majorisierte Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Also, jetzt habe ich wenigstens schon mal angefangen, mich mit der ersten Aufgabe zu beschäftigen. Aber leider habe ich nicht so den Blick dafür, diese ganzen Integrale, Beträge und so verwirren mich sehr, und die Sätze kann ich mir auch nicht merken. Vielleicht kann mir ja jemand so auf die Sprünge helfen, dass ich da doch irgendwann wenigstens etwas durchblicke... ![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
Ich soll folgenden Satz beweisen, der eine Verallgemeinerung des Satzes über die majorisierte Konvergenz von Lebesgue ist.
Seien messbare Funktionen f, [mm] f_n, g_n, g:(\Omega, [/mm] A, [mm] \mu)\to\IR [/mm] (hier steht wieder das [mm] \IR [/mm] mit dem Querstrich oben drauf, ich kriege ihn nur irgendwie nicht dahin...), [mm] n\in \IN, [/mm] gegeben. Es gelte [mm] f_n, g_n, g\in L^1(\Omega,A,\mu) [/mm] für alle n, d. h. [mm] \integral_{\Omega}{|f_n(x)|+|g_n(x)|+|g|\mu (dx)} [/mm] sei endlich. Weiterhin gelte
[mm] |f_n(x)| \le g_n(x) \mu-fast [/mm] überall und [mm] f_n(x)\to [/mm] f(x) [mm] \mu [/mm] -fast überall, [mm] g_n(x)\to [/mm] g(x) [mm] \mu-fast [/mm] überall und [mm] \integral_{\Omega}{g_n(x)-g(x)|\mu(dx)}\to [/mm] 0.
Dann gilt auch [mm] f\in L^1(\Omega), [/mm] d. h. [mm] \integral_{\Omega}{|f(x)|\mu(dx)}<\infty, [/mm] und es gilt
[mm] \integral_{\Omega}{|f_n(x)-f(x)|\mu(dx)}\to [/mm] 0.
Ich habe überlegt, ob man da vielleicht den Satz von Lebesgue, der ja bewiesen ist, benutzen kann, aber viel hat mir das auch nicht geholfen. Ich wollte schreiben:
[mm] \integral_{\Omega}{|f_n(x)-f(x)| \mu(dx)}=\integral_{\Omega}{|f_n(x)\mu(dx)|}-\integral_{\Omega}{|f(x)|\mu(dx)}
[/mm]
Aber diese Gleichheit gilt wohl eher nicht, und dann würde der erste Teil nach dem Satz von Lebesgue gegen [mm] \integral{f d\mu} [/mm] gehen, und dann wäre das ganze 0. Aber das wäre ja auch wohl viel zu einfach...
Außerdem weiß ich nicht, wie man zeigen soll, dass das Integral endlich ist, ist das das Gleiche wie, dass es existiert?
Es wäre schön, wenn mir jemand bei dem Beweis so helfen könnte, dass ich selber mitdenken kann, denn ein fertiger Beweis bringt mir zwar vielleicht viele Punkte, aber ich verstehe danach auch nix...
Viele Grüße
Bastiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
P. S.: Ich hoffe, jetzt kann man alles lesen, und hoffentlich habe ich mich nicht verschrieben....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Di 16.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich rechne dir die Aufgabe jetzt mal ausführlich vor, damit du auch etwas davon hast. 
Zunächst einmal stellen wir fest, dass wegen
[mm] $\left\vert \int\limits_{\Omega} g_n\, d\mu - \int g\, d\mu \right\vert \le \int\limits_{\Omega} \vert g_n(x) [/mm] - g(x) [mm] \vert \, d\mu$
[/mm]
und
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} \vert g_n(x) [/mm] - g(x) [mm] \vert \, d\mu [/mm] = 0$
auch gilt:
(1) [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} g_n\, d\mu [/mm] = [mm] \int\limits_{\Omega} g\, d\mu$.
[/mm]
Nun überprüfen wir die Integrierbarkeit von $f$.
Wegen
(*) [mm] $\vert f_n(x)\vert \le g_n(x)$ $\mu$-fast [/mm] überall
und
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f_n [/mm] = f$ [mm] $\mu$-fast [/mm] überall
sowie
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} g_n=g$ $\mu$-fast [/mm] überall
folgt durch Grenzübergang in (*) die Ungleichung
[mm] $\vert [/mm] f(x) [mm] \vert \le [/mm] g(x)$ [mm] $\mu$-fast [/mm] überall.
Da $g$ nach Voraussetzung integrierbar ist, folgt daraus aber auch $f [mm] \in L^1(\Omega,{\cal A},\mu)$.
[/mm]
So, nun betrachten wir die Funktionenfolge [mm] $(u_n)_{n \in \IN}$, [/mm] mit
[mm] $u_n:= \vert [/mm] f [mm] \vert [/mm] + [mm] g_n [/mm] - [mm] \vert f_n [/mm] - f [mm] \vert$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$
[/mm]
und möchten darauf das Lemma von Fatou anwenden.
Wegen
[mm] $\vert f_n [/mm] - f [mm] \vert \le |f_n| [/mm] + |f| [mm] \le g_n [/mm] + |f|$
gilt:
[mm] $u_n \ge [/mm] 0$ $(n [mm] \in \IN)$,
[/mm]
d.h. das Lemma von Fatou ist anwendbar. Nach diesem gilt:
[mm] $\int\limits_{\Omega} |f|\, d\mu [/mm] + [mm] \int\limits_{\Omega} g\, d\mu$
[/mm]
$= [mm] \int\limits_{\Omega} [/mm] (|f| + [mm] g)\, d\mu$
[/mm]
$= [mm] \int\limits_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} [/mm] (|f| + [mm] g_n [/mm] - [mm] |f_n-f|)\, d\mu$
[/mm]
$= [mm] \int\limits_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} u_n\, d\mu$
[/mm]
[mm] $\le \liminf_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} u_n\, d\mu$
[/mm]
$= [mm] \liminf_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} [/mm] (|f| + [mm] g_n [/mm] - [mm] |f_n-f|)\, d\mu$
[/mm]
$= [mm] \int\limits_{\Omega} |f|\, d\mu [/mm] + [mm] \liminf_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} g_n\, d\mu [/mm] - [mm] \limsup_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} |f_n-f|\, d\mu$ [/mm]
[mm] $\stackrel{(1)}{=} \int\limits_{\Omega} [/mm] |f| [mm] d\mu [/mm] + [mm] \int\limits_{\Omega} g\, d\mu [/mm] - [mm] \limsup_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} |f_n-f|\, d\mu$.
[/mm]
Wir haben also:
[mm] $\int\limits_{\Omega} |f|\, d\mu [/mm] + [mm] \int\limits_{\Omega} g\, d\mu [/mm] = [mm] \int\limits_{\Omega} [/mm] |f| [mm] d\mu [/mm] + [mm] \int\limits_{\Omega} g\, d\mu [/mm] - [mm] \limsup_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} |f_n-f|\, d\mu$.
[/mm]
Da aber
[mm] $\int\limits_{\Omega} |f|\, d\mu [/mm] + [mm] \int\limits_{\Omega} g\, d\mu [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
gilt, können wir diesen Ausdruck auf beiden Seiten subtrahieren und erhalten:
[mm] $\limsup_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} |f_n-f|\, d\mu [/mm] = 0$,
also:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} |f_n [/mm] - f| [mm] \, d\mu [/mm] = 0$.
Frag bitte nach, wenn was unklar ist. ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Als erstes Mal eine allgemeinere Sache: Wie kommt man auf so einen Beweis? Welche Schritte überlegt man sich da - kannst du mir vielleicht die "Struktur" dieses Beweises in ein paar wenige grobe Schritte zerlegen? (Ich hoffe, dass ich dann irgendwann vielleicht selber mal auf so was kommen werde...)
> Liebe Christiane!
>
> Ich rechne dir die Aufgabe jetzt mal ausführlich vor, damit
> du auch etwas davon hast.
>
> Zunächst einmal stellen wir fest, dass wegen
>
> [mm]\left\vert \int\limits_{\Omega} g_n\, d\mu - \int g\, d\mu \right\vert \le \int\limits_{\Omega} \vert g_n(x) - g(x) \vert \, d\mu[/mm]
Wieso gilt das? Ist das immer so, oder müssen da gewisse Voraussetzungen erfüllt sein? Oder ist das so was wie die Dreiecksungleichung?
>
> und
>
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} \vert g_n(x) - g(x) \vert \, d\mu = 0[/mm]
Das ist doch so, weil [mm] g_n(x) \to [/mm] g(x) [mm] \mu [/mm] -fast überall, oder? Sind die beiden Formulierungen denn äquivalent?
>
> auch gilt:
>
> (1) [mm]\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} g_n\, d\mu = \int\limits_{\Omega} g\, d\mu[/mm].
Das verstehe ich glaube ich: das folgt ja direkt aus den zwei Sachen die du zuerste geschrieben hast! (Klar, wofür hast du's sonst geschrieben! )
> Nun überprüfen wir die Integrierbarkeit von [mm]f[/mm].
Vielleicht gehört das nicht unbedingt hierher, aber ist integrierbar und messbar äquivalent? Oder was muss für die Integrierbarkeit überprüft werden?
>
> Wegen
>
> (*) [mm]\vert f_n(x)\vert \le g_n(x)[/mm] [mm]\mu[/mm]-fast überall
>
> und
>
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} f_n = f[/mm] [mm]\mu[/mm]-fast überall
>
> sowie
>
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} g_n=g[/mm] [mm]\mu[/mm]-fast überall
>
> folgt durch Grenzübergang in (*) die Ungleichung
>
> [mm]\vert f(x) \vert \le g(x)[/mm] [mm]\mu[/mm]-fast überall.
Was genau heißt denn Grenzübergang? Also wir haben ja den Grenzwert von [mm] f_n, [/mm] der gegen f konvergiert [mm] (\mu [/mm] -fast überall), und dann heißt Grenzübergang einfach, dass das, was für [mm] f_n [/mm] gilt, auch für f gilt, oder wie? So zumindest verstehe ich die obige Ungleichung.
> Da [mm]g[/mm] nach Voraussetzung integrierbar ist, folgt daraus aber
> auch [mm]f \in L^1(\Omega,{\cal A},\mu)[/mm].
Und noch ne kurze Frage, die nicht unbedingt hierher gehört: f [mm] \in L^1(\Omega,{\cal A},\mu) [/mm] bedeutet doch, dass f [mm] \mu [/mm] -integrierbar ist über (?) der [mm] \sigma [/mm] -Algebra A auf [mm] \Omega, [/mm] oder?
> So, nun betrachten wir die Funktionenfolge [mm](u_n)_{n \in \IN}[/mm],
> mit
>
> [mm]u_n:= \vert f \vert + g_n - \vert f_n - f \vert[/mm] [mm](n \in \IN)[/mm]
Ist das wieder so ein Standardtrick?
>
> und möchten darauf das Lemma von Fatou anwenden.
>
> Wegen
>
> [mm]\vert f_n - f \vert \le |f_n| + |f| \le g_n + |f|[/mm]
>
>
> gilt:
>
> [mm]u_n \ge 0[/mm] [mm](n \in \IN)[/mm],
und messbar sind die ja sowieso alle und dann sind auch die Beträge und die Summen und Differenzen messbar. Das könnte man doch evtl. auch noch sagen, oder?
>
> d.h. das Lemma von Fatou ist anwendbar. Nach diesem gilt:
>
> [mm]\int\limits_{\Omega} |f|\, d\mu + \int\limits_{\Omega} g\, d\mu[/mm]
>
> [mm]= \int\limits_{\Omega} (|f| + g)\, d\mu[/mm]
Das gilt immer??? Kann man einfach zwei Integrale zu einem zusammenfassen, oder was muss da als Voraussetzung gelten? Dass beide Integrale existieren vielleicht? Oder noch mehr?
> [mm]= \int\limits_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} (|f| + g_n - |f_n-f|)\, d\mu[/mm]
Wie kommt man von da oben hier drauf? Irgendwie sehe ich das nicht...
> [mm]= \int\limits_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} u_n\, d\mu[/mm]
>
>
> [mm]\le \liminf_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} u_n\, d\mu[/mm]
Das war das Lemma von Fatou - richtig?
> [mm]= \liminf_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} (|f| + g_n - |f_n-f|)\, d\mu[/mm]
>
>
> [mm]= \int\limits_{\Omega} |f|\, d\mu + \liminf_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} g_n\, d\mu[/mm]
Wieso kann ich den [mm] \liminf_{n \to \infty} [/mm] hier nur vor das Integral mit dem [mm] g_n [/mm] schreiben?
>
> [mm]\stackrel{(1)}{=} \int\limits_{\Omega} |f| d\mu + \int\limits_{\Omega} g\, d\mu - \limsup_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} |f_n-f|\, d\mu[/mm].
Und das hier oben sehe ich leider auch noch nicht so ganz... :-(
> Wir haben also:
>
> [mm]\int\limits_{\Omega} |f|\, d\mu + \int\limits_{\Omega} g\, d\mu = \int\limits_{\Omega} |f| d\mu + \int\limits_{\Omega} g\, d\mu - \limsup_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} |f_n-f|\, d\mu[/mm].
>
>
> Da aber
>
> [mm]\int\limits_{\Omega} |f|\, d\mu + \int\limits_{\Omega} g\, d\mu < \infty[/mm]
>
>
> gilt, können wir diesen Ausdruck auf beiden Seiten
> subtrahieren und erhalten:
>
> [mm]\limsup_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} |f_n-f|\, d\mu = 0[/mm],
>
>
> also:
>
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} |f_n - f| \, d\mu = 0[/mm].
>
Okay, den Rest verstehe ich dann!
> Frag bitte nach, wenn was unklar ist.
Hattest du auch mit sooo vielen Fragen gerechnet? ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Danke schonmal!
Viele Grüße
Christiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Do 18.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Als erstes Mal eine allgemeinere Sache: Wie kommt man auf
> so einen Beweis? Welche Schritte überlegt man sich da -
> kannst du mir vielleicht die "Struktur" dieses Beweises in
> ein paar wenige grobe Schritte zerlegen? (Ich hoffe, dass
> ich dann irgendwann vielleicht selber mal auf so was kommen
> werde...)
Ich wusste ja, dass es eine Verallgemeinerung des Satzes von der majorisierten Konvergenz war. Daher habe ich mir den Beweis des Satzes von der majorisierten Konvergenz angeschaut und überlegt, wie ich ihn (mit den schwächeren Voraussetzungen, die wir ja haben) geeignet modifizieren kann.
> > [mm]\left\vert \int\limits_{\Omega} g_n\, d\mu - \int g\, d\mu \right\vert \le \int\limits_{\Omega} \vert g_n(x) - g(x) \vert \, d\mu[/mm]
>
>
> Wieso gilt das? Ist das immer so, oder müssen da gewisse
> Voraussetzungen erfüllt sein? Oder ist das so was wie die
> Dreiecksungleichung?
Nun, zunächst einmal ist das Integral linear, d.h. wir können schreiben:
[mm]\left\vert \int\limits_{\Omega} g_n\, d\mu - \int g\, d\mu \right\vert = \left\vert \int\limits_{\Omega} (g_n-g)\, d\mu \right\vert[/mm].
So, und jetzt ist doch klar, dass das Integral über eine Funktion nie größer sein kann als das Integral über den Betrag der Funktion, oder? Schließlich gilt ja:
[mm] $\int f\, d\mu [/mm] = [mm] \int [/mm] f^+ [mm] \, d\mu [/mm] - [mm] \underbrace{\int f^- \, d\mu}_{\ge 0} \le \int f^+\, d\mu$
[/mm]
und
[mm] $\int \vert [/mm] f [mm] \vert\, d\mu [/mm] = [mm] \int [/mm] f^+ [mm] \, d\mu [/mm] + [mm] \underbrace{\int f^- \, d\mu}_{\ge 0} \ge \int f^+\, d\mu$,
[/mm]
also:
[mm] $\int \vert [/mm] f [mm] \vert \, d\mu \ge \int f^+\, d\mu \ge \int f\, \mu$.
[/mm]
Daraus können wir jetzt schließen:
[mm] $\left\vert \int\limits_{\Omega} (g_n-g)\, d\mu \right\vert \le \int\limits_{\Omega} \vert g_n [/mm] - g [mm] \vert \, d\mu [/mm] $.
> > und
> >
> > [mm]\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} \vert g_n(x) - g(x) \vert \, d\mu = 0[/mm]
>
>
> Das ist doch so, weil [mm]g_n(x) \to[/mm] g(x) [mm]\mu[/mm] -fast überall,
> oder?
Nein, es war eine Voraussetzung.
> Sind die beiden Formulierungen denn äquivalent?
Nein, auf gar keinen Fall. Im Allgemeinen folgt sogar weder die eine aus der anderen. Es sind zwei völlig verschiedene Konvergenzbegriffe. Man kann nur sagen, dass aus [mm]\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} \vert g_n(x) - g(x) \vert \, d\mu = 0[/mm] folgt, dass eine geeignete Teilfoge [mm] $(g_n)_{n \to \infty}$ [/mm] gegen $g$ konvergiert, aber nicht die Folge selbst. Die Umkehrung (dass aus der [mm] $\mu$-fast [/mm] sicheren Konvergenz der Folge [mm] $(g_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $g$ die Beziehung [mm]\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} \vert g_n(x) - g(x) \vert \, d\mu = 0[/mm] folgen könnte) gilt schon mal gar nicht im Allgemeinen, sonst bräuchte man den Satz von der majorisierten Konvergenz ja gar nicht!! Letzteres gilt also i.A. nur dann, wenn man für die Folge [mm] $(g_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Lebesgue-Schranke findet. Liest du eigentlich auch ein Buch dazu? Solltest du unbedingt parallel zur Vorlesung tun!!
> Nun überprüfen wir die Integrierbarkeit von [mm]f[/mm].
> Vielleicht gehört das nicht unbedingt hierher, aber ist
> integrierbar und messbar äquivalent? Oder was muss für die
> Integrierbarkeit überprüft werden?
Das verstehe ich nicht. Messbarkeit und Integrierbarkeit sind doch zwei völlig verschiedene Dinge. Die Messbarkeit einer Funktion sagt doch aus, dass die Urbilder messbarer Mengen wieder messbar sind. Die Integrierbarkeit sagt etwas darüber aus, ob [mm] $\int \vert [/mm] f [mm] \vert\, d\mu$ [/mm] endlich ist oder nicht, sprich also ob [mm] $\int [/mm] f^+ [mm] \, d\mu$ [/mm] und [mm] $\int f^-\, d\mu$ [/mm] beide endlich sind (oder nicht). (Falls nur eines von beiden endlich ist, spricht man von Quasi-Integrierbarkeit.) Eine Voraussetzung, um das Integral [mm] $\int \vert f\vert\, d\mu$ [/mm] überhaupt hinschreiben zu können, ist die Messbarkeit von $f$, mehr aber auch nicht.
> > Wegen
> >
> > (*) [mm]\vert f_n(x)\vert \le g_n(x)[/mm] [mm]\mu[/mm]-fast überall
> >
> > und
> >
> > [mm]\lim\limits_{n \to \infty} f_n = f[/mm] [mm]\mu[/mm]-fast
> überall
> >
> > sowie
> >
> > [mm]\lim\limits_{n \to \infty} g_n=g[/mm] [mm]\mu[/mm]-fast überall
> >
> > folgt durch Grenzübergang in (*) die Ungleichung
> >
> > [mm]\vert f(x) \vert \le g(x)[/mm] [mm]\mu[/mm]-fast überall.
> Was genau heißt denn Grenzübergang? Also wir haben ja den
> Grenzwert von [mm]f_n,[/mm] der gegen f konvergiert [mm](\mu[/mm] -fast
> überall), und dann heißt Grenzübergang einfach, dass das,
> was für [mm]f_n[/mm] gilt, auch für f gilt, oder wie? So zumindest
> verstehe ich die obige Ungleichung.
Mal allgemein: Wenn ich weiß, dass
[mm] $f_n \le g_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm]
gilt und außerdem weiß, dass [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $f$ und [mm] $(g_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $g$ konvergiert, dann gilt auch
$f [mm] \le [/mm] g$,
sprich: Ungleichungen bleiben bei Grenzübergängen erhalten. Aber Vorsicht:
Aus
[mm] $f_n [/mm] < [mm] g_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm]
folgt im Allgemeinen nur
$f [mm] \le [/mm] g$,
nicht etwa
$f < g$
(Beispiel: [mm] $f_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}$, $g_n= \frac{1}{n}$, [/mm] $f=0=g$).
> Und noch ne kurze
> Frage, die nicht unbedingt hierher gehört: f [mm]\in L^1(\Omega,{\cal A},\mu)[/mm]
> bedeutet doch, dass f [mm]\mu[/mm] -integrierbar ist über (?) der
> [mm]\sigma[/mm] -Algebra A auf [mm]\Omega,[/mm] oder?
Nicht "über", sondern "bezüglich", aber: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > So, nun betrachten wir die Funktionenfolge [mm](u_n)_{n \in \IN}[/mm],
>
> > mit
> >
> > [mm]u_n:= \vert f \vert + g_n - \vert f_n - f \vert[/mm] [mm](n \in \IN)[/mm]
>
> Ist das wieder so ein Standardtrick?
Nöö, sondern der Trick aus dem Beweis des Satzes von der majorisierten Konvergenz.
> > und möchten darauf das Lemma von Fatou anwenden.
> >
> > Wegen
> >
> > [mm]\vert f_n - f \vert \le |f_n| + |f| \le g_n + |f|[/mm]
> >
>
> >
> > gilt:
> >
> > [mm]u_n \ge 0[/mm] [mm](n \in \IN)[/mm],
>
> und messbar sind die ja sowieso alle und dann sind auch die
> Beträge und die Summen und Differenzen messbar. Das könnte
> man doch evtl. auch noch sagen, oder?
Könnte man, ja.
> > d.h. das Lemma von Fatou ist anwendbar. Nach diesem
> gilt:
> >
> > [mm]\int\limits_{\Omega} |f|\, d\mu + \int\limits_{\Omega} g\, d\mu[/mm]
>
> >
> > [mm]= \int\limits_{\Omega} (|f| + g)\, d\mu[/mm]
> Das gilt
> immer??? Kann man einfach zwei Integrale zu einem
> zusammenfassen, oder was muss da als Voraussetzung gelten?
> Dass beide Integrale existieren vielleicht? Oder noch
> mehr?
Mehr. Man braucht i.A., dass beide endlich sind. Das ist dann ja gerade die Additivität des Integrals. Problematisch wird es nur, wenn beide Integrale zwar existieren, aber die Funktionen nur quasi-integrierbar und nicht integrierbar sind. Ist dann das eine Integral $+ [mm] \infty$ [/mm] und das andere [mm] $-\infty$, [/mm] so ist die Summe nicht definiert.
> > [mm]= \int\limits_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} (|f| + g_n - |f_n-f|)\, d\mu[/mm]
>
>
> Wie kommt man von da oben hier drauf? Irgendwie sehe ich
> das nicht...
Ich weiß doch nach Voraussetzung, dass
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f_n [/mm] = f$ [mm] $\mu$-fast [/mm] sicher gilt.
Daher gilt [mm] $\mu$-fast [/mm] sicher:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \vert f_n [/mm] - [mm] f\vert [/mm] = 0$.
Und daher:
[mm]= \int\limits_{\Omega} (|f| + g)\, d\mu[/mm]
[mm]= \int\limits_{\Omega} (|f| + \lim\limits_{n \to \infty} g_n - \underbrace{\lim_{n \to \infty} |f_n-f|}_{=\, 0})\, d\mu[/mm]
[mm]= \int\limits_{\Omega} \lim\limits_{n \to \infty} (|f| + g_n - |f_n-f|}\, d\mu[/mm]
[mm]= \int\limits_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} (|f| + g_n - |f_n-f|)\, d\mu[/mm].
> > [mm]= \int\limits_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} u_n\, d\mu[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\le \liminf_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} u_n\, d\mu[/mm]
>
> Das war das Lemma von Fatou - richtig?
> > [mm]= \liminf_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} (|f| + g_n - |f_n-f|)\, d\mu[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]= \int\limits_{\Omega} |f|\, d\mu + \liminf_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} g_n\, d\mu[/mm]
>
> Wieso kann ich den [mm]\liminf_{n \to \infty}[/mm] hier nur vor das
> Integral mit dem [mm]g_n[/mm] schreiben?
Naja, weil das erste Integral ja gar nicht von $n$ abhängt.
Mist, ich hatte da einen Termvergessen. Schau dir meine Antwort jetzt noch einmal an.
> >
> > [mm]\stackrel{(1)}{=} \int\limits_{\Omega} |f| d\mu + \int\limits_{\Omega} g\, d\mu - \limsup_{n \to \infty} \int\limits_{\Omega} |f_n-f|\, d\mu[/mm].
>
> Und das hier oben sehe ich leider auch noch nicht so
> ganz... :-(
Was jetzt genau? Was ist daran unklar?
Edit: Ich hatte da, wie gesagt, einen Schreibfehler drinnen, !!! Vielleicht ist es ja jetzt klar, schau es dir bitte noch einmal an (in meiner ersten Antwort). Ich habe es jetzt verbessert.
> Okay, den Rest verstehe ich dann!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> > Frag bitte nach, wenn was unklar ist.
> Hattest du auch mit sooo vielen Fragen gerechnet?
>
Ehrlich gesagt, nicht.  Ist aber kein Problem , es ist ja wichtig, dass du alles fragst, sonst werden die Lücken immer größer.
So, das war jetzt das Fachlich-Oberlehrerhafte. Jetzt mal weg davon: Ich finde es super, dass du dich hier so engagierst und auch viel fragst!!! Vor allem, dass du dir nicht zu schade bist auch zuzugeben, wenn du etwas nicht verstanden hast. ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]")
Liebe Grüße
Stefan
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