logarithmische Dehnung < Materialwissenschaft < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Do 11.11.2010 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | | Die logarithmische Dehnung ist durch $ [mm] \varphi\ [/mm] =\ [mm] \int_{l_0}^{l} \bruch{\mathrm dl}{\mathrm l} [/mm] $ definiert.Versuchen Sie durch lösen des Integrals und Substitution einen Zusammenhang zur technischen Dehnung herzustellen. |
Hallo allerseits,
leider stehe ich hier nun ein wenig auf dem Schlauch.
Die Technische Dehnung ist definiert durch den Quotienten aus der Verlängerung und der Anfangslänge $ [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{\mathrm L - \mathrm L_0 }{\mathrm L_0} [/mm] = [mm] \bruch{\Delta L }{\mathrm L_0} [/mm] $
Wie genau stelle ich hier nun einen Zusammenhang her? Ich sehe schon das beides [mm] $\Delta [/mm] L $ aufweist aber sonst?
Sollte ich hier nun einfach anfangen zu integrieren mit $ [mm] \int_{l_0}^{l} \bruch{\mathrm dl}{\mathrm l} [/mm] = [mm] \int_{l_0}^{l} \bruch{1}{\mathrm l}\ \mathrm [/mm] dl = [mm] \lbrack \mathrm [/mm] {ln}\ l [mm] \rbrack_{l_0}^l [/mm] $ ?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Fr 12.11.2010 | | Autor: | UE_86 |
Hallo Nickles,
dein Beginn ist schon gut so!
[mm] \varepsilon^{'}=\integral_{l_{0}}^{l}{\bruch{dl}{l}}=ln(\bruch{l}{l_{0}})
[/mm]
Nun kommt ein kleiner Trick. Im ln subtrahierst du [mm] \bruch{l_{0}}{l_{0}} [/mm] und addierst es gleich wieder:
[mm] \varepsilon^{'}=ln(\bruch{l}{l_{0}})=ln(\bruch{l-l_{0}}{l_{0}}+\bruch{l_{0}}{l_{0}})
[/mm]
Mit der technischen Dehnung [mm] \varepsilon [/mm] erhälst du nun:
[mm] \varepsilon^{'}=ln(\varepsilon+1)
[/mm]
Was du nun hier hast ist die "wahre Dehnung". Also die gerade aktuell gemessenen Werte von Probenlänge und -querschnitt bezogen auf Spannung und Dehnung.
Im wahren Spannungs-Dehnungs-Diagramm gibt es somit keinen Scheitelpunkt, sondern eine stetige Verfestigung bis zum Bruch (statt nach Erreichen der Zugfestigkeit wieder etwas abzufallen, steigt die Kurve immer weiter an).
Das ganze ist bei hohen Umformgraden oder bei der Bewertung des Verformungsverhaltens sinnvoll.
Gruß
UE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Nickles |
> Hallo Nickles,
>
> dein Beginn ist schon gut so!
>
> [mm]\varepsilon^{'}=\integral_{l_{0}}^{l}{\bruch{dl}{l}}=ln(\bruch{l}{l_{0}})[/mm]
>
Hi danke für dein Lob, aber das hatte ich doch bisher nicht geschrieben oder?
Ich hatte doch $ [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \int_{l_0}^l \bruch{1}{l}\ \mathrm{dl}\ [/mm] =\ [mm] \lbrack \mathrm [/mm] {ln\ l} [mm] \rbrack_{l_0}^l [/mm] $ oder?
Ah oder meinst du weil $ [mm] \mathrm [/mm] {ln\ l} - [mm] \mathrm [/mm] {ln\ [mm] l_0}\ [/mm] =\ [mm] ln(\bruch{l}{l_{0}}) [/mm] $ ?
> Nun kommt ein kleiner Trick. Im ln subtrahierst du
> [mm]\bruch{l_{0}}{l_{0}}[/mm] und addierst es gleich wieder:
>
> [mm]\varepsilon^{'}=ln(\bruch{l}{l_{0}})=ln(\bruch{l-l_{0}}{l_{0}}+\bruch{l_{0}}{l_{0}})[/mm]
>
> Mit der technischen Dehnung [mm]\varepsilon[/mm] erhälst du nun:
> [mm]\varepsilon^{'}=ln(\varepsilon+1)[/mm]
>
> Was du nun hier hast ist die "wahre Dehnung". Also die
> gerade aktuell gemessenen Werte von Probenlänge und
> -querschnitt bezogen auf Spannung und Dehnung.
Durch einsetzen der technischen Dehnung in das veränderte Integral der logarithmischen Dehnung habe ich nun die wahren Spannung erhalten.
Das ist also der Zusammenhang?
> Im wahren Spannungs-Dehnungs-Diagramm gibt es somit keinen
> Scheitelpunkt, sondern eine stetige Verfestigung bis zum
> Bruch (statt nach Erreichen der Zugfestigkeit wieder etwas
> abzufallen, steigt die Kurve immer weiter an).
> Das ganze ist bei hohen Umformgraden oder bei der
> Bewertung des Verformungsverhaltens sinnvoll.
>
> Gruß
> UE
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Fr 12.11.2010 | | Autor: | UE_86 |
Hallo Nickles,
> Hi danke für dein Lob, aber das hatte ich doch bisher
> nicht geschrieben oder?
>
> Ich hatte doch [mm]\varepsilon = \int_{l_0}^l \bruch{1}{l}\ \mathrm{dl}\ =\ \lbrack \mathrm {ln\ l} \rbrack_{l_0}^l[/mm]
> oder?
> Ah oder meinst du weil [mm]\mathrm {ln\ l} - \mathrm {ln\ l_0}\ =\ ln(\bruch{l}{l_{0}})[/mm]
> ?
Genau das meinte ich. Bei dir haben eigentlich nur noch zwei Schritte gefehlt.
>
>
> Durch einsetzen der technischen Dehnung in das veränderte
> Integral der logarithmischen Dehnung habe ich nun die
> wahren Spannung erhalten.
> Das ist also der Zusammenhang?
>
>
> Danke schonmal!
Nunja, die technische Dehnung ist eine Reihenentwicklung der wahren Dehnung. Wenn du dir nun [mm] ln(1+\varepsilon) [/mm] als Taylorreihe schreibst (Formelsammlung):
[mm] ln(1+\varepsilon)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{\varepsilon^{n}}{n}
[/mm]
Und nach dem ersten Glied direkt abbrichst, kommst du auf den Zusammenhang:
[mm] \varepsilon^{'}\approx\varepsilon
[/mm]
Hätte ich gestern schon mit dazu schreiben können...aber irgendwie hab ich es dann doch nicht 
Hoffe das bringt dich etwas weiter!
Gruß
UE
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:47 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Nickles |
> Hallo Nickles,
>
> > Hi danke für dein Lob, aber das hatte ich doch bisher
> > nicht geschrieben oder?
> >
> > Ich hatte doch [mm]\varepsilon = \int_{l_0}^l \bruch{1}{l}\ \mathrm{dl}\ =\ \lbrack \mathrm {ln\ l} \rbrack_{l_0}^l[/mm]
> > oder?
> > Ah oder meinst du weil [mm]\mathrm {ln\ l} - \mathrm {ln\ l_0}\ =\ ln(\bruch{l}{l_{0}})[/mm]
> > ?
>
> Genau das meinte ich. Bei dir haben eigentlich nur noch
> zwei Schritte gefehlt.
>
> >
> >
> > Durch einsetzen der technischen Dehnung in das veränderte
> > Integral der logarithmischen Dehnung habe ich nun die
> > wahren Spannung erhalten.
> > Das ist also der Zusammenhang?
> >
> >
> > Danke schonmal!
>
> Nunja, die technische Dehnung ist eine Reihenentwicklung
> der wahren Dehnung. Wenn du dir nun [mm]ln(1+\varepsilon)[/mm] als
> Taylorreihe schreibst (Formelsammlung):
>
> [mm]ln(1+\varepsilon)=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{\varepsilon^{n}}{n}[/mm]
>
> Und nach dem ersten Glied direkt abbrichst, kommst du auf
> den Zusammenhang:
> [mm]\varepsilon^{'}\approx\varepsilon[/mm]
>
Oh, Taylor? Hmm witzigerweise hätte ich eine Frage mit Taylor gleich im Anhang an diese Aufgabe als Folgeaufgabe gestellt...Jetzt wo du es aber schon erwähnt hast...
Taylor hatte ich vor ca. 2 Jahren mal durchgekaut..
Ein Blick bei Wikipedia und weitere Recherchen haben mich wieder daran erinnert, das Taylor $ [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{n} (a)}{\mathrm {n!}} (\mathrm {x-a})^n [/mm] $ waren, hergeleitet über $ f (x)\ =\ [mm] c_0\ [/mm] $ und $ f'(x)\ =\ [mm] c_1\ [/mm] $ und so weiter.
Wie genau hast du denn $ ln(1\ + [mm] \varepsilon) [/mm] $ hier jetzt eingesetzt?
> Hätte ich gestern schon mit dazu schreiben können...aber
> irgendwie hab ich es dann doch nicht
>
> Hoffe das bringt dich etwas weiter!
>
> Gruß
> UE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Fr 12.11.2010 | | Autor: | UE_86 |
Ehrlich gesagt, ist Taylor bei mir auch schon sehr lange her. Ich hatte das ganze aus meiner Formelsammlung.
Sehe gerade, dass es im ![[]](/images/popup.gif) entsprechenden Wikipedia Artikel auch steht (unter Beispiele).
Wie genau das nun hergeleitet wurde, kann ich dir im Moment nicht sagen. Ich lasse die Frage mal offen...
Gruß
UE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Nickles |
Ja stimmt...da steht es auch...aber kannst du mir vielleicht erklären was du mit "nach dem ersten Glied abbrechen" meinst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nickles!
> was du mit "nach dem ersten Glied abbrechen" meinst?
Es gilt (siehe hier):
[mm]\ln(1+x) \ = \ \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{x^n}{n} \ = \ ... \ = \ x-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^4}{4}\pm ...[/mm]
Und nun wird hier als Näherung für [mm]x\approx 0[/mm] lediglich der erste Summand betrachtet, so dass gilt: [mm]\ln(1+x) \ \approx \ x[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Nickles |
somit gilt $ [mm] \varphi [/mm] =\ [mm] \mathrm {ln}(\bruch{l_0}{l}) [/mm] $ dann einsetzen der technischen Dehnung in die logarithmische , führt zu $ [mm] \varphi^\prime [/mm] = [mm] \mathrm [/mm] {ln} (1+ [mm] \varepsilon) \rightarrow\ [/mm] $ was die wahren Dehnung ist.
Nach Taylor und Abbruch nach erstem Glied $ [mm] \varphi\ \approx\ \varepsilon\ [/mm] $ mit $ [mm] \varepsilon\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\Delta l}{l_0} [/mm] $
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Sa 13.11.2010 | | Autor: | UE_86 |
Ja genau!
Gruß
UE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 20.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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