(lokale) Lipschitzstetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:37 Mi 17.10.2012 | | Autor: | huzein |
| Aufgabe | | Eine stetige Funktion [mm] $F:U\subset\mathbb R^n\times\mathbb R\to\mathbb R^n$, [/mm] $U$ offen, ist genau dann lokal Lipschitzstetig bzgl. der [mm] $\mathbb R^n$-Variablen, [/mm] wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge [mm] $K\subset [/mm] U$ Lipschitzstetig bzgl. der [mm] $\mathbb R^n$-Variablen [/mm] ist. |
Hallo, habe obige Aufgabe zu lösen. Mein Ansatz zu [mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Vor.: auf jeder kompakten Teilmenge [mm] $K\subset [/mm] U$ ist $F$ Lipschitzstetig bzgl. der [mm] $\mathbb R^n$-Variablen.
[/mm]
Beh.: $F$ ist in $U$ lokal Lipschitzstetig bzgl. der [mm] \mathbb R^n [/mm] -Variablen.
Bew.: Sei [mm] $(x_0,t_0)\in [/mm] U$ ein beliebiger Punkt und [mm] $K\subset [/mm] U$ eine kompakte Menge welche den Punkt [mm] $(x_0,t_0)$ [/mm] enthält. Ferner soll $K$ so gewählt werden, dass [mm] $(x_0,t_0)\notin \partial [/mm] K$. Setze [mm] $V:=\operatorname{Int}(K)$ [/mm] (das Innere von $K$), dann ist $V$ offen und enthält den Punkt [mm] $(x_0,t_0)$ [/mm] und ist damit eine Umgebung dieses Punktes. Da nach Voraussetzung $F$ in $K$ Lipschitzstetig ist, ist $F$ das auch in jeder Teilmenge von $K$, also in $V$ und damit ist $F$ lokal Lipschitzstetig (immer bzgl. der [mm] $\mathbb R^n$-Variablen).
[/mm]
Bitte mal schauen und mir mitteilen ob das richtig oder totaler Murks ist. Muss das morgen abgeben, ist daher schon etwas dringend.
Danke und Gruß
EDIT: habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Do 18.10.2012 | | Autor: | huzein |
danke für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 20.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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