logarithmische Spirale < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Sa 09.06.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] \gamma:[0,\infty]\to \IR^2, t\to e^{-t}\vektor{cost \\ sint}
[/mm]
Bestimme die Bogenlänge [mm] \phi(t):= L(\gamma |[0,\infty]|) [/mm] als Funktion von [mm] t\in [0,\infty] [/mm] |
Die Bogenlänge allgemein kann ich bestimmen in einem intervall , dass nicht [mm] \infty [/mm] ist.
Erklärt ihr mir, was ich bei dieser Aufgabe tun soll?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Sa 09.06.2012 | | Autor: | chrisno |
> [mm]\gamma:[0,\infty]\to \IR^2, t\to e^{-t}\vektor{cost \\ sint}[/mm]
>
> Bestimme die Bogenlänge [mm]\phi(t):= L(\gamma |[0,\infty]|)[/mm]
> als Funktion von [mm]t\in [0,\infty][/mm]
> Die Bogenlänge allgemein
> kann ich bestimmen in einem intervall , dass nicht [mm]\infty[/mm]
> ist.
Dann mach das erst einmal für ein Intervall, dass nur bis a läuft.
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Ich komme mit der Aufgabe auch nicht so ganz zurecht. Allgemeine Bogenlänge kann ich berechnen, wenn ich mich nicht verrechne. Aber wie gibt man eine Bogenlänge als Funktion an und Parameterdarstellung angeben?
Aber ich versuche erstmal allgemein die Bogenlänge zu bestimmen:
[mm] \gamma(t)=\vektor{e^{-t}cost \\ e^{-t}sint }
[/mm]
[mm] \gamma'(t)=\vektor{-e^{-t}(sint+cost) \\ e^{-t}(cost-sint }
[/mm]
[mm] \parallel \gamma'(t)\parallel =e^{2x}\wurzel{(sint+cost)^2+(cost-sint )^2}
[/mm]
[mm] =e^{2x}\wurzel{2}
[/mm]
Richtig? Ich bin mir etwas unsicher bei dem [mm] e^{-t}, [/mm] ob ich das so ausklammern kann bzw bei dem [mm] -e^{-t}, [/mm] ob da das Minus nicht in der Wurzel bleiben muss.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] \wurzel{(\pm e^{-t})^2}=e^{-t}
[/mm]
FRED
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Danke für den Hinweis Fred. Aber dann müsste ja das was ich gerechnet habe fast richtig sein, dann wäre ja:
[mm] \parallel \gamma'(t)\parallel= e^{-t}\wurzel{(sint+cost)^2+(cost-sint)^2}
[/mm]
[mm] =e^{-t}\wurzel{sin^2t+2sintcost+cos^2t+cos^2t-2costsint+sin^2t}
[/mm]
[mm] =e^{-t}\wurzel{2}
[/mm]
So okay?
Nun weiß ich allerdings nicht weiter, wegen den Intervallgrenzen bzw der Funktion von [mm] t\in [0,\infty] [/mm] die aufgestellt werden soll. Könnt ihr mir da helfen?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Hinweis Fred. Aber dann müsste ja das was
> ich gerechnet habe fast richtig sein, dann wäre ja:
>
> [mm]\parallel \gamma'(t)\parallel= e^{-t}\wurzel{(sint+cost)^2+(cost-sint)^2}[/mm]
>
> [mm]=e^{-t}\wurzel{sin^2t+2sintcost+cos^2t+cos^2t-2costsint+sin^2t}[/mm]
>
> [mm]=e^{-t}\wurzel{2}[/mm]
>
> So okay?
Ja
>
> Nun weiß ich allerdings nicht weiter, wegen den
> Intervallgrenzen bzw der Funktion von [mm]t\in [0,\infty][/mm] die
> aufgestellt werden soll. Könnt ihr mir da helfen?
Es ist [mm] \phi(t)=\integral_{0}^{t}{||\gamma'(s)|| ds}
[/mm]
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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Das heißt, ich muss jetzt nur noch zu [mm] e^{-t}\wurzel{2} [/mm] eine Stammfunktion finden?
denn [mm] \parallel \gamma'(t)\parallel [/mm] ist ja mein [mm] e^{-t}\wurzel{2} [/mm]
Das wäre ja dann [mm] [\wurzel{2} e^{-t}*t]_0^t= \wurzel{2} e^{t^2}*t
[/mm]
Ist das mit der Funktion gemeint?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt, ich muss jetzt nur noch zu [mm]e^{-t}\wurzel{2}[/mm]
> eine Stammfunktion finden?
>
> denn [mm]\parallel \gamma'(t)\parallel[/mm] ist ja mein
> [mm]e^{-t}\wurzel{2}[/mm]
Gehört das Dir ?
>
> Das wäre ja dann [mm][\wurzel{2} e^{-t}*t]_0^t= \wurzel{2} e^{t^2}*t[/mm]
Das ist doch völliger Unsinn !
Eine Stammfunktion von [mm] e^{-t}\wurzel{2} [/mm] ist [mm] -e^{-t}\wurzel{2}
[/mm]
FRED
>
> Ist das mit der Funktion gemeint?
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Okay, dann mit richtiger Stammfunktion [mm] [-e^{-t}\wurzel{2}]_0^t=-e^{-t}\wurzel{2}+\wurzel{2}
[/mm]
Das ist nun also meine Funktion [mm] \phi(\t)? [/mm] Nun muss ich noch die natürliche Parameterdarstellung von [mm] \gamma [/mm] daraus bestimmen.
Ich weiß allerdings nicht was hier mit einer natürlichen Parameterdarstellung gemeint ist...ist das die Bogenlänge?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, dann mit richtiger Stammfunktion
> [mm][-e^{-t}\wurzel{2}]_0^t=-e^{-t}\wurzel{2}+\wurzel{2}[/mm]
>
>
> Das ist nun also meine Funktion [mm]\phi(\t)?[/mm] Nun muss ich
> noch die natürliche Parameterdarstellung von [mm]\gamma[/mm] daraus
> bestimmen.
>
> Ich weiß allerdings nicht was hier mit einer natürlichen
> Parameterdarstellung gemeint ist...ist das die
> Bogenlänge?
Hast Du in Deinen Unterlagen keine Definitionen ?
Bestimmen sollst Du die Parameterdarstellung mit der Bogenlänge als Parameter.
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Nein, dazu haben wir noch nichts gemacht! Kannst du mir das erklären? Das Übungsblatt ist eigentlich erst am 18.abzugeben, da ich aber auf einer Exkursion bin ab Dienstag, kann ich nicht auf die Vorlesung der nächsten Woche zurückgreifen...
Daher wäre es sehr nett wenn du mir das nochmal erklären kannst. ich habe schon nachgeschaut aber so ganz klar ist mir das noch nicht.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Länge_(Mathematik)
unter
"Parametrisierung einer Kurve nach der Weglänge "
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:57 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Ich habe ja hier nur eine Stammfunktion gebildet, mit der man die Bogenlänge schnell berechnen kann.
Die Aufgabe war ja: Bestimmen sie die Bogenlänge [mm] \phi(t):L(\gamma [/mm] |0,t]) als Funktion von [mm] t\in[0,\infty)
[/mm]
Das mit der natürlichen Parameterdarstellung ist mir noch nicht ganz klar. Ich muss am Ende auf Eins kommen. Aber wie mache ich das bei meinem Beispiel?
MfG
Mathegirl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Do 14.06.2012 | | Autor: | heinze |
bei der natürlichen Parameterdarstellung benötige ich erstmal
[mm] x=e^{-t}*cos(t)
[/mm]
[mm] y=e^{-t}*sin(t)
[/mm]
und die berechnete Bogenlänge [mm] -e^{-t}\wurzel{2}
[/mm]
Für die Bogenlänge habe ich berechnet.
Nun muss ich die Bogenlänge Ableiten, kann das so funktionieren?
Hier habe ich mich orientiert: http://de.wikibooks.org/wiki/Diffgeo:_Kurventheorie:_Parameterisierung_nach_Bogenl%C3%A4nge
LG
heinze
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> bei der natürlichen Parameterdarstellung benötige ich
> erstmal
>
> [mm]x=e^{-t}*cos(t)[/mm]
> [mm]y=e^{-t}*sin(t)[/mm]
Hallo,
Du hattest [mm] \gamma(t):=e^{-t}\vektor{cos(t)\\sin(t)}.
[/mm]
>
> und die berechnete Bogenlänge [mm]-e^{-t}\wurzel{2}[/mm]
Nein.
Sondern es ist [mm] L(\gamma |[0,t]|)=\wurzel{2}(1-e^{-t}), [/mm] wie hier im Thread berechnet wurde.
Also haben wir für die Funktion s, welche für jedes t die Länge des Bogens zwischen den Punkten [mm] \gamma(0) [/mm] und [mm] \gamma(t) [/mm] liefert
[mm] s(t)=\wurzel{2}(1-e^{-t}).
[/mm]
Bestimme die Umkehrfunktion t(s), löse also [mm] s=\wurzel{2}(1-e^{-t}) [/mm] nach t auf.
Ersetze dann das t in der Parameterdarstellung durch den gewonnenen Ausdruck. Damit hast Du [mm] \gamma(s).
[/mm]
LG Angela
> Für die Bogenlänge habe ich berechnet.
> Nun muss ich die Bogenlänge Ableiten, kann das so
> funktionieren?
>
> Hier habe ich mich orientiert:
> http://de.wikibooks.org/wiki/Diffgeo:_Kurventheorie:_Parameterisierung_nach_Bogenl%C3%A4nge
>
> LG
> heinze
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Do 14.06.2012 | | Autor: | heinze |
Dann wäre ja umgestellt
ln [mm] \bruch{s}{\wurzel{2}}=-t
[/mm]
also [mm] -ln\bruch{s}{\wurzel{2}}=t
[/mm]
Richtig?
Und womit soll ich t jetzt erstetzen? Mit [mm] (e^{-t}cost, e^{-t}sint) [/mm] ?
LG
heinze
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> Dann wäre ja umgestellt
>
> ln [mm]\bruch{s}{\wurzel{2}}=-t[/mm]
>
> also [mm]-ln\bruch{s}{\wurzel{2}}=t[/mm]
>
> Richtig?
Hallo,
Du hast Deine Bogenlänge richtig umgestellt.
Aber Deine Bogenlänge ist nicht richtig - wie ich in meinem Beitrag schrieb.
> Und womit soll ich t jetzt erstetzen? Mit [mm](e^{-t}cost, e^{-t}sint)[/mm]
> ?
???
Du sollst in [mm] $(e^{-t}cost, e^{-t}sint)$ [/mm] das t durch den errechneten Ausdruck ersetzen, also das tun, was isch bereits schreib.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Do 14.06.2012 | | Autor: | heinze |
Ich rechne einfach vor, meinen Fehler erkenne ich hier nicht.
[mm] s=\wurzel{2}(1-e^{t})
[/mm]
(die richtige Bogenlänge, auf die ich auch gekommen bin!)
[mm] s=\wurzel{2}(1-e^{t}) /:\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \bruch{s}{\wurzel{2}}=1-e^{-1}
[/mm]
Und ich sehe schon, ich habe vergessen in meinem vorherigen Post die 1 dazu zu schreiben
[mm] -ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)=t
[/mm]
[mm] s(t)=\vektor{e^{-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)}*cos(-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1) \\ e^{-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)}*sin(-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)}
[/mm]
So müsste es passen.
LG
heinze
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> [mm]s=\wurzel{2}(1-e^{t})[/mm]
> [mm]-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)=t[/mm]
>
> [mm]s(t)=\vektor{e^{-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)}*cos(-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1) \\
e^{-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)}*sin(-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)}[/mm]
>
> So müsste es passen.
Hallo,
fast: das ist aber nicht s(t), sondern [mm] \gamma(s).
[/mm]
Dann kannst Du natürlich [mm] e^{-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)} [/mm] noch etwas hübscher schreiben.
EDIT: wie von Fred bemerkt, muß es [mm] s=\wurzel{2}(1-e^{\red{-}t}) [/mm] heißen, was natürlich bei der Umkehrfunktion etwas verändert.
LG Angela
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Do 14.06.2012 | | Autor: | heinze |
Richtig, [mm] \gamma [/mm] muss das sein.
Wie kann ich das schöner schreiben? Ich kann doch einfach [mm] e^{-ln} [/mm] wegfallen lassen und habe den Ausdruck in der Klammer stehen.
LG
heinze
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Hallo!
> Wie kann ich das schöner schreiben? Ich kann doch einfach
> [mm]e^{-ln}[/mm] wegfallen lassen und habe den Ausdruck in der
> Klammer stehen.
Nanana ... nicht einfach das Minuszeichen ignorieren.
Aber Du kannst hier zunächst entweder ein  Potenzgesetz oder ein Logarithmusgesetz anwenden:
[mm] $a^{-m} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^m}$
[/mm]
[mm] $-\log(x) [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\log(x) [/mm] \ = \ [mm] \log\left(x^{-1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \log\left(\bruch{1}{x}\right)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Do 14.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich rechne einfach vor, meinen Fehler erkenne ich hier
> nicht.
>
> [mm]s=\wurzel{2}(1-e^{t})[/mm]
Hatten wir nicht [mm]s=\wurzel{2}(1-e^{-t})[/mm] ?
FRED
>
> (die richtige Bogenlänge, auf die ich auch gekommen bin!)
>
> [mm]s=\wurzel{2}(1-e^{t}) /:\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{s}{\wurzel{2}}=1-e^{-1}[/mm]
>
> Und ich sehe schon, ich habe vergessen in meinem vorherigen
> Post die 1 dazu zu schreiben
>
> [mm]-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)=t[/mm]
>
> [mm]s(t)=\vektor{e^{-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)}*cos(-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1) \\ e^{-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)}*sin(-ln(\bruch{s}{\wurzel{2}}-1)}[/mm]
>
> So müsste es passen.
>
> LG
> heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Do 14.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo steht denn da, dass du die Bogenlänge ableiten sollst?
Du hast eine funktion die vom Parameter t abhängt, jetzt willst du, dass sie von s abhängt, und du kennst s(t) was würdest du denn machen, wenn s so einfach wäre wie s=3t?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\gamma:[0,\infty]\to \IR^2, t\to e^{-t}\vektor{cost \\ sint}[/mm]
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> Bestimme die Bogenlänge [mm]\phi(t):= L(\gamma |[0,\infty]|)[/mm]
> als Funktion von [mm]t\in [0,\infty][/mm]
Es lautet sicher
[mm]\phi(t):= L(\gamma |[0,t]|)[/mm]
FRED
> Die Bogenlänge allgemein
> kann ich bestimmen in einem intervall , dass nicht [mm]\infty[/mm]
> ist.
>
> Erklärt ihr mir, was ich bei dieser Aufgabe tun soll?
>
>
> LG
> heinze
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