lokale Ringe und Maximalideale < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei R ein Integritaetsbereich und p [mm] \subset [/mm] R ein Primideal. Zeigen sie, dass S:=R \ p eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge ist und dass [mm] S^{-1}R [/mm] ein lokaler Ring mit Maximalideal [mm] S^{-1}p [/mm] wird. |
Zuerst hab ich mir die Definitionen angeschaut, von dem was verlangt wird.
Integritaetsbereich: R heisst Intergritaetsbereich, wenn 0 [mm] \in [/mm] R einziger Nullteiler ist.
Primideal: p [mm] \subset [/mm] R heisst Primideal, wenn p [mm] \not= [/mm] R und fuer alle xy [mm] \in [/mm] p folgt x \ in p oder z [mm] \in [/mm] p.
multiplikativ abgeschlossen heisst: Es muss 1 [mm] \in [/mm] S gelten und es muss gelten, wenn a,a' [mm] \in [/mm] S dann muss auch aa' [mm] \in [/mm] S sein.
Vielleicht koennt ihr mir ein Tipp geben, wie R ohne Primideale aussieht. leider kann ich mir das gar nicht vorstellen.
Vielleicht koennt ihr mir auch einen allgemeinen Weg aufschreiben, wie man einen lokalen Ring nachweisst. Ich weiss ja schon, dass es ein Maximalideal geben soll.
Vielen Dank!
Lg
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Di 16.01.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Vielleicht koennt ihr mir ein Tipp geben, wie R ohne
> Primideale aussieht. leider kann ich mir das gar nicht
> vorstellen.
du betrachtest ja die menge $S := R [mm] \setminus [/mm] P$ für ein primideal $P [mm] \subseteq [/mm] R$. zum beispiel sieht die im falle $R = [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] und $P = [mm] 3\mathbb{Z} [/mm] = [mm] \{3k : k \in \mathbb{Z} \} [/mm] = [mm] \{n \in \mathbb{Z} : 3 | n \} \subseteq \mathbb{Z}$ [/mm] so aus: $R [mm] \setminus [/mm] P = [mm] \mathbb{Z} \setminus 3\mathbb{Z} [/mm] = [mm] \{n \in \mathbb{Z}: n \not\in 3 \mathbb{Z} \} [/mm] = [mm] \{n \in \mathbb{Z}: 3 \not| n \}$, [/mm] sind also gerade die nicht durch $3$ teilbaren zahlen.
das die menge $S := R [mm] \setminus [/mm] P$ sets multiplikativ abgeschlossen ist folgt daraus, dass $P$ prim ist, probiere das doch mal zu zeigen.
> Vielleicht koennt ihr mir auch einen allgemeinen Weg
> aufschreiben, wie man einen lokalen Ring nachweisst. Ich
> weiss ja schon, dass es ein Maximalideal geben soll.
man kann zeigen, dass ein ring $R$ genau dann lokal ist, also nur ein maximales ideal hat, wenn $R [mm] \setminus R^\times$ [/mm] ein ideal in $R$ ist, also die nicht-einheiten in $R$ ein ideal bilden.
hier kann man das aber auch ganz explizit nachrechnen: $I := [mm] S^{-1}P$ [/mm] ist ein ideal. andererseits gilt: jedes element aus [mm] $S^{-1}R \setminus [/mm] I$ ist eine einheit (warum?), kann also in keinem echten ideal liegen.
im großen und ganzen ist das eine rechenaufgabe bei der man sich eben alle beteiligten definitionen nochmal anschauen muss und etwas rumprobieren sollte. mache doch das am besten mal und schreibe, wo du stecken bleibst.
grüße
andreas
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