m.te Kreisteilungspoly < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Für m [mm] \in \mathbb{N} [/mm] ist das m-te Kreisteilungspolynom [mm] \Phi_m(x) \in \mathbb{C}[x] [/mm] definiert durch
[mm] \Phi_m(x) [/mm] := [mm] \prod_{\{a: 0
(a) Zeigen Sie: [mm] x^m-1 [/mm] = [mm] \prod_{d|m} \Phi_d(x)
[/mm]
(b) Zeigen Sie: [mm] \Phi_m(x) \in \mathbb{Z}[x]. [/mm] |
Hallo,
ich hab ein paar Fragen zu dieser Aufgabe.
Vielleicht kann man bei (a) ja so ansetzen:
[mm] x^m [/mm] - 1 = [mm] \prod_{ a \in \{0,..., m-1\}} [/mm] (x - [mm] e^{2 \pi i \frac{a}{m}}), [/mm] die Nullstellen von [mm] x^m [/mm] -1 sind ja gerade die m.ten Einheitswurzeln.
Jetzt brauche ich daraus ja irgendwie ein Doppelprodukt, eins das über 0<a<m läuft und eins über ggT(a,m) = 1. Wie kann ich da von d|m hinkommen?
Anscheinend soll folgende Bemerkung noch helfen:
Für m [mm] \in \mathbb{N} [/mm] und A = [mm] \{d: d|m\} [/mm] hat man eine Bijektion von A nach A, d [mm] \rightarrow \frac{m}{d}.
[/mm]
(b)
Das funktioniert wohl über vollständige Induktion über m.
IA: m=0 : [mm] \Phi_0 [/mm] = [mm] \prod_{\{ 0
IS:
Man kann schreiben:
[mm] x^m [/mm] - 1 = [mm] \Phi_m [/mm] * [mm] \prod_{\{d|m, d <> m\}} \Phi_d
[/mm]
Wie kann man hier nun auf den hinteren Term die IV verwenden?
Freue mich über alle Hinweise!
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Do 30.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Für m [mm]\in \mathbb{N}[/mm] ist das m-te Kreisteilungspolynom
> [mm]\Phi_m(x) \in \mathbb{C}[x][/mm] definiert durch
> [mm]\Phi_m(x)[/mm] := [mm]\prod_{\{a: 0
Hm, müsste es unter dem Produkt nicht [mm] $0
> (a) Zeigen Sie: [mm]x^m-1[/mm] = [mm]\prod_{d|m} \Phi_d(x)[/mm]
>
> (b) Zeigen Sie: [mm]\Phi_m(x) \in \mathbb{Z}[x].[/mm]
> Hallo,
> ich hab ein paar Fragen zu dieser Aufgabe.
>
> Vielleicht kann man bei (a) ja so ansetzen:
>
> [mm]x^m - 1 = \prod_{ a \in \{0,..., m-1\}} (x - e^{2 \pi i \frac{a}{m}}),[/mm]
> die Nullstellen von [mm]x^m -1[/mm] sind ja gerade die m.ten
> Einheitswurzeln.
>
> Jetzt brauche ich daraus ja irgendwie ein Doppelprodukt,
> eins das über 0<a<m läuft und eins über ggT(a,m) = 1. Wie
> kann ich da von d|m hinkommen?
> Anscheinend soll folgende Bemerkung noch helfen:
> Für m [mm]\in \mathbb{N}[/mm] und A = [mm]\{d: d|m\}[/mm] hat man eine
> Bijektion von A nach A, d [mm]\rightarrow \frac{m}{d}.[/mm]
Wie wäre es wenn du nachweist, dass die rechte Seite ein Polynom vom Grade m ist, das gerade alle m-ten Einheitswurzeln als Nullstellen hat?
> (b)
> Das funktioniert wohl über vollständige Induktion über m.
>
> IA: m=0 : [mm]\Phi_0 =]\prod_{\{ 0
Weil es das leere Produkt und damit 1 ist.
> IS:
> Man kann schreiben:
> [mm]x^m - 1 = \Phi_m*\prod_{\{d|m, d <> m\}} \Phi_d[/mm]
> Wie
> kann man hier nun auf den hinteren Term die IV verwenden?
Das Produkt rechts ist doch nach IV in [mm]\mathbb{Z}[x][/mm]. Was folgt dann für [mm] $\Phi_m$?
[/mm]
Viele Grüße,
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die Hinweise.
> Hm, müsste es unter dem Produkt nicht [mm]0
> heissen? Sonst kommt im Fall m=1 das Falsche raus. (Für [mm]m>1[/mm]
> ist es egal, weil dann der Faktor wegen [mm]\ggT(m,m)=m[/mm] nicht
> vorkommt.)
Stimmt, dann ist das wohl ein kleiner Fehler in der Aufgabenstellung, ich hab nochmal nachgeschaut aber da steht wirklich nur 0<a<m.
> Wie wäre es wenn du nachweist, dass die rechte Seite ein
> Polynom vom Grade m ist, das gerade alle m-ten
> Einheitswurzeln als Nullstellen hat?
Ja, das wäre cool, wenn ich das könnte. Aber wie kann ich aus der e-Fkt ein Polynom bekommen? Muss ich dafür diese unendlich Reihe oder so einsetzen...??
> b)
> Das Produkt rechts ist doch nach IV in [mm]\mathbb{Z}[x][/mm]. Was
> folgt dann für [mm]\Phi_m[/mm]?
Das versteh ich noch nicht ganz. Ist das Produkt [mm] \prod_{d|m, d<>m} \Phi_d(x) [/mm] in [mm] \mathbb{Z}[x], [/mm] weil d [mm] \not=m [/mm] und es dann ein Polynom vom Grad m-1 ist?
Braucht man da Polynomdivision dafür? Also ich dürfte noch folgenden Satz verwedenen: "Ist R ein INtegritätsring und sind f(x), g(x) [mm] \in R[x]-\{0\}
[/mm]
und ist g(x) unität, so gibt es eindeutige q(x), r(x) [mm] \in [/mm] R[x] mit deg r(x) < deg g(x) und f(x) = q(x) g(x) + r(x)."
Aber ich seh nicht was dann für [mm] \Phi_m(x) [/mm] folgt...?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Fr 31.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für die Hinweise.
>
> > Hm, müsste es unter dem Produkt nicht [mm]0
> > heissen? Sonst kommt im Fall m=1 das Falsche raus. (Für [mm]m>1[/mm]
> > ist es egal, weil dann der Faktor wegen [mm]\ggT(m,m)=m[/mm] nicht
> > vorkommt.)
>
> Stimmt, dann ist das wohl ein kleiner Fehler in der
> Aufgabenstellung, ich hab nochmal nachgeschaut aber da
> steht wirklich nur 0<a<m.
>
>
> > Wie wäre es wenn du nachweist, dass die rechte Seite ein
> > Polynom vom Grade m ist, das gerade alle m-ten
> > Einheitswurzeln als Nullstellen hat?
>
> Ja, das wäre cool, wenn ich das könnte. Aber wie kann ich
> aus der e-Fkt ein Polynom bekommen? Muss ich dafür diese
> unendlich Reihe oder so einsetzen...??
Bedenke, dass jede der e-Funktionen eine m-te Einheitswurzel darstellt!
>
> > b)
> > Das Produkt rechts ist doch nach IV in [mm]\mathbb{Z}[x][/mm].
> Was
> > folgt dann für [mm]\Phi_m[/mm]?
>
> Das versteh ich noch nicht ganz. Ist das Produkt
> [mm]\prod_{d|m, d<>m} \Phi_d(x)[/mm] in [mm]\mathbb{Z}[x],[/mm] weil d [mm]\not=m[/mm]
> und es dann ein Polynom vom Grad m-1 ist?
Nach Induktionsvoraussetzung sind doch alle [mm] $\Phi_d$ [/mm] mit $d<m$ Elemente von [mm]\mathbb{Z}[x][/mm], also auch ihr Produkt. $d<m$ folgt aus $d|m$ und [mm] $d\not=m$.
[/mm]
> Braucht man da Polynomdivision dafür? Also ich dürfte noch
> folgenden Satz verwedenen: "Ist R ein INtegritätsring und
> sind f(x), g(x) [mm]\in R[x]-\{0\}[/mm]
> und ist g(x) unität, so
> gibt es eindeutige q(x), r(x) [mm]\in[/mm] R[x] mit deg r(x) < deg
> g(x) und f(x) = q(x) g(x) + r(x)."
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber ich seh nicht was dann für [mm]\Phi_m(x)[/mm] folgt...?
Du musst diesen Satz auf die Gleichung anwenden.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die Hilfe.
> Bedenke, dass jede der e-Funktionen eine m-te
> Einheitswurzel darstellt!
Ja, d.h. dass sie die Gleichung [mm] x^m [/mm] = 1 erfüllt, also [mm] x^m [/mm] -1 = 0. Und wenn man das in Nullstellen aufdröselt kommt man auf die Form (x - Nullstelle)(x-NS) ... (x - NS). Ist es damit gezeigt, dass es ein Polynom m.ten Grades mit diesen NS ist? Aber ich seh noch nicht wie man auf die Bedingung ggT(d,m) =1 kommt? Ich versteh auch nicht wie ich hier den Hinweis mit der Bijektion verwenden könnte...??
> Nach Induktionsvoraussetzung sind doch alle [mm]\Phi_d[/mm] mit [mm]d
> Elemente von [mm]\mathbb{Z}[x][/mm], also auch ihr Produkt. [mm]d
> folgt aus [mm]d|m[/mm] und [mm]d\not=m[/mm].
Ah, okay, danke für die Erklärung!
> > Braucht man da Polynomdivision dafür? Also ich dürfte noch
> > folgenden Satz verwedenen: "Ist R ein INtegritätsring und
> > sind f(x), g(x) [mm]\in R[x]-\{0\}[/mm]
> > und ist g(x) unität,
> so
> > gibt es eindeutige q(x), r(x) [mm]\in[/mm] R[x] mit deg r(x) < deg
> > g(x) und f(x) = q(x) g(x) + r(x)."
>
>
>
> > Aber ich seh nicht was dann für [mm]\Phi_m(x)[/mm] folgt...?
>
> Du musst diesen Satz auf die Gleichung anwenden.
Ja, aber was sind die ganzen Buchstaben?
Um das [mm] \Phi_m(x) [/mm] geht es uns ja, dann teil ich das mal so:
$ [mm] x^m [/mm] - 1 = [mm] \Phi_m\cdot{}\prod_{\{d|m, d <> m\}} \Phi_d [/mm] $ [mm] \gdw
[/mm]
[mm] x^{m}-1 [/mm] : [mm] \prod \Phi_d(x) [/mm] = q(x) + [mm] \frac{r(x)}{\prod \Phi_d(x)}
[/mm]
Wegen diesem Satz mit der Eindeutigkeit, müsste ich ja sagen können, dass dann q(x) = [mm] \Phi_m(x) [/mm] sein muss und r(x) [mm] \equiv [/mm] 0, oder?
Aber warum ist dann [mm] \Phi_m(x) \in \mathbb{Z}[x] [/mm] ?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> > Bedenke, dass jede der e-Funktionen eine m-te
> > Einheitswurzel darstellt!
>
> Ja, d.h. dass sie die Gleichung [mm]x^m[/mm] = 1 erfüllt, also [mm]x^m[/mm]
> -1 = 0. Und wenn man das in Nullstellen aufdröselt kommt
> man auf die Form (x - Nullstelle)(x-NS) ... (x - NS). Ist
> es damit gezeigt, dass es ein Polynom m.ten Grades mit
> diesen NS ist?
Tipp: Fundamentalsatz der Algebra
> Aber ich seh noch nicht wie man auf die
> Bedingung ggT(d,m) =1 kommt? Ich versteh auch nicht wie ich
> hier den Hinweis mit der Bijektion verwenden könnte...??
Du musst die EInheitswurzeln umordnen (siehe auch statlers Hinweis in diesem Thread).
> > Nach Induktionsvoraussetzung sind doch alle [mm]\Phi_d[/mm] mit [mm]d
> > Elemente von [mm]\mathbb{Z}[x][/mm], also auch ihr Produkt. [mm]d
> > folgt aus [mm]d|m[/mm] und [mm]d\not=m[/mm].
>
> Ah, okay, danke für die Erklärung!
>
> > > Braucht man da Polynomdivision dafür? Also ich dürfte noch
> > > folgenden Satz verwedenen: "Ist R ein INtegritätsring und
> > > sind f(x), g(x) [mm]\in R[x]-\{0\}[/mm]
> > > und ist g(x)
> unität,
> > so
> > > gibt es eindeutige q(x), r(x) [mm]\in[/mm] R[x] mit deg r(x) < deg
> > > g(x) und f(x) = q(x) g(x) + r(x)."
> >
> >
> >
> > > Aber ich seh nicht was dann für [mm]\Phi_m(x)[/mm] folgt...?
> >
> > Du musst diesen Satz auf die Gleichung anwenden.
>
> Ja, aber was sind die ganzen Buchstaben?
> Um das [mm]\Phi_m(x)[/mm] geht es uns ja, dann teil ich das mal
> so:
>
> [mm]x^m - 1 = \Phi_m\cdot{}\prod_{\{d|m, d <> m\}} \Phi_d[/mm] [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]x^{m}-1[/mm] : [mm]\prod \Phi_d(x)[/mm] = q(x) + [mm]\frac{r(x)}{\prod \Phi_d(x)}[/mm]
>
> Wegen diesem Satz mit der Eindeutigkeit, müsste ich ja
> sagen können, dass dann q(x) = [mm]\Phi_m(x)[/mm] sein muss und r(x)
> [mm]\equiv[/mm] 0, oder?
Richtig.
> Aber warum ist dann [mm]\Phi_m(x) \in \mathbb{Z}[x][/mm] ?
Was sagt der Satz dazu?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
danke nochmal für die Hinweise.
Ok, Teil (b) hab ich dann verstanden, bis auf dass ich nicht darauf gekommen wäre [mm] x^m [/mm] - 1 so zu schreiben:
[mm] x^m [/mm] -1 = [mm] \Phi_m \cdot \prod_{\{d|m,d \not=m \}} \Phi_d [/mm]
Warum gilt diese Zerlegung?
(Vielleicht hilft das ja auch Teil (a) zu verstehen)
zu Teil (a). Hier bin ich nun ganz durcheinander.
Der Ansatz ist nach wie vor
[mm] x^m-1 [/mm] = [mm] \prod_{d \in \{0,...,m-1\} } [/mm] (x - [mm] e^{2 \pi i \frac{d}{m}})
[/mm]
... und das soll das gleiche sein wie
[mm] \prod_{d|m} \prod_{ggT(d,m)=1} [/mm] (x - [mm] e^{2 \pi i \frac{d}{m}}).
[/mm]
Warum sollte ich nun zuerst zeigen, dass das ein Polynom m.ten Grades mit den m.ten EInheitswurzeln als NS ist? Um die erste Gleichheit einzusehen...?
Statler schrieb die Einheitswurzeln danach zusammenfassen, welche Untegruppe der Ordnung d bzw [mm] \frac{d}{m} [/mm] sie erzeugen.
Wie funktioniert das? Woher weiß ich welche Untergruppe die Wurzeln erzeugen? Wäre super, wenn du mir damit noch weiterhelfen könntest...
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mo 03.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> danke nochmal für die Hinweise.
>
> Ok, Teil (b) hab ich dann verstanden, bis auf dass ich
> nicht darauf gekommen wäre [mm]x^m[/mm] - 1 so zu schreiben:
> [mm]x^m[/mm] -1 = [mm]\Phi_m \cdot \prod_{\{d|m,d \not=m \}} \Phi_d[/mm]
> Warum gilt diese Zerlegung?
Die Frage verstehe ich jetzt nicht: das ist doch nur der Faktor mit dem größtmöglichen Wert von d (nämlich m) aus dem Produkt herausgezogen.
> (Vielleicht hilft das ja auch Teil (a) zu verstehen)
>
> zu Teil (a). Hier bin ich nun ganz durcheinander.
> Der Ansatz ist nach wie vor
> [mm]x^m-1 = \prod_{d \in \{0,...,m-1\} } (x - e^{2 \pi i \frac{d}{m}})[/mm]
>
> ... und das soll das gleiche sein wie
>
> [mm]\prod_{d|m} \prod_{ggT(d,m)=1}[/mm] (x - [mm]e^{2 \pi i \frac{d}{m}}).[/mm]
Vorsicht, da bringst du die Indizes durcheinander:
[mm]\prod_{d|m} \prod_{\ggT(a,d)=1} (x - e^{2 \pi i a/d}) [/mm]
Ich würde auch bei dem anderen Produkt einen anderen Index wählen, um nicht durcheinander zu kommen:
[mm]x^m-1 = \prod_{k \in \{0,...,m-1\} } (x - e^{2 \pi i \frac{k}{m}})[/mm]
Sei nun $d= [mm] m/\ggT(k,m)$ [/mm] und $a = [mm] k/\ggT(k,m)$. [/mm] Es ist [mm] $\ggT(a,d)=1$ [/mm] und
[mm] e^{2 \pi i \frac{k}{m}} = e^{2 \pi i \frac{a}{d}} [/mm].
Und jetzt sortierst du die Faktoren des Produkts um, indem du die mit dem gleichen Wert von d zusammenfasst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Di 04.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
danke für die Erklärungen.
Also wegen [mm] \frac{a}{d} [/mm] = [mm] \frac{k}{ggT(k,m)} \cdot \frac{ggT(k,m)}{m} [/mm] = [mm] \frac{k}{m} [/mm] gilt
[mm] e^{2 \pi i \frac{k}{m}} [/mm] = [mm] e^{2 \pi i \frac{a}{d}}. [/mm] Dann könnte ich das ja einfach in das Produkt einsetzen,also
[mm] \prod_{ k \in \{0,...,m-1\}} [/mm] (x - [mm] e^{2 \pi i \frac{k}{m}}) [/mm] = [mm] \prod [/mm] (x - [mm] e^{2 \pi i \frac{a}{d}}) [/mm] nur weiß ich nicht wie ich dann die Indizes a und d anpassen muss...?? Was meinst du mit "dem gleichen Wert von d" - ich glaub ich steh ganz schön auf dem Schlauch...
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Di 04.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
> danke für die Erklärungen.
> Also wegen [mm]\frac{a}{d}[/mm] = [mm]\frac{k}{ggT(k,m)} \cdot \frac{ggT(k,m)}{m}[/mm]
> = [mm]\frac{k}{m}[/mm] gilt
>
> [mm]e^{2 \pi i \frac{k}{m}}[/mm] = [mm]e^{2 \pi i \frac{a}{d}}.[/mm] Dann
> könnte ich das ja einfach in das Produkt einsetzen,also
>
> [mm]\prod_{ k \in \{0,...,m-1\}}[/mm] (x - [mm]e^{2 \pi i \frac{k}{m}})[/mm]
> = [mm]\prod[/mm] (x - [mm]e^{2 \pi i \frac{a}{d}})[/mm] nur weiß ich nicht
> wie ich dann die Indizes a und d anpassen muss...?? Was
> meinst du mit "dem gleichen Wert von d" - ich glaub ich
> steh ganz schön auf dem Schlauch...
Du schreibst dir alle $a/m$ hin, fur [mm] $0\le [/mm] a < m$. Dann kürzt du diese Brüche und fasst die mit gleichem Nenner zusammen.
Zum Beispiel für m=6:
[mm] \bruch{0}{6}, \bruch{1}{6}, \bruch{2}{6}, \bruch{3}{6}, \bruch{4}{6}, \bruch{5}{6} [/mm]
Kürzen:
[mm] \bruch{0}{1}, \bruch{1}{6}, \bruch{1}{3}, \bruch{1}{2}, \bruch{2}{3}, \bruch{5}{6} [/mm]
Umordnen:
[mm] \begin{matrix}
d=1: & \bruch{0}{1} & \to & \Phi_1(x) \\
d=2: & \bruch{1}{2} & \to & \Phi_2(x) \\
d=3; & \bruch{1}{3}, \bruch{2}{3} & \to & \Phi_3(x) \\
d=6: & \bruch{1}{6}, \bruch{5}{6} & \to & \Phi_6(x) \end{matrix}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:24 Fr 31.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi Rainer!
> Wie wäre es wenn du nachweist, dass die rechte Seite ein
> Polynom vom Grade m ist, das gerade alle m-ten
> Einheitswurzeln als Nullstellen hat?
Die rechte Seite ist vom Grad [mm] \phi(m) [/mm] und hat nicht alle, sondern die erzeugenden Elemente als Nullstellen. Oder meinen wir verschiedene rechte Seiten?
Der Dreh hier ist doch, daß ich die Nullstellen (also die m-ten Einheitswurzeln) danach zusammenfasse, welche Untergruppe der Ordnung d bzw. m/d sie erzeugen.
Gruß aus Harburg
Dieter
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:47 Fr 31.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Dieter!
> > Wie wäre es wenn du nachweist, dass die rechte Seite ein
> > Polynom vom Grade m ist, das gerade alle m-ten
> > Einheitswurzeln als Nullstellen hat?
>
> Die rechte Seite ist vom Grad [mm]\phi(m)[/mm] und hat nicht alle,
> sondern die erzeugenden Elemente als Nullstellen. Oder
> meinen wir verschiedene rechte Seiten?
Ich glaube, wir reden von verschiedenen Gleichungen.
Ich meine nicht die Definitionsgleichung der [mm] $\Phi_m(x)$, [/mm] sondern diese Gleichung:
[mm]x^m-1 = \prod_{d|m} \Phi_d(x) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab nochmal eine Frage zu dieser Aufgabe. Und zwar hab ich versucht für m=1,2,3,4,6,16 diese Kreispolynome mal konkret auszurechnen.
[mm] \Phi_1(x) [/mm] = [mm] x-e^{2\pi i} [/mm] = x - 1 (wenn man die Def. zu 0<a [mm] \leq [/mm] m umändert, wie Rainer schrieb)
[mm] \Phi_2(x) [/mm] = x - [mm] e^{\pi i} [/mm] = x +1
[mm] \Phi_3(x) [/mm] = (x - [mm] e^{\frac{2}{3} \pi i})(x [/mm] - [mm] e^{\frac{4}{3} \pi i})
[/mm]
[mm] \Phi_4(x) [/mm] = (x - [mm] e^{\frac{1}{2} \pi i})(x [/mm] - [mm] e^{\frac{3}{2} \pi i})=(x-i)(x+1)
[/mm]
[mm] \Phi_6(x) [/mm] = (x - [mm] e^{\frac{1}{3} \pi i})(x [/mm] - [mm] e^{\frac{5}{3} \pi i})
[/mm]
[mm] \Phi_{12}(x) [/mm] = (x - [mm] e^{\frac{1}{6} \pi i}) [/mm] (x - [mm] e^{\frac{5}{6} \pi i}) [/mm] (x - [mm] e^{\frac{7}{6} \pi i}) [/mm] (x - [mm] e^{\frac{11}{6} \pi i})
[/mm]
Ist das in Ordnung so? Und kann man das jeweils noch weiter vereinfachen? Und wäre es eigentlich besser, wenn man Aufgabenteil (a) zu Hilfe nimmt um die auszurechnen als direkt die Definition?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 04.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die Erklärungen!
Noch eine Nachfrage, warum gilt [mm] e_6= e^{\frac{1}{3} \pi i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1+\sqrt{3}i)? [/mm] Ich kenn nur die Darstellung mit cos und sin...
Woher hast du die Lösungen so schnell, wenn ich fragen darf? Weil das so alles auszurechnen ist schon recht aufwändig, oder habe ich hier einen Trick übersehen?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 04.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
hm, das ist natürlich cool  Dankeschön!
Viele Grüße,
Riley
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Maxima
