matrix bzgl. skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $n [mm] \in \IN, [/mm] V = [mm] \IC^{n \times n}, [/mm] f: V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IC, [/mm] (A,B) [mm] \mapsto sp(\overline{A}*B^T)$
[/mm]
Hierbei bezeichne sp() die Spur.
1. Zeigen Sie, dass mit f ein Skalarprodukt auf V definiert ist.
2. Beschreiben Sie die Einträge der Matrix von f bzgl. der Standardbasis von V. |
moin,
Ich habe 1. bereits erledigt.
Überdies habe ich festgestellt, dass $f(A,B) = [mm] \summe_{k=1}^n
Hierbei bezeichnet [mm] $A_{k\_}$ [/mm] die k-te Zeile von A und mit [mm] $<\cdot [/mm] , [mm] \cdot [/mm] >$ ist das Standardskalarprodukt auf [mm] $\IC^n$ [/mm] gemeint.
Ich hoffe einfach mal, dass das bis hierher alles richtig ist, falls etwas davon nicht stimmt oder ihr gerne wissen wollt wie ich darauf komme kann ich auch gern posten was ich dazu habe.
Mein Problem liegt bei der 2.
Zu aller erst einmal muss man die Matrizen auf den zum [mm] $\IC^{n \times n}$ [/mm] isomorphen Vektorraum [mm] $\IC^{n^2}$ [/mm] abbilden, damit man eine Matrix für das Skalarprodukt angeben kann.
Dann muss eine potentielle Matrix $X [mm] \in \IC^{n^2 \times n^2}$ [/mm] folgendes erfüllen:
$f(A,B) = [mm] \overline{a}^TXb$
[/mm]
wobei der Vektor a der Matrix A entspricht (nachdem der Isomorphismus drüber gegangen ist) und b/B entsprechend.
Dann hab ich mir gedacht, dass wohl der Isomorphismus gemeint ist, der die Standardbasen aufeinander abbildet (denn sonst kann die Matrix ja irgendwie aussehen).
Also am Beispiel n=2:
[mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0} \mapsto \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $\pmat{0 & 1\\ 0 & 0} \mapsto \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $\pmat{0 & 0 \\ 1 & 0} \mapsto \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $\pmat{0 & 0 \\ 0 & 1} \mapsto \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Jetzt muss gelten: $X = MP$
Hierbei ist P eine Permutationsmatrix, die das Transponieren von B bzw. b besorgt, also eine Einheitsmatrix, bei der für alle $1 [mm] \leq [/mm] i,j [mm] \leq [/mm] n$ jeweils die ((i-1)*n +j)-te Spalte und die ((j-1)*n + i)-te Spalte vertauscht sind (einfach mal aufmalen was das bildlich bedeutet, dann wird das hoffentlich klar; und hoffentlich stimmt es^^).
Leider weiß ich jetzt nicht mehr weiter, also ich hab keine Idee wie M aussehen könnte.
Ich weiß, dass ich jetzt irgendwie Standardskalarprodukte aufsummieren muss, aber wie genau dafür die Matrix aussehen soll will sich mir grad nicht wirklich erschließen...
Danke schonmal für jedwege Hilfe
lg
Schadow
|
|
| |
|
Hallo,
in der Matrix M, die das Skalarprodukt bzgl der Basis [mm] B=(B_1,...,B_n) [/mm] darstellt, stehen als Einträge die Skalarprodukte der Basisvektoren:
[mm] M=(m_i_j)=(f(B_i,B_j)).
[/mm]
Du mußt also bloß die Skalarprodukte der Basisvektoren (Matrizen) ausrechnen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
hmm, danke
Ich hab jetzt selbst nochmal rumgebastelt und dabei festgestellt, dass X (also M*P) eine Einheitsmatrix ist, also alles viel zu kompliziert gedacht gestern.^^
|
|
|
|
