man bestimme orthonormalbasis < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:20 Do 22.11.2007 | | Autor: | wuzikrapuzi |
| Aufgabe | ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. None (fehlt/gelöscht)] |
Hallo!
Ich hätt ne frage zu dem sich im Anhang befindenden Beispiel.
Da muss ich doch ganz normal nach der Formel vorgehen und mal den ersten vektor normieren, oder?
also hab ich 1/√28 [mm] \*(1, [/mm] 1, -5, -1) = y2
jetzt muss ich mir [mm] \lambda [/mm] ausrechnen mit hilfe des skalarprodukts von x2, y1 oder? und dann muss ich damit ich y2 erhalte: x2 - skalarprodukt mal lamda1 rechnen oder? und dass ganze dann natürlich normieren... und das ergibt bei mir einen vektor der lautet: 1/√93268 [mm] \*(-125, [/mm] 211, -19, 181). vielleicht hab ich mich ja verrechnet, oder gibt es eine andere möglichkeit an die ganze aufgabe heran zu gehen? denn wenn ich den selben schritt dann auch noch mache um y3 zu erhalten, dann werden die zahlen richtig hoch....das kann doch nicht sien oder?
wäre echt dankbar für jegliche hilfe bzw. hinweise die mir helfen würden das beispiel zu lösen!
Danke!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ein Hinweis vorweg: es ist normalerweise günstig, wenn Du Deine Aufgaben hier so präsentierst, daß man sie direkt lesen kann, ohne Download.
In Deiner Aufgabe scheint es um ds Gram-Schmidtsche- Orthonormalisierungsverfahren zu gehen, den Algorithmus kannst Du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
Es beginnt mit der Normierung des ersten Vektors.
> Da muss ich doch ganz normal nach der Formel vorgehen und
> mal den ersten vektor normieren, oder?
> also hab ich 1/√28 [mm]\*(1,[/mm] 1, -5, -1) = y2
Genau.
Im folgenden erzählst Du, was Du tust.
Warum rechnest Du es nicht vor?
Dann sieht man ob und wo Du etwas falsch machst, ohne daß man erst mühsam Deinen Text übersetzen und dann zu Papier bringen muß.
Gruß v. Angela
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Danke! bin mit dem ganzen hier noch nicht so vertraut und kenn mich mit den zeichen nicht so aus:/
Also nachdem ich y1 ausgerechnet hab, hab ich gerechnet:
z= x2 - <x2, y1>y1
das wäre dann: (-5,7,2,7) + 5/28(1,1,-5,-1) = 1/28 (-125,211,-19,181)
um y2 zu erhalten hab ich z normiert, also:
1/√93268(-125,211,-19,181)
dann hab ich x3 - <x3,y1>y1 - <x3,y2>y2 gerechnet, also:
(-17, 19, 16, 32) - -101/√28 mal √28 (1,1,-5,-1) - 9993/√93268 mal √93268(-125,211,-19,181).
und jetzt steh ich an und weiß nicht mehr weiter, weil das ja so hohe zahlen sind und deswegen glaub cih das ich mich da irgendwo geirrt hab oder was falsch in die formel eingesetzt hab!
danke schon mal!
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> Danke! bin mit dem ganzen hier noch nicht so vertraut und
> kenn mich mit den zeichen nicht so aus:/
>
> Also nachdem ich y1 ausgerechnet hab, hab ich gerechnet:
>
> z= x2 - <x2, y1>y1
>
> das wäre dann: (-5,7,2,7) + 5/28(1,1,-5,-1) = 1/28
> (-125,211,-19,181)
Hallo,
ich habe hier
(-5,7,2,7) [mm] +\bruch{15}{28}*(1,1,-5,-1)=(\bruch{-125}{28},\bruch{211}{28},\bruch{-19}{28},\bruch{181}{28}),
[/mm]
und der Betrag, den ich hieraus bekomme, ist auch nicht schön.
So. Völlig gegen meine Art habe ich mir jetzt mal Deine Aufgabe auf meinen Rechner geholt.
Du hast da ja 4 Vektoren angegeben.
1. Fall: die sind linear unabhängig. Dann hast Du mit der Standardbasis sofort ein ONB des [mm] \IR^4, [/mm] und Du brauchst dafür nicht Gram-Schmidts Hilfe.
2. Fall: sie sind nicht linear unabhängig.
Dann mußt Du erstmal irgendeine Basis des von ihnen aufgespannten Raumes bestimmen, bevor Du mit Gram-Schmidt startest.
(Du wirst sehen, daß der dritte Vektor sich durch den ersten und zweiten darstellen läßt, und von daher ist es sinnlos zu versuchen, mit ihm eine Basis zu erhalten.)
Gruß v. Angela
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danke für die rasche antwort!
kann ich schon von anfang an davon ausgehen, dass einer der vektoren sich von den anderen darstellen lässt, da ich ja die basis eines unterraums von [mm] \IR^4 [/mm] gefragt ist und somit nur max. drei unabhängige vektoren vorhanden sein können?
hab dann erstmal geschaut welche linear unabhängig sind und das waren die vektoren x1, x2 und x4. nur jetzt steh ich doch wieder vor dem selben problem wegen gram schmidt, oder? weil doch in der aufgabenstellung steht, dass ich das so lösen muss. oder gibt es da noch eine andere möglichkeit?
glg
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> kann ich schon von anfang an davon ausgehen, dass einer der
> vektoren sich von den anderen darstellen lässt, da ich ja
> die basis eines unterraums von [mm]\IR^4[/mm] gefragt ist und somit
> nur max. drei unabhängige vektoren vorhanden sein können?
Du mußt es halt überprüfen.
Es könnte ja (prinzipiell) auch sein, daß der von den vorgegebenen Vektorenaufgespannte Raum nur die Dimension 2 hat.
Auf jeden Fall brauchst Du mit Gram-Schmidt nicht zu beginnen, solange Du keine BASIS in der Hand hältst.
>
> hab dann erstmal geschaut welche linear unabhängig sind und
> das waren die vektoren x1, x2 und x4. nur jetzt steh ich
> doch wieder vor dem selben problem wegen gram schmidt,
Im Prinzip ja.
Wenn Du aus der Vorlesung oder Übung keine Möglichkeit hast, eine andere Basis zu finden, ändert sich an dem Grundproblem nichts.
Ich habe jetzt mal folgendes gemacht:
die verbleibenden 3 Vektoren als Zeilen in eine Matrix gelegt und diese auf Zeilenstufenform gebracht.
Diese Zeilen liefern mir ebenfalls eine Basis des fraglichen Unterraumes, es dürfte sich mit diesen dann aber besser gramschmidten lassen, denn sie haben einige Nullen - durchgerechnet habe ich es jdoch nicht.
> oder? weil doch in der aufgabenstellung steht, dass ich das
> so lösen muss. oder gibt es da noch eine andere
> möglichkeit?
An Gram-Schmidt führt kein Weg vorbei.
Gruß v. Angela
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erstmal vorweg: vielen dank für die mühe mir bei diesem beispiel zu helfen!
wenn ich das jetzt richtig verstanden hab, muss ich die vektoren in form einer matrix anschreiben, also:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & -5 & -1 \\ -5 & 7 & 2 & 7 \\ -6 & -6 & 8 & -6 }
[/mm]
daraus folgt dann:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & -5 & -1 \\ 0 & 12 & -23 & 2 \\ 0 & 0 & -22 & 0 } [/mm] richtig?
und dann muss ich gram schmidt mit diesen vektoren durchführen? also mit (1, 1, -5, -1) und (0, 12, -23, 2) und (0, 0, -22, 0) ? oder muss ich mir da auch noch den koordinatenvektor ausrechnen?
lg
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> erstmal vorweg: vielen dank für die mühe mir bei diesem
> beispiel zu helfen!
>
> wenn ich das jetzt richtig verstanden hab, muss ich die
> vektoren in form einer matrix anschreiben, also:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & -5 & -1 \\ -5 & 7 & 2 & 7 \\ -6 & -6 & 8 & -6 }[/mm]
>
> daraus folgt dann:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & -5 & -1 \\ 0 & 12 & -23 & 2 \\ 0 & 0 & -22 & 0 }[/mm]
> richtig?
>
Ich würde es noch ein bißchen weitertreiben:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & -5 & -1 \\ 0 & 12 & -23 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
<==>
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 0& -1 \\ 0 & 12 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
<==>
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 0& -1 \\ 0 & 6 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
<==>
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 0& - \bruch{7}{6}\\ 0 & 6 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }.
[/mm]
Mit diesen kannst Du dann das Verfahren starten.
Beginnen würde ich mit dem letzten, da spart man sich die erste Normierung.
Gruß v. Angela
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oh, ich wusste nicht, dass ich da noch weiter vereinfachen kann, nachdem ich die matrix in zeilen stufenform gebracht hab.
ich hab dann empfohlen mit dem dritten vektor begonnen, der ja bereits normiert ist.
um y2 zu erhalten hab ich <x2, y2> gerechnet, also (0*0 + 0*6 + 1*0 + 0*1) = 0; somit ist y2:1/ [mm] \wurzel{37} [/mm] * (0, 6, 0 1)
dann hab ich <x3, y2> ausgerechnet: das ergibt 13/6.
<x3, y1> ist wieder 0.
also hab ich für z3: x3 - <x3, y2>y2, oder?
das wäre dann 1/6 * (6, 0, 0, 7 ) - 481/6 * (0, 6, 0 1) = 1/6 * (6, -2886, 0, 474)
also ist x3 normiert: 1/ [mm] \wurzel{8553708} [/mm] * (0, 6, 0, 1)
war das von der vorgehensweise korrekt?
vielen dank schon mal!
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> oh, ich wusste nicht, dass ich da noch weiter vereinfachen
> kann, nachdem ich die matrix in zeilen stufenform gebracht
> hab.
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> ich hab dann empfohlen mit dem dritten vektor begonnen, der
> ja bereits normiert ist.
>
> um y2 zu erhalten hab ich <x2, y2> gerechnet, also (0*0 +
> 0*6 + 1*0 + 0*1) = 0; somit ist y2:1/ [mm]\wurzel{37}[/mm] * (0, 6,
> 0 1)
>
> dann hab ich <x3, y2> ausgerechnet: das ergibt 13/6.
Hallo,
[mm] \bruch{1}{6}\vektor{6 \\ 0\\0\\-7}*\bruch{1}{\wurzel{37}}\vektor{0 \\ 6\\0\\1}=\bruch{-7}{6\wurzel{37}}
[/mm]
> war das von der vorgehensweise korrekt?
Die Vorgehensweise ist richtig.
Gruß v. Angela
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