgendes integral gelöst werden:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{7x+1}{x²-x} [/mm] dx}
die partialbruchzerlegung ist ja relativ einfach und ich bekomme dann folgendes:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{7x+1}{x²-x} [/mm] dx}= [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{-1}{x} dx}+\integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{8}{x-1} [/mm] dx}
ich dachte mir damit ich die logarithmen gesetze anwenden kann ziehe ich die 8 vor das integral sodass ich folgendes raus bekome:
[mm] 8*\integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{-1}{8x} dx}+8*\integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] dx}
das schéint aber nicht zu gehen, da das ergebnis, dass ich nach dem auflösen der integrale bekomme nicht das ist, welches der TI ausgibt.
die andere möglichkeit, bei der ich mir aber nicht sicher bin ob man das darf ist, die integrale zu lösen ohne etwas davor zu ziehen.
[mm] \mapsto [/mm] 8ln(x-1)-lnx
darf ich jetzt statt 8ln(x-1) auch folgendes schreiben: ln [mm] (x-1)^{8}?
[/mm]
habe verschiedene formelsammlungen bzw logarithmengesetze durchgeguckt und keine antwort gefunden. erinnere mich aber dunkel, dass diese vorgehensweise möglich ist.
vielen dank für eure hilfe!
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Fr 02.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo sonic444!
> mittels partialbruchzerlegung soll folgendes integral
> gelöst werden:
> [mm]\integral_{}^{}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{7x+1}{x²-x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
>
> die partialbruchzerlegung ist ja relativ einfach und ich
> bekomme dann folgendes:
> [mm]\integral_{}^{}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{7x+1}{x²-x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}= [mm]\integral_{}^{}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> { [mm]\bruch{-1}{x} dx}+\integral_{}^{}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{8}{x-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ich dachte mir damit ich die logarithmen gesetze anwenden
> kann ziehe ich die 8 vor das integral sodass ich folgendes
> raus bekome:
> [mm]8*\integral_{}^{}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{-1}{8x} dx}+8*\integral_{}^{}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> { [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
> das schéint aber nicht zu gehen, da das ergebnis, dass ich
> nach dem auflösen der integrale bekomme nicht das ist,
> welches der TI ausgibt.
Ich sehe jetzt nicht ganz, was du da machst und was das bringen soll. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Macht aber nichts, denn es geht besser weiter  :
> die andere möglichkeit, bei der ich mir aber nicht sicher
> bin ob man das darf ist, die integrale zu lösen ohne etwas
> davor zu ziehen.
> [mm]\mapsto[/mm] 8ln(x-1)-lnx
> darf ich jetzt statt 8ln(x-1) auch folgendes schreiben: ln
> [mm](x-1)^{8}?[/mm]
Die Lösung ist also:
$F(x) = [mm] \ln[(x-1)^8] [/mm] - [mm] \ln(x) [/mm] + C$.
Machen wir doch mal die Probe:
$F'(x) = [mm] \frac{1}{(x-1)^8} \cdot [/mm] 8 [mm] \cdot (x-1)^7 [/mm] - [mm] \frac{1}{x} [/mm] = [mm] \frac{8}{x-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{x} [/mm] = [mm] \frac{8x-(x-1)}{(x-1)x} [/mm] = [mm] \frac{7x+1}{x^2-x}$. [/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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