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Hi Leute,
ich habe wieder eine andere Aufgabenart die ich versuche zu lösen.
Einige meiner Freunde meinen sie wäre unlösbar.
Die Aufgaben lauten
Sei [mm] f:(0,\infty) \times (0,\infty) \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x,y)=xy+2x-ln(x^{2}*y).
[/mm]
a) Bestimme alle kritischen Punkte von f.
b) Untersuche f auf lokale Maxima und Minima.
Zu a)
Da habe ich mir gedacht einfach zu schauen wann f(x,y)=0 gilt.
Und habe folgedes rausbekommen
[mm] f(x_{1},y_{1})=(1,-2)
[/mm]
[mm] f(x_{2},y_{2})=(-1,2)
[/mm]
Weitere finde ich nicht, habe ich welche übersehen?
Wäre das dann Aufgabe a) ?
Wie muss ich mit b) weiter machen?
Danke euch fürs Lesen!!
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Hi,
die kritischen Punkte sind die Punkte, an denen f´(x,y= 0 ist,
also mußt die die totale Ableitung bilden und dann die kritischen Punkte ausrechnen. Bei den Maximal und Minimalpunkten mußt du dann die zweite Ableitung berechnen und gucken was passiert, wenn du die kritischen Punkte einsetzt.
LG
Britta
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Hallo,
ich habe jetzt folgendes gemacht...
Gegeben ist
[mm] f(x,y)=xy+2x-ln(x^{2}*y)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=-\bruch{2}{x}+y+2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-\bruch{1}{y}+x
[/mm]
Und jetzt muss ich ja ausrechnen
f'(x,y)=0, d.h. ich muss Werte für (x,y) die in beiden Ableitungen 0 ergeben.
Aber ich finde keine! oder muss man das mit einer anderen Methode ausrechnen??
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Hallo!
Du hast ja jetzt die zwei Gleichungen
(I) [mm] $-\frac [/mm] 1y+x=0$
(II) [mm] $-\bruch{2}{x}+y+2=0$
[/mm]
Lös doch mal die erste nach $x$ auf und setz das dann in die zweite ein!
Gruß, banachella
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Danke für den Tipp!
Bin vorhin auch auf den kritischen Punkt [mm] (\bruch{1}{2},2) [/mm] gekommen
Aber andere gibt es nicht, richtig?
Jetzt muss ich ja die hesse matrix erstellen...
Hessf(x,y)= [mm] \pmat{ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x,y) & \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x,y) \\ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x,y) & \bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (x,y) }
[/mm]
= [mm] \pmat{ \bruch{2}{x^{2}} & \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x,y) \\ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x,y) & \bruch{1}{y^{2}} }
[/mm]
Ich habe leider vergessen wie man die anderen Werte in der Hesse Matrix berechnet....
Kann mir das jemand sagen?
Danke!!
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Hi,
das ist eigentlich gar nicht so schwer die anderen Punkte zu berechnen, also z.B [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} [/mm] (x,y)
ist, wenn du f erst nach y abgeleitet hast und dann zum zweiten Mal nach x ableitest, also für dich:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-\bruch{1}{y}+x [/mm] und das nach x ableiten ist einfach 1
genauso bei [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} [/mm] (x,y)
Das ist deine Ableitung nach x
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=-\bruch{2}{x}+y+2 [/mm] und die nach y ableiten gibt wieder 1
Du hast dann also die Hessematrix:
[mm] \pmat{ \\ \bruch{2}{x^{2}} & 1 \\ 1 & \bruch{1}{y^{2}} }
[/mm]
Ich hoffe, daß hilft dir schon,
LG
Britta
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Danke! ich habe es eben auch herausgefunden, wie man die Hesse Matrix vollständig ausfüllt...
[mm] \pmat{ \bruch{2}{x^{2}} & \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x,y) \\ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x,y) & \bruch{1}{y^{2}} }
[/mm]
A [mm] =\pmat{ \bruch{2}{x^{2}} & 1 \\ 1 & \bruch{1}{y^{2}} }
[/mm]
Jetzt setze ich [mm] (\bruch{1}{2},2) [/mm] ein und habe
|A|= [mm] \vmat{ 8 & 1 \\ 1 & \bruch{1}{4} }
[/mm]
Wie rechnet man jetzt aus ob es evtl. ein Sattelpunkt ist oder ein Extremum?
Ich meine, beachtet man die zwei Einser ?
Oder multipliziert man einfach
[mm] 8*\bruch{1}{4}=2>0, [/mm] kein Sattelpunkt und [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (\bruch{1}{2},2)=4>0 [/mm] und [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (\bruch{1}{2},2)>0 [/mm] --> lokales Maximum...
Richtig so?
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Hallo Prinzessin83,
> Danke! ich habe es eben auch herausgefunden, wie man die
> Hesse Matrix vollständig ausfüllt...
>
> [mm]\pmat{ \bruch{2}{x^{2}} & \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x,y) \\ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x,y) & \bruch{1}{y^{2}} }[/mm]
>
> A [mm]=\pmat{ \bruch{2}{x^{2}} & 1 \\ 1 & \bruch{1}{y^{2}} }[/mm]
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> Jetzt setze ich [mm](\bruch{1}{2},2)[/mm] ein und habe
>
> |A|= [mm]\vmat{ 8 & 1 \\ 1 & \bruch{1}{4} }[/mm]
>
> Wie rechnet man jetzt aus ob es evtl. ein Sattelpunkt ist
> oder ein Extremum?
Für ein Extremum muß [mm]f_{xx}\;f_{yy}\;-\;(f_{xy})^{2}\;>\;0[/mm] sein.
Außerdem müssen [mm]f_{xx}[/mm] und [mm]f_{yy}[/mm] gleiches Vorzeichen haben.
Ist [mm]f_{xx}\;>\;0[/mm] so handelt es sich um ein Minimum.
Ist [mm]f_{xx}\;<\;0[/mm] so handelt es sich um ein Maximum.
Ein Sattelpunkt liegt vor wenn [mm]f_{xx}\;f_{yy}\;-\;(f_{xy})^{2}\;< \;0[/mm].
Für [mm]f_{xx}\;f_{yy}\;-\;(f_{xy})^{2}\;=\;0[/mm] kann nicht entschieden werden, ob ein Extremum oder nicht vorhanden ist.
Natürlich gilt das nur für den betrachteten Punkt, d.h. es gilt [mm]f_{x}(x_{0},\;y_{0})\;=\;f_{y}(x_{0},\;y_{0})\;=\;0[/mm]
>
> Ich meine, beachtet man die zwei Einser ?
Nein.
> Oder multipliziert man einfach
> [mm]8*\bruch{1}{4}=2>0,[/mm] kein Sattelpunkt und
> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (\bruch{1}{2},2)=4>0[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (\bruch{1}{2},2)>0[/mm]
> --> lokales Maximum...
>
> Richtig so?
Leider nicht.
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower!
Vielen Dank für die Erläuterungen!!
Dann versuche ich es jetzt mal mit [mm] f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}
[/mm]
[mm] f_{xy} [/mm] ist die 1 unten links in meiner Hesse Matrix oder?
[mm] f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}
[/mm]
[mm] =8*\bruch{1}{4}-1
[/mm]
=1>0, Extremum
[mm] f_{xx}=8>0, [/mm] --> Minimum
Das heisst an der Stelle [mm] f(\bruch{1}{2},2) [/mm] handelt es sich um ein lokales
Minimum.
Richtig so?
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Hallo Prinzessin83,
> Dann versuche ich es jetzt mal mit
> [mm]f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}[/mm]
>
> [mm]f_{xy}[/mm] ist die 1 unten links in meiner Hesse Matrix oder?
Ja, oder auch rechts oben.
>
> [mm]f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}[/mm]
> [mm]=8*\bruch{1}{4}-1[/mm]
> =1>0, Extremum
>
> [mm]f_{xx}=8>0,[/mm] --> Minimum
>
> Das heisst an der Stelle [mm]f(\bruch{1}{2},2)[/mm] handelt es sich
> um ein lokales
> Minimum.
>
> Richtig so?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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Danke dir nochmal!
> Hallo Prinzessin83,
>
> > Dann versuche ich es jetzt mal mit
> > [mm]f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}[/mm]
> >
> > [mm]f_{xy}[/mm] ist die 1 unten links in meiner Hesse Matrix oder?
>
> Ja, oder auch rechts oben.
>
Also müssen die Werte oben rechts und unten rechts immer gleich sein?
Wenn sie unterschiedlich sind, kann man dann davon ausgehen dass man einen Rechenfehler gemacht hat?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Galois |
Schlag mich, wenn ich als Forumsneuling Dich irrtümlicherweise kritisieren sollte, aber die (hinreichende) Bedingung für das vorliegen eines Maximums (Minimums) ist doch immer noch, daß die Hesse-Matrix positiv (negativ) definit ist. Also:
Maximum, falls [mm] $f_{xx}\;f_{yy}\;-\;(f_{xy})^{2}\;>\;0$ [/mm] und [mm] $f_{xx}>0$ [/mm] (letzteres äquivalent zu [mm] $f_{yy}>0$).
[/mm]
Minimum, falls [mm] $f_{xx}\;f_{yy}\;-\;(f_{xy})^{2}\;>\;0$ [/mm] und [mm] $f_{xx}<0$ [/mm] (letzteres äquivalent zu [mm] $f_{yy}<0$).
[/mm]
Dies sind etwas andere Bedingungen als die von Dir angegebenen.
Ähm, wenn ich´s mir genauer angucke, war es eigentlich Deine Aussage "Außerdem müssen [mm] $f_{xx}$ [/mm] und [mm] $f_{yy}$ [/mm] gleiches Vorzeichen haben." (was ja automatisch der Fall ist) die mich irritierte. Also O.K., vom rein logischen Standpunkt stimmte Deine Ausführung. Allerdings könnte die genannte zusätzliche (und unnötige) Bedingung noch andere Leser durcheinanderbringen.
Grüße,
Galois
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