lokale Lösung einer impl. Gl. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Di 08.11.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Sei $F: [mm] \mathbb{R}^s \times \mathbb{R}^t \rightarrow \mathbb{R}^t$ [/mm]
[mm] z=(x,y)=(x_1,\ldots,x_s,y_1,\ldots,y_t) \mapsto [/mm] F(z) = [mm] (F^1(z), F^2(z),\ldots,F^t(z)). [/mm] In welchen der folgenden Fälle gibt es eine lokale Lösung der impliziten Gleichung $F(x,f(x)) = c = [mm] F(x_0,y_0)=F(z_0) \in \mathbb{R}^t$ [/mm] ?
1. [mm] $F(x_1,x_2,y_1):= e^{x_1}x_2+sin(x_1y_1) [/mm] + [mm] log(1+y_1) [/mm] -2 $
a) [mm] $z_0:= [/mm] (0,2,0) $ b) [mm] $z_0:=(1,1,1)$ [/mm]
2. [mm] $F(x_1,x_2,y_1,y_2) :=(x_1y_1-x_2y_2,x_2^2+y_1x_1). [/mm] $
3.$ [mm] F(x_1,x_2,y_1,y_2):= (x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 +y_1^2 [/mm] + [mm] y_2^2 [/mm] -6, [mm] x_1^3 [/mm] + [mm] x_2^3 [/mm] + [mm] y_1^3+y_2^3-8) [/mm] $
a) [mm] $z_0:= [/mm] (0,-1,2,1)$ b) [mm] $z_0:=(1,1,-1,0) [/mm] $ |
Zu 1) a)
Ich verstehe hier leider nicht so ganz, wie das mit der Lösung der impliziten Gleichung gemeint ist. Heißt dies, ich setzte den Punkt in die Vorschrift ein, erhalte (hier) den Wert 0. Aber, was dann? Mir ist die Aufgabenstellung nicht ganz klar. Muss ich dann also die Vorschrift mit 0 gleichsetzen und dann nach den Variablen auflösen?
Außerdem verstehe ich nicht, was diese Aufgabe mit Differenzialrechnung zu tun haben soll, sprich, was hat das Finden einer lokalen Lösung einer Stammfunktion mit ihren Ableitungen zu tun?
Ich sehe hier jedenfalls keinen Zusammenhang mit den Satz über implizite Funktionen, oder irre ich mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]F: \mathbb{R}^s \times \mathbb{R}^t \rightarrow \mathbb{R}^t[/mm]
> [mm]z=(x,y)=(x_1,\ldots,x_s,y_1,\ldots,y_t) \mapsto[/mm] F(z) =
> [mm](F^1(z), F^2(z),\ldots,F^t(z)).[/mm] In welchen der folgenden
> Fälle gibt es eine lokale Lösung der impliziten Gleichung
> [mm]F(x,f(x)) = c = F(x_0,y_0)=F(z_0) \in \mathbb{R}^t[/mm] ?
> 1. [mm]F(x_1,x_2,y_1):= e^{x_1}x_2+sin(x_1y_1) + log(1+y_1) -2[/mm]
>
> a) [mm]z_0:= (0,2,0)[/mm] b) [mm]z_0:=(1,1,1)[/mm]
> 2. [mm]F(x_1,x_2,y_1,y_2) :=(x_1y_1-x_2y_2,x_2^2+y_1x_1).[/mm]
> 3.[mm] F(x_1,x_2,y_1,y_2):= (x_1^2 + x_2^2 +y_1^2 + y_2^2 -6, x_1^3 + x_2^3 + y_1^3+y_2^3-8)[/mm]
>
> a) [mm]z_0:= (0,-1,2,1)[/mm] b) [mm]z_0:=(1,1,-1,0)[/mm]
> Zu 1) a)
> Ich verstehe hier leider nicht so ganz, wie das mit der
> Lösung der impliziten Gleichung gemeint ist. Heißt dies,
> ich setzte den Punkt in die Vorschrift ein, erhalte (hier)
> den Wert 0. Aber, was dann? Mir ist die Aufgabenstellung
> nicht ganz klar. Muss ich dann also die Vorschrift mit 0
> gleichsetzen und dann nach den Variablen auflösen?
Schau Dir nochmal den Satz über implizit definierte Funktionen an.
>
> Außerdem verstehe ich nicht, was diese Aufgabe mit
> Differenzialrechnung zu tun haben soll, sprich, was hat das
> Finden einer lokalen Lösung einer Stammfunktion mit ihren
> Ableitungen zu tun?
>
> Ich sehe hier jedenfalls keinen Zusammenhang mit den Satz
> über implizite Funktionen, oder irre ich mich?
Du irrst.
Schauen wir uns 1 a) an.
Es ist [mm] F(z_0)=0 [/mm] und [mm] F_{y_1}(z_0) \ne [/mm] 0.
Der Satz über implzit def. Funktionen sagt:
Es gibt eine Umgebung U [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] von (0,2) und eine stetig differenzierbare Funktion f:U [mm] \to \IR [/mm] mit
[mm] F(x_1,x_2,f(x_1,x_2))=0 [/mm] für alle [mm] (x_1,x_2) \in [/mm] U
Doe Gleichung [mm] F(x_1,x_2,y_1)=0 [/mm] lääst sich also lokal um (0,2) nach [mm] y_1 [/mm] auflösen.
FRED
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