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logarithmusfunktionen: aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mi 10.05.2006
Autor: slice

Hey!

Also ich habe unten ein paar Aufgaben gerechnet, wäre nett wenn mir jmd. sagt, ob das stimtm! Vorher habe ich aber noch eine frage:

f(x) = ln(2x) ist ja 1/x
Ich habe irgendwo eine Begründung gelesen, dass es nach der KEttenregel geht,also innere ableitung mal äußere.
kann mir das vll. jemand nocheinmal erklären? ich hätte nämlich jetzt glaube ich einfach 2/x oder irgednwie sowas gerechnet...
oooooder ist die äußere ableitung also eig. ja nur die ableitung von ln (1/x) und dann noch mit der inneren normal zusammen 1/2x und dann ist die innere ableitung 2 und das ganze mal genommen also (1/2x) mal 2 und das ergibt ja 1/x??


gut, und jetzt kommen die aufgaben die ich gerechnet habe :-)

a) f(x)=1+ ln(x) --> f'(x)= 1/x

b) f(x)= x + ln(x) --> f'(x)= 1 + 1/x

c) f(x)= 2x+ ln(2x) --> f'(x)= 2+ 1/x

d f(x)= x² + ln(tx) --> f'(x)=2x + 1/x

e) f(x)= ln(1/x) --> f'(x)= ln(1) - ln(x) = -1/x

f)f(x)= ln (t/x) --> f'(x)= -1/x

g) f(t) = ln (t/x) --> f'(x)= 1/t

h) f(t)= ln (t + x) --> f'(t)= ln (t) + ln (x) ((??)) = 1/t


eine frage noch :-)
was ist von f(x) = loga x (log x zur basis a) die ableitung?
        
Bezug
logarithmusfunktionen: Korrekturen + Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Mi 10.05.2006
Autor: Loddar

Hallo slice!



> f(x) = ln(2x) ist ja 1/x

Du meinst hier die Ableitung?

Da kann man zwei Wege beschreiten:

1. Kettenregel:

$f(x) \ = \ [mm] \ln(2x)$ $\Rightarrow$ [/mm]   $f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2x}*2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm]


2. Logarithmusgesetz:

$f(x) \ = \ [mm] \ln(2x) [/mm] \ = \ [mm] \ln(2)+\ln(x)$ $\Rightarrow$ [/mm]   $f'(x) \ = \ [mm] 0+\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm]




> a) f(x)=1+ ln(x) --> f'(x)= 1/x

[ok]

  
> b) f(x)= x + ln(x) --> f'(x)= 1 + 1/x

[ok]

  
> c) f(x)= 2x+ ln(2x) --> f'(x)= 2+ 1/x

[ok]

  
> d f(x)= x² + ln(tx) --> f'(x)=2x + 1/x

[ok]


> e) f(x)= ln(1/x) --> f'(x)= ln(1) - ln(x) = -1/x

[notok] Hier stimmt nur "zufällig" das Endergebnis!

$f(x) \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(1)-\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] 0-\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] -\ln(x)$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]   $f'(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{x}$ [/mm]


Alternativ mit MBKettenregel :

$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{x}}*\left(\bruch{1}{x}\right)' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{x}}*\left(-\bruch{1}{x^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] x*\left(-\bruch{1}{x^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{x}$ [/mm]



> f) f(x)= ln (t/x) --> f'(x)= -1/x

[ok]


> g) f(t) = ln (t/x) --> f'(x)= 1/t

[ok]


> h) f(t)= ln (t + x) --> f'(t)= ln (t) + ln (x) ((??)) = 1/t

[notok] Das stimmt nicht! Hier kannst Du den Logarithmus nicht vereinfachen!

$f'(t) \ = \ [mm] \bruch{1}{t+x}$ [/mm]


> eine frage noch :-)
> was ist von f(x) = loga x (log x zur basis a) die
> ableitung?

[mm] $\left[ \ \log_a(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \bruch{\ln(x)}{\ln(a)} \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{\ln(a)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x*\ln(a)}$ [/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
logarithmusfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:16 Mi 10.05.2006
Autor: slice

Hey!
Cool, danke für die schnelle Antwort :-)
Hast mir geholfen! bei e) meinte ich das so wie dus gesagt hast, hab mich wohl bisschen misverständlich ausgedrückt!
Danke nochmal!
lg slice
Bezug
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