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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 So 15.03.2009 | | Autor: | ggg |
Könntet ihr mir den Beweis der logarithmische Integration vorzeigen. Ich finde ihn in keinen Lehrbüchern.
Es gilt ja$ [mm] \int \frac{f'(x)}{f(x)}\, [/mm] dx = [mm] \ln[f(x)] [/mm] + C $,
[mm] (\forall f(x)\not=0)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 So 15.03.2009 | | Autor: | glie |
> Könntet ihr mir den Beweis der logarithmische Integration
> vorzeigen. Ich finde ihn in keinen Lehrbüchern.
>
> Es gilt ja[mm] \int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \ln[f(x)] + C [/mm],
>
> [mm](\forall f(x)\not=0)[/mm]
>
>
>
Hallo,
also dein gewünschter Beweis ist einfach das konsequente Anwenden der Ableitungsregeln, hier insbesondere der Kettenregel. Wir zeigen einfach dass
[mm] F(x)=\ln[f(x)]+C [/mm] die Stammfunktionen von [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] sind.
Bilden wir also F'(x)
Es gilt:
[mm] F'(x)=\bruch{1}{f(x)}*\underbrace{f'(x)}_{\text{Nachdifferenzieren!}}+\underbrace{0}_{\text{Ableitung der Konstanten C}}=\bruch{f'(x)}{f(x)}
[/mm]
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 So 15.03.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für deine schnelle Antwort.
Dann muss ich im Prinzip die Stammfunktion differenzieren und kann damit zeigen das das die Ableitungsfunktion entsprecht, die integriert wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 So 15.03.2009 | | Autor: | glie |
> Danke für deine schnelle Antwort.
> Dann muss ich im Prinzip die Stammfunktion differenzieren
> und kann damit zeigen das das die Ableitungsfunktion
> entsprecht, die integriert wird.
Ja so in etwa kann man das ausdrücken.
Es gilt
[mm] \integral{f(x) dx}=F(x)+C
[/mm]
wobei F eine beliebige Stammfunktion zu f ist, d.h. eine Funktion mit der Eigenschaft
[mm] \mm{F'(x)=f(x)}
[/mm]
Vielleicht nochmal ein Beispiel:
Wie zeige ich, dass folgende Integralformel gilt:
[mm] \integral{\underbrace{\sin x*\cos x}_{f(x)} dx}=\underbrace{\bruch{1}{2}*(\sin x)^2+C}_{=F(x)}
[/mm]
Nun ja ganz einfach, ich zeige, dass F'(x)=f(x) ist:
[mm] \mm{F'(x)=\bruch{1}{2}*2*\sin x*\cos x=\sin x*\cos x=f(x)}
[/mm]
Gruß Glie
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Hallo ggg,
alternativ kannst du dir das direkt herleiten, wenn du das Integral mit der Substitution [mm] $\blue{u}=u(x):\blue{=f(x)}$ [/mm] mal berechnest.
Dann ist nämlich [mm] $u'(x)=\frac{du}{dx}=f'(x)$, [/mm] also [mm] $\red{dx=\frac{du}{f'(x)}}$
[/mm]
Also [mm] $\int{\frac{f'(x)}{\blue{f(x)}} \ \red{dx}}=\int{\frac{f'(x)}{\blue{u}} \ \red{\frac{du}{f'(x)}}}=\int{\frac{1}{u} \ du}=\ln(|u|)+C$
[/mm]
Nun resubstituieren und du hast es
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:48 Mo 16.03.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für eure Hilfe. Das ist echt super und vor allem tut das Aha Erlebnis wirklich gut 
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