lokale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Mi 11.05.2016 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] R^2\toR [/mm] gegeben durch [mm] f(x,y)=6xy^2-2x^3-3y^4. [/mm] Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f. |
Guten Morgen zusammen, ich bin mir nicht ganz sicher ob ich obige Aufgabe richtig gelöst habe, vielleicht könnt Ihr ja mal drüber schauen und mir sagen, ob das so reicht, bzw. ob ich da noch weiteres beachten muss. DANKE!
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=6y^2-6x^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=10xy-12y^3
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-12x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=12x-36y^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial xy}(x,y)=12y
[/mm]
Es muss gelten grad f(x,y)=0, also
I) [mm] 6y^2-6x^2=0 [/mm] und
II) [mm] 12xy-12y^3=0 \to [/mm] y=0 oder [mm] x=y^2
[/mm]
y=0 in I) eingesetzt: [mm] \to [/mm] x=0
[mm] y=x^2 [/mm] in i) eingesetzt: [mm] \to [/mm] y=0, y=1, y=-1
d.h. mögliche Extrema in (0,0); (1,1); (1,-1)
Für die Hesse-Matrix gilt somit:
[mm] H_{f}(x,y)=\pmat{ -12x & 12y \\ 12y & 12x-36y^2 }
[/mm]
[mm] H_{f}(0,0)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0} \Rightarrow [/mm] kein Extremum
[mm] H_{f}(1,1)=\pmat{ -12 & 12 \\ 12y & -24 } \Rightarrow [/mm] Maximum
[mm] H_{f}(1,-1)=\pmat{ -12x & -12 \\ -12 & -24 } \Rightarrow [/mm] Maximum
Irgendwie klingt es komisch, dass ich zwei Maxima habe aber kein Minimum ... aber wo liegt mein Fehler?
LG Schobbi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]R^2\toR[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y)=6xy^2-2x^3-3y^4.[/mm]
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f.
> Guten Morgen zusammen, ich bin mir nicht ganz sicher ob
> ich obige Aufgabe richtig gelöst habe, vielleicht könnt
> Ihr ja mal drüber schauen und mir sagen, ob das so reicht,
> bzw. ob ich da noch weiteres beachten muss. DANKE!
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=6y^2-6x^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=10xy-12y^3[/mm]
Da hast Du Dich verschrieben: [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=12xy-12y^3[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-12x[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=12x-36y^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial xy}(x,y)=12y[/mm]
>
> Es muss gelten grad f(x,y)=0, also
> I) [mm]6y^2-6x^2=0[/mm] und
> II) [mm]12xy-12y^3=0 \to[/mm] y=0 oder [mm]x=y^2[/mm]
>
> y=0 in I) eingesetzt: [mm]\to[/mm] x=0
> [mm]y=x^2[/mm] in i) eingesetzt: [mm]\to[/mm] y=0, y=1, y=-1
>
> d.h. mögliche Extrema in (0,0); (1,1); (1,-1)
Ja
>
> Für die Hesse-Matrix gilt somit:
>
> [mm]H_{f}(x,y)=\pmat{ -12x & 12y \\ 12y & 12x-36y^2 }[/mm]
>
> [mm]H_{f}(0,0)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0} \Rightarrow[/mm] kein Extremum
Wieso ???
> [mm]H_{f}(1,1)=\pmat{ -12 & 12 \\ 12y & -24 } \Rightarrow[/mm]
> Maximum
Das stimmt nicht !
Edit: stimmt doch.
> [mm]H_{f}(1,-1)=\pmat{ -12x & -12 \\ -12 & -24 } \Rightarrow[/mm]
> Maximum
O.K.
FRED
>
> Irgendwie klingt es komisch, dass ich zwei Maxima habe aber
> kein Minimum ... aber wo liegt mein Fehler?
>
> LG Schobbi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mi 11.05.2016 | | Autor: | Schobbi |
> > Sei f: [mm]R^2\toR[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y)=6xy^2-2x^3-3y^4.[/mm]
> > Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f.
> > Guten Morgen zusammen, ich bin mir nicht ganz sicher ob
> > ich obige Aufgabe richtig gelöst habe, vielleicht könnt
> > Ihr ja mal drüber schauen und mir sagen, ob das so reicht,
> > bzw. ob ich da noch weiteres beachten muss. DANKE!
> >
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=6y^2-6x^2[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=10xy-12y^3[/mm]
>
> Da hast Du Dich verschrieben: [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=12xy-12y^3[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-12x[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=12x-36y^2[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial xy}(x,y)=12y[/mm]
> >
> > Es muss gelten grad f(x,y)=0, also
> > I) [mm]6y^2-6x^2=0[/mm] und
> > II) [mm]12xy-12y^3=0 \to[/mm] y=0 oder [mm]x=y^2[/mm]
> >
> > y=0 in I) eingesetzt: [mm]\to[/mm] x=0
> > [mm]y=x^2[/mm] in i) eingesetzt: [mm]\to[/mm] y=0, y=1, y=-1
> >
> > d.h. mögliche Extrema in (0,0); (1,1); (1,-1)
>
> Ja
>
>
> >
> > Für die Hesse-Matrix gilt somit:
> >
> > [mm]H_{f}(x,y)=\pmat{ -12x & 12y \\ 12y & 12x-36y^2 }[/mm]
> >
> > [mm]H_{f}(0,0)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0} \Rightarrow[/mm] kein Extremum
>
> Wieso ???
weil die [mm] H_{f}(0,0) [/mm] weder positiv noch negativ definit ist, was meine hinrichende Bedingung für Extrema ist. Reicht das als Begründung?
>
>
> > [mm]H_{f}(1,1)=\pmat{ -12 & 12 \\ 12y & -24 } \Rightarrow[/mm]
> > Maximum
>
> Das stimmt nicht !
Da hab ich wohl zu viel copy&paste gemacht, natürlich gehört das y nicht mehr in die Matrix da ich ja (1,1) einsetze. Danndoch bekomme ich da eine negeativ definite Matrix
[mm] H_{f}(1,1)=\pmat{ -12 & 12 \\ 12 & -24 } \Rightarrow [/mm] Maximum
selbiges bei [mm] H_{f}(1,-1)!
[/mm]
>
>
> > [mm]H_{f}(1,-1)=\pmat{ -12x & -12 \\ -12 & -24 } \Rightarrow[/mm]
> > Maximum
>
> O.K.
>
> FRED
> >
> > Irgendwie klingt es komisch, dass ich zwei Maxima habe aber
> > kein Minimum ... aber wo liegt mein Fehler?
> >
> > LG Schobbi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei f: [mm]R^2\toR[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y)=6xy^2-2x^3-3y^4.[/mm]
> > > Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f.
> > > Guten Morgen zusammen, ich bin mir nicht ganz sicher
> ob
> > > ich obige Aufgabe richtig gelöst habe, vielleicht könnt
> > > Ihr ja mal drüber schauen und mir sagen, ob das so reicht,
> > > bzw. ob ich da noch weiteres beachten muss. DANKE!
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=6y^2-6x^2[/mm]
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=10xy-12y^3[/mm]
> >
> > Da hast Du Dich verschrieben: [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=12xy-12y^3[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-12x[/mm]
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=12x-36y^2[/mm]
> > >
>
> > > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial xy}(x,y)=12y[/mm]
> > >
> > > Es muss gelten grad f(x,y)=0, also
> > > I) [mm]6y^2-6x^2=0[/mm] und
> > > II) [mm]12xy-12y^3=0 \to[/mm] y=0 oder [mm]x=y^2[/mm]
> > >
> > > y=0 in I) eingesetzt: [mm]\to[/mm] x=0
> > > [mm]y=x^2[/mm] in i) eingesetzt: [mm]\to[/mm] y=0, y=1, y=-1
> > >
> > > d.h. mögliche Extrema in (0,0); (1,1); (1,-1)
> >
> > Ja
> >
> >
> > >
> > > Für die Hesse-Matrix gilt somit:
> > >
> > > [mm]H_{f}(x,y)=\pmat{ -12x & 12y \\ 12y & 12x-36y^2 }[/mm]
> > >
>
> > > [mm]H_{f}(0,0)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0} \Rightarrow[/mm] kein Extremum
> >
> > Wieso ???
>
> weil die [mm]H_{f}(0,0)[/mm] weder positiv noch negativ definit ist,
> was meine hinrichende Bedingung für Extrema ist. Reicht
> das als Begründung?
Nein, weil es keine Begründung ist !
Beispiel: [mm] g(x,y)=x^4y^4.
[/mm]
Der Ursprung (0,0) ist eine kritische Stelle von g, die zugeh. Hessematrix sieht so aus:
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}
[/mm]
Es ist g(x,y) [mm] \ge [/mm] 0 für alle (x,y) und g(0,0)=0. g hat also in (0,0) ein (globales) Minimum.
>
>
> >
> >
> > > [mm]H_{f}(1,1)=\pmat{ -12 & 12 \\ 12y & -24 } \Rightarrow[/mm]
> > > Maximum
> >
> > Das stimmt nicht !
>
> Da hab ich wohl zu viel copy&paste gemacht, natürlich
> gehört das y nicht mehr in die Matrix da ich ja (1,1)
> einsetze. Danndoch bekomme ich da eine negeativ definite
> Matrix
> [mm]H_{f}(1,1)=\pmat{ -12 & 12 \\ 12 & -24 } \Rightarrow[/mm]
> Maximum
>
> selbiges bei [mm]H_{f}(1,-1)![/mm]
ja, Du hast recht. Da hab ich mich vertan
FRED
>
>
> >
> >
> > > [mm]H_{f}(1,-1)=\pmat{ -12x & -12 \\ -12 & -24 } \Rightarrow[/mm]
> > > Maximum
> >
> > O.K.
> >
> > FRED
> > >
> > > Irgendwie klingt es komisch, dass ich zwei Maxima habe aber
> > > kein Minimum ... aber wo liegt mein Fehler?
> > >
> > > LG Schobbi
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 11.05.2016 | | Autor: | Schobbi |
> > > > Für die Hesse-Matrix gilt somit:
> > > >
> > > > [mm]H_{f}(x,y)=\pmat{ -12x & 12y \\ 12y & 12x-36y^2 }[/mm]
> >
> > >
> >
> > > > [mm]H_{f}(0,0)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0} \Rightarrow[/mm] kein Extremum
> > >
> > > Wieso ???
> >
> > weil die [mm]H_{f}(0,0)[/mm] weder positiv noch negativ definit ist,
> > was meine hinrichende Bedingung für Extrema ist. Reicht
> > das als Begründung?
>
> Nein, weil es keine Begründung ist !
>
> Beispiel: [mm]g(x,y)=x^4y^4.[/mm]
>
> Der Ursprung (0,0) ist eine kritische Stelle von g, die
> zugeh. Hessematrix sieht so aus:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
>
> Es ist g(x,y) [mm]\ge[/mm] 0 für alle (x,y) und g(0,0)=0. g hat
> also in (0,0) ein (globales) Minimum.
Das ist einleuchtend, vielen Dank für das Beispiel, aber wie kann ich dann untersuchen welche Art von Extremum ich in (0,0) vorliegen habe? Über einen Tipp würde ich mich freuen. Viele Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Do 12.05.2016 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] f(x,x)=4x^3-3x^4=x^3(4-3x)
[/mm]
Für x<0 ist also f(x,x)<0=f(0,0)
und für [mm] 0
ist f(x,x)>0=f(0,0).
Hilft das ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Fr 13.05.2016 | | Autor: | Schobbi |
Danke, ich glaube jetzt habe ich es 
> [mm]f(x,x)=4x^3-3x^4=x^3(4-3x)[/mm]
> Für x<0 ist also f(x,x)<0=f(0,0)
Also sind links von der Null alle Funktionswerte negativ,
> und für [mm]0
> ist f(x,x)>0=f(0,0).
und rechts von der Null (bis [mm] \bruch{4}{3}) [/mm] positiv.
Da ich aber weiß das ich in (0,0) eine Steigung von 0 habe muss es ein Sattelpunkt sein, oder??
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Fr 13.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke, ich glaube jetzt habe ich es
>
> > [mm]f(x,x)=4x^3-3x^4=x^3(4-3x)[/mm]
> > Für x<0 ist also f(x,x)<0=f(0,0)
>
> Also sind links von der Null alle Funktionswerte negativ,
>
> > und für [mm]0
> > ist f(x,x)>0=f(0,0).
>
> und rechts von der Null (bis [mm]\bruch{4}{3})[/mm] positiv.
>
> Da ich aber weiß das ich in (0,0) eine Steigung von 0 habe
> muss es ein Sattelpunkt sein, oder??
Obiges zeigt: in jeder Umgebung von (0,0) nimmt f Funktionswerte > f(0,0) und auch Funktionswerte < f(0,0) an.
f hat also in (0,0) keine Extemstelle.
FRED
>
> LG
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