lokalen Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Fr 08.12.2006 | | Autor: | merke |
alle lokalen Extrema und sattelpunkte sollen bestimmt werden
F(x,y) [mm] =x^3-x^2-6x*y^2+9*y^4 für(x,y)eR^2
[/mm]
sind nur diese Punkte oder gibt es noch mehr Kandidaten?
(x1,y1)=(0,0) (x2,y2)=(4/3,2/3) (x3,y3)=(4/3,-2/3)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Sa 09.12.2006 | | Autor: | merke |
Kann bitte bitte mir jemand antworten?
|
|
|
| |
|
> alle lokalen Extrema und sattelpunkte sollen bestimmt
> werden
>
> F(x,y) [mm]=x^3-x^2-6x*y^2+9*y^4 für(x,y)eR^2[/mm]
>
> sind nur diese Punkte oder gibt es noch mehr Kandidaten?
>
> (x1,y1)=(0,0) (x2,y2)=(4/3,2/3)
> (x3,y3)=(4/3,-2/3)
Hallo,
ich habe andere Punkte als Kandidaten berechnet, und zwar nur zwei.
Wenn Du Deinen Lösungsweg gepostet hättest. hätte ich gucken können, wer wo was falsch rechnet.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Sa 09.12.2006 | | Autor: | merke |
Hallo Angela
[mm] F(x,y)=x^3-x^2-6xy^2+9y^4
[/mm]
[mm] df/dx=3x^2-2x-6y^2
[/mm]
[mm] df/dy=-12xy+36y^3
[/mm]
I [mm] 3x^2-2x-6y^2=0
[/mm]
II [mm] -12xy+36y^3=0 y(-12x+36y^2)=0 [/mm] y1=0
(I) [mm] 3x^2-2x-6y^2=0 [/mm]
[mm] 3x^2-2x-6*0^2=0 [/mm]
[mm] 3x^2-2x=0 [/mm]
x(3x-2)=0
3x-2=0 x=2/3
(x1,y1)=(0,0) (x2,y2)=(2/3,0) das habe ich zusätzlich noch
(II) [mm] -12x+36y^2=0 36y^2=12x y^2=1/3x
[/mm]
(I) [mm] 3x^2-2x-6y^2=0 3x^2-2x-6*(1/3x)^2=0 3x^2-2x-2x=0
[/mm]
[mm] 3x^2-4x=0 [/mm] x(3x-4)=0 3x-4=0 3x=4 x=4/3
(II) [mm] y^2=1/3x y^2=1/3*4/3 y^2==4/9 [/mm] y=+-2/3
(x3,y3)=(4/3,2/3) (x4,y4)=(4/3,-2/3)
ich habe jetzt vier Kandidaten
liebe grüße merke
|
|
|
| |
|
Hallo,
Deine vier Punkte habe ich jetzt(!) auch.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 09.12.2006 | | Autor: | merke |
lokalen Extrema und Sattelpunktebestimmen
Andre Funktion [mm] F(x,y)=x^4-2x^2+4xy+y^4-2y^2
[/mm]
Ich habe folgenden Kandidaten:
(x1,y1)=(0,0) ; (x2,y2)=(1,0) und (x3,y3)=(-1,0)
Angela kanst Du bitte noch dieser Kandikaten überprüfen ob sie richtig sind?
|
|
|
| |
|
> lokalen Extrema und Sattelpunktebestimmen
> Andre Funktion [mm]F(x,y)=x^4-2x^2+4xy+y^4-2y^2[/mm]
>
> Ich habe folgenden Kandidaten:
> (x1,y1)=(0,0) ; (x2,y2)=(1,0) und (x3,y3)=(-1,0)
>
>
> Angela kanst Du bitte noch dieser Kandikaten überprüfen
> ob sie richtig sind?
Hallo,
mein Gradient ist [mm] (4x^3-4x+4y, 4x+4y^3-4y),
[/mm]
und hieraus erhalte ich andere Werte.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Di 12.12.2006 | | Autor: | merke |
morgen muss ich abgeben und ich weiss nicht wie ich auf die richtige lösung komme. kanst Du bitte mir sagen wie es geht?
|
|
|
| |
|
> morgen muss ich abgeben und ich weiss nicht wie ich auf die
> richtige lösung komme.
Hast Du denn dieselben partiellen Ableitungen?
Die müssen =0 gesetzt werden, und die Gleichungen aufgelöst.
Was hast du denn gerechnet, vielleicht hast du Dich nur etwas verrechnet? Man macht doch leicht mal Vorzeichenfehler o.ä.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mi 13.12.2006 | | Autor: | merke |
Hallo Angela
Die Übung habe ich heute abgegeben.
Ich hatte aber noch zwei zusätzliche Kandidaten gefunden.
Und damit hatte ich insgesamt.
(x1,y1)=(0,0) (x2,y2)=(0,1) (x3,y3)=(0,-1)
(x4,y4)=(-wurzel(2), +wurzel(2))
und (x5,y5)=(wurzel(2), -wurzel(2))
Ich hoffe, dass sie alle richtig sind.
Und damit hatte ich in Punkt (x4,y4) und (x5,y5) lokales Minimum
In Punkt (x2,y2) und (x3,y3) Sattelpunkt
In Punkt (x1,y1)=0 keine Aussage möglich
Liebe grüße merke
|
|
|
| |
|
>
>
> Und damit hatte ich insgesamt.
> (x1,y1)=(0,0) (x2,y2)=(0,1) (x3,y3)=(0,-1)
>
> (x4,y4)=(-wurzel(2), +wurzel(2))
> und (x5,y5)=(wurzel(2), -wurzel(2))
>
> Ich hoffe, dass sie alle richtig sind.
Wenn Du diese (x2,y2)=(0,1) (x3,y3)=(0,-1) in die partielle Ableitung einsetzt, kommt aber nicht (0,0) heraus, vorausgesetzt, ich habe mich bei der Ableitung nicht vertan.
Die anderen sehen gut aus.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mi 13.12.2006 | | Autor: | merke |
Um zu überprüfen muss ich in Partielle Ableitung einsetzen. Das wusste ich nicht Danke
[mm] F(x,y)=x^4-2x^2+4xy+y^4-2y^2 [/mm]
[mm] df/dx=4x^3-4x+4y=0
[/mm]
[mm] df/dy=4x+4y^3-4y=0 4y=4x+4y^3 [/mm]
II [mm] 4x+4y^3-4y=0 [/mm] df/dy(0,1)= [mm] 4*0+4*1^3-4*1=0 [/mm] stimmt
II [mm] 4x+4y^3-4y=0 [/mm] df/dy(0,-1)= [mm] 4*0+4(-1)^3-4*(-1)=0 [/mm] stimmt
also dann richtig
df/dy(0,0)=0 stimmt
df/dy(-wurzel(2) , wurzel(2)) =0 stimmt
df/dy(wurzel(2) , -wurzel(2)) ungleich 0 muss ich dann hier df/dx einsetzen oder wie?
aber
df/dx(wurzel(2) , -wurzel(2)) = 0 stimmt was sagst Du dazu, hier kommt df/dx =0
leibe grüße merke
|
|
|
| |
|
> Um zu überprüfen muss ich in Partielle Ableitung einsetzen.
> Das wusste ich nicht Danke
Hm. Jetzt bin ich etwas irritiert.
Man kriegt die "Kandidaten doch, indem man die partiellen Ableitungen =0 setzt.
Das Einsetzen der Kandidaten ist die Probe. Hast Du einen Kandidaten (a,b) gefunden, so muß doch df/dx(a,b)=0 sein UND df/dy(a,b)=0.
> [mm]F(x,y)=x^4-2x^2+4xy+y^4-2y^2[/mm]
>
> [mm]df/dx=4x^3-4x+4y=0[/mm]
> [mm]df/dy=4x+4y^3-4y=0 [/mm]
Aha. Unsere partiellen Ableitungen stimmen überein.
Es werden doch nun diejenigen (x,y) gesucht, für welche
[mm] 4x^3-4x+4y=0 [/mm] und [mm] 4x+4y^3-4y=0
[/mm]
Addition der Gleichungen ergibt [mm] 4x^3-+4y^3=0 [/mm] ==> x=-y
Einsetzen in die erste Gleichung [mm] 0=4x^3-4x-4x=4x(x^2-2) [/mm] ==> x=0 oder [mm] x=\wurzel{2} [/mm] oder [mm] x=-\wurzel{2} [/mm] und hieraus die Punkte
(0,0), [mm] (\wurzel{2},-\wurzel{2}), (-\wurzel{2},\wurzel{2}).
[/mm]
Und wenn Du diese einsetzt, sind die partiellen Ableitungen in der Tat jeweils =0.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mi 13.12.2006 | | Autor: | merke |
wenn Du diese einsetzt, sind die partiellen Ableitungen in der Tat jeweils =0
Hier trifft dieser Satz nicht zu denn df/dy(wurzel(2) , -wurzel(2)) ungleich Null
Nur wenn ich in df/dx(wurzel(2) , -wurzel(2)) = 0 bekomme ich 0.
Also es sind nicht beide partielle Ableitungen =0
Oder habe ich was nicht verstanden
leibe grüße merke
|
|
|
| |
|
> wenn Du diese einsetzt, sind die partiellen Ableitungen in
> der Tat jeweils =0
>
> Hier trifft dieser Satz nicht zu denn [mm] df/dy(\wurzel(2) [/mm]
> , [mm] -\wurzel(2)) [/mm] ungleich Null
>
> Nur wenn ich in [mm] df/dx(\wurzel(2) [/mm] , [mm] -\wurzel(2)) [/mm] = 0 bekomme
> ich 0.
>
> Also es sind nicht beide partielle Ableitungen =0
Es ist [mm] df/dy=4x+4y^3-4y,
[/mm]
also [mm] df/dy(\wurzel(2) [/mm] , [mm] -\wurzel(2))=4\wurzel(2)+4*(-2)\wurzel(2)+4\wurzel(2)=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mi 13.12.2006 | | Autor: | merke |
$ [mm] df/dy=4x+4y^3-4y=0, [/mm] $ so weit sind wir einig aber
$ [mm] df/dy(\wurzel{2} [/mm] $$ [mm] -\wurzel{2})=$ [/mm]
4*wurzel(2) [mm] +4*(-wurzel(2))^3-4*(-wurzel(2) [/mm] =8*wurzel(2)-4*2^(3/2)
leibe grüße merke
|
|
|
| |
|
> [mm]df/dy=4x+4y^3-4y=0,[/mm] so weit sind wir einig aber
> [mm]df/dy(\wurzel{2}[/mm][mm], -\wurzel{2})=[/mm]
> [mm] 4*\wurzel(2)[/mm] [mm]+4*(-\wurzel(2))^3-4*(-\wurzel(2)[/mm]
> [mm] =8*\wurzel(2)-4*2^{3/2} [/mm]
>
> leibe grüße merke
Mannomann...
=0 !!!
Könnte es sein, daß Du [mm] (\wurzel(2))^3 [/mm] nicht berechnen kannst? Es ist [mm] =2\wurzel(2).
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 14.12.2006 | | Autor: | merke |
da ist doch 4*(-wurzel(2)) ein Minus Zeichen
rechne doch mit TI dann siehst Du das da kein 0 raus kommt
mfg merke
|
|
|
| |
|
[mm] df/dy=4x+4y^3-4y
[/mm]
Jetzt betrachten wir den Punkt [mm] (\wurzel{2} [/mm] , [mm] -\wurzel{2}), [/mm] also x= [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] y=-\wurzel{2}:
[/mm]
Es ist [mm] 4\wurzel{2}+4*(-\wurzel{2})^3-4*(-\wurzel{2})=4\wurzel{2}-4*2\wurzel(2)+4\wurzel(2)=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Fr 15.12.2006 | | Autor: | merke |
$ [mm] 4\wurzel{2}+4\cdot{}(-\wurzel{2})^3-4\cdot{}(-\wurzel{2}) [/mm] ungleich [mm] 4\wurzel{2}-4\cdot{}2\wurzel{2}+4\wurzel{2}=0. [/mm] $
Ich weis wo du dein Fehler hast
[mm] 4*(-wurzel(2))^3 [/mm] ist nicht gleich -4*2*wurzel(2)
Wenn das gleich gewesen währe dann hättest du recht.
Liebe grüsse merke
|
|
|
| |
|
>
>
> [mm]4\wurzel{2}+4\cdot{}(-\wurzel{2})^3-4\cdot{}(-\wurzel{2}) ungleich 4\wurzel{2}-4\cdot{}2\wurzel{2}+4\wurzel{2}=0.[/mm]
>
>
> Ich weis wo du dein Fehler hast
> [mm]4*(-wurzel(2))^3[/mm] ist nicht gleich -4*2*wurzel(2)
>
> Wenn das gleich gewesen währe dann hättest du recht.
>
> Liebe grüsse merke
Hallo,
allmählich frage ich mich wirklich, ob Du in der Mittelstufe geschlafen hast, oder ob Du mich provozieren möchtest.
Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Sa 16.12.2006 | | Autor: | leduart |
>
> Ich weis wo du dein Fehler hast
> [mm]4*(-wurzel(2))^3[/mm] ist nicht gleich -4*2*wurzel(2)
DAS IST GLEICH! Schreibs aus!
[mm] (-wurzel(2))^3=((-wurzel(2)*(-wurzel(2))*(-wurzel(2))
[/mm]
Gute Nacht leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Sa 16.12.2006 | | Autor: | merke |
OK jetzt ist mir klar. mein Fehler war, dass ich mich auf TI verlasen habe,
denn wenn ich $ [mm] 4\wurzel{2}+4\cdot{}(-\wurzel{2})^3-4\cdot{}(-\wurzel{2}) [/mm] =$ eingegeben habe kam 8*wurzel(2) 4*2^(3/2)
und ich habe aber nicht bemärkt, dass das 8*wurzel(2) 4*2^(3/2)=0 ist
mir ist trotzt ein Rätsel warum mein TI so ein blödes Ergebnis gibt. Und nicht gleich 0 rechnet.
Aber wenn ich so eingebe $ [mm] 4\wurzel{2}-4\cdot{}(\wurzel{2})^3-4\cdot{}(-\wurzel{2}) [/mm] =$ kommt =0 raus
Liebe Angela ich wollte dich auf keinen fall provozieren wo du dir so viel mühe gegeben hast bis ich verstanden habe. Jetzt kann ich dein Regel wenn Du diese einsetzt, sind die partiellen Ableitungen in der Tat jeweils =0 immer benutzen.
Vielen dank noch einmal an Angela
Und danke für den Tipp leduart
|
|
|
|
