lokales Minimum/Komposition < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1)
a) Sei f: [mm] \IR^2 \to \R [/mm] gegeben durch f(x,y) [mm] =(x^2-y)(x^2-3y) [/mm] und g: [mm] \IR \to \IR^2 [/mm] eine lineare Abbildung. zeige, dass die Komposition von f und g ein lokales minimum in 0 besitzt. |
huhu,
ich muss gestehen ich bin ratlos. Was zum Beispiel kann ich mit der Vorraussetzung vong anfangen, dass g linear ist?
was ich aus meinem schlauen Buch weiß:
notwendiges Kriterium:
f : M [mm] \to \IR [/mm] sei in [mm] x_0 [/mm] (=0) differenzierbar und besitzte dort ein inneres Extremum. Dann gilt
gradient f(0) = 0
bzw hinr. Kriterium für isoliertes (ich hoffe d.h. lokal) minimum:
ist gradient f(0) = 0 und die hesse Matrix D^2f(0) pos. definit, so besitzt f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] (=0) ein isoliertes Minimum.
kann mir jemand n Schubser geben wo ich anfangen kann/soll ?^^
Lg,
Eve
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sry f geht von [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> 1)
> a) Sei f: [mm]\IR^2 \to \R[/mm] gegeben durch f(x,y)
> [mm]=(x^2-y)(x^2-3y)[/mm] und g: [mm]\IR \to \IR^2[/mm] eine lineare
> Abbildung. zeige, dass die Komposition von f und g ein
> lokales minimum in 0 besitzt.
>
> huhu,
>
> ich muss gestehen ich bin ratlos. Was zum Beispiel kann ich
> mit der Vorraussetzung vong anfangen, dass g linear ist?
g hat die Gestalt
g(t)=(at,bt) (t [mm] \in \IR)
[/mm]
>
> was ich aus meinem schlauen Buch weiß:
>
> notwendiges Kriterium:
>
> f : M [mm]\to \IR[/mm] sei in [mm]x_0[/mm] (=0) differenzierbar und besitzte
> dort ein inneres Extremum. Dann gilt
>
> gradient f(0) = 0
>
> bzw hinr. Kriterium für isoliertes (ich hoffe d.h. lokal)
> minimum:
>
> ist gradient f(0) = 0 und die hesse Matrix D^2f(0) pos.
> definit, so besitzt f an der Stelle [mm]x_0[/mm] (=0) ein isoliertes
> Minimum.
>
>
> kann mir jemand n Schubser geben wo ich anfangen kann/soll
Du sollst zeigen, dass die Funktion $ h:=f [mm] \circ [/mm] g$ ein lokales Minimum in 0 besitzt.
h sieht so aus: h(t)=f(g(t))=f(at,bt)
FRED
> ?^^
>
> Lg,
>
> Eve
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huhu,
> > 1)
> > a) Sei f: [mm]\IR^2 \to \R[/mm] gegeben durch f(x,y)
> > [mm]=(x^2-y)(x^2-3y)[/mm] und g: [mm]\IR \to \IR^2[/mm] eine lineare
> > Abbildung. zeige, dass die Komposition von f und g ein
> > lokales minimum in 0 besitzt.
> >
>
> g hat die Gestalt
>
> g(t)=(at,bt) (t [mm]\in \IR)[/mm]
> >
>
> Du sollst zeigen, dass die Funktion [mm]h:=f \circ g[/mm] ein
> lokales Minimum in 0 besitzt.
>
> h sieht so aus: h(t)=f(g(t))=f(at,bt)
>
soweit bin ich:
f(at,bt)
f(at,bt) = [mm] ((at)^2 [/mm] - bt) [mm] \* ((at)^2 [/mm] - 3bt)
= [mm] (a^2t^2-bt) \* (a^2t^2-3bt)
[/mm]
= [mm] a^4t^4 [/mm] - [mm] a^2bt^3 [/mm] - [mm] 3a^2bt^3 [/mm] + [mm] 3b^2t^2
[/mm]
= [mm] a^4t^4 -4a^2bt^3 [/mm] + [mm] 3b^2t^2
[/mm]
muss ich nun nach t ableiten oder muss ich einmal nach a ableiten und einmal nach b?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Di 08.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> huhu,
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>
>
> > > 1)
> > > a) Sei f: [mm]\IR^2 \to \R[/mm] gegeben durch f(x,y)
> > > [mm]=(x^2-y)(x^2-3y)[/mm] und g: [mm]\IR \to \IR^2[/mm] eine lineare
> > > Abbildung. zeige, dass die Komposition von f und g ein
> > > lokales minimum in 0 besitzt.
> > >
>
> >
> > g hat die Gestalt
> >
> > g(t)=(at,bt) (t [mm]\in \IR)[/mm]
> > >
>
> >
> > Du sollst zeigen, dass die Funktion [mm]h:=f \circ g[/mm] ein
> > lokales Minimum in 0 besitzt.
> >
> > h sieht so aus: h(t)=f(g(t))=f(at,bt)
> >
>
>
> soweit bin ich:
>
> f(at,bt)
>
> f(at,bt) = [mm]((at)^2[/mm] - bt) [mm]\* ((at)^2[/mm] - 3bt)
> = [mm](a^2t^2-bt) \* (a^2t^2-3bt)[/mm]
> =
> [mm]a^4t^4[/mm] - [mm]a^2bt^3[/mm] - [mm]3a^2bt^3[/mm] + [mm]3b^2t^2[/mm]
> = [mm]a^4t^4 -4a^2bt^3[/mm] + [mm]3b^2t^2[/mm]
>
> muss ich nun nach t ableiten oder muss ich einmal nach a
> ableiten und einmal nach b?
a,b sind Konstanten. Deine Komposition lautet doch [mm]h(t)=\ldots[/mm]
Also musst du nach t ableiten!
Gruß
barsch
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> > > > a) Sei f: [mm]\IR^2 \to \R[/mm] gegeben durch f(x,y)
> > > > [mm]=(x^2-y)(x^2-3y)[/mm] und g: [mm]\IR \to \IR^2[/mm] eine lineare
> > > > Abbildung. zeige, dass die Komposition von f und g ein
> > > > lokales minimum in 0 besitzt.
> > > >
> >
> > >
> > > g hat die Gestalt
> > >
> > > g(t)=(at,bt) (t [mm]\in \IR)[/mm]
> > > >
> >
> > >
> > > Du sollst zeigen, dass die Funktion [mm]h:=f \circ g[/mm] ein
> > > lokales Minimum in 0 besitzt.
> > >
> > > h sieht so aus: h(t)=f(g(t))=f(at,bt)
> > >
> >
> >
> > soweit bin ich:
> >
> > f(at,bt)
> >
> > f(at,bt) = [mm]((at)^2[/mm] - bt) [mm]\* ((at)^2[/mm] - 3bt)
> > = [mm](a^2t^2-bt) \* (a^2t^2-3bt)[/mm]
> >
> =
> > [mm]a^4t^4[/mm] - [mm]a^2bt^3[/mm] - [mm]3a^2bt^3[/mm] + [mm]3b^2t^2[/mm]
> > = [mm]a^4t^4 -4a^2bt^3[/mm] + [mm]3b^2t^2[/mm]
> >
> > muss ich nun nach t ableiten oder muss ich einmal nach a
> > ableiten und einmal nach b?
>
> a,b sind Konstanten. Deine Komposition lautet doch
> [mm]h(t)=\ldots[/mm]
>
> Also musst du nach t ableiten!
>
> Gruß
> barsch
>
soweit bin ich:
erste Ableitung ist ja:
[mm] 4a^4t^3 [/mm] - [mm] 12a^2bt^2 [/mm] + [mm] 6b^2 [/mm] t
und das muss =0 sein für ein extremum.
das kann ich umformen zu:
t [mm] \* (4a^4t^2 -12a^2 [/mm] bt + [mm] 6b^2) [/mm] = 0
daraus würde folgen, dass entweder t Oder a Und b 0 sein muss. Das bringt mir aber glaub ich nix^^ wie muss ich weiter vorgehen?^^
Lg,
Eve
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Do 10.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> soweit bin ich:
>
> erste Ableitung ist ja:
>
> [mm]4a^4t^3[/mm] - [mm]12a^2bt^2[/mm] + [mm]6b^2[/mm] t
>
> und das muss =0 sein für ein extremum.
>
> das kann ich umformen zu:
>
> t [mm]\* (4a^4t^2 -12a^2[/mm] bt + [mm]6b^2)[/mm] = 0
also: entweder t=0 oder [mm](4a^4t^2 -12a^2bt + 6b^2)=0[/mm]
> daraus würde folgen, dass entweder t Oder a Und b 0 sein
> muss. Das bringt mir aber glaub ich nix^^ wie muss ich
> weiter vorgehen?^^
Du musst ja nur zeigen, dass bei t=0 ein lok. Min. vorliegt.
Was muss also für [mm]f''(0)[/mm] gelten?
> Lg,
>
> Eve
Gruß
barsch
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> Hallo,
>
> > soweit bin ich:
> >
> > erste Ableitung ist ja:
> >
> > [mm]4a^4t^3[/mm] - [mm]12a^2bt^2[/mm] + [mm]6b^2[/mm] t
> >
> > und das muss =0 sein für ein extremum.
> >
> > das kann ich umformen zu:
> >
> > t [mm]\* (4a^4t^2 -12a^2[/mm] bt + [mm]6b^2)[/mm] = 0
>
> also: entweder t=0 oder [mm](4a^4t^2 -12a^2bt + 6b^2)=0[/mm]
>
> > daraus würde folgen, dass entweder t Oder a Und b 0 sein
> > muss. Das bringt mir aber glaub ich nix^^ wie muss ich
> > weiter vorgehen?^^
>
> Du musst ja nur zeigen, dass bei t=0 ein lok. Min.
> vorliegt.
>
> Was muss also für [mm]f''(0)[/mm] gelten?
>
das f''(x) > 0 ist.
f'' (x) =
[mm] 12a^4t^2 -24a^2 [/mm] bt [mm] +6b^2 [/mm]
und da wir den Punkt t = 0 betrachten stimmt das, weil [mm] 6b^2 [/mm] (eigentlich) immer positiv ist, nur was ist wenn ich b = 0 habe? dann geht das doch nicht auf
Lg,
Eve
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Fr 11.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> > Was muss also für [mm]f''(0)[/mm] gelten?
> >
> das f''(x) > 0 ist.
>
> f'' (x) =
> [mm]12a^4t^2 -24a^2[/mm] bt [mm]+6b^2[/mm]
>
> und da wir den Punkt t = 0 betrachten stimmt das, weil
> [mm]6b^2[/mm] (eigentlich) immer positiv ist,
okay, [mm]6*b^2>0[/mm] für [mm]b\not=0[/mm].
> nur was ist wenn ich b = 0 habe? dann geht das doch nicht auf
Für b=0 verwende das Vorzeichenwechselkriterium!
> Lg,
>
> Eve
Gruß
barsch
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