matrix im R^3 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Mi 03.06.2009 | | Autor: | quade521 |
Ich verstehe einen Satz aus dem wiki-Artikel zu Drehmatrizen im [mm] R^3 [/mm] nicht und zwar wird dort gesagt:
"In Rechtssystemen kann auch eine Rechte-Hand-Regel angewandt werden: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der Drehachse, so geben die gebeugten restlichen Finger die Richtung des Drehwinkels an. Im Ergebnis ist das Vorzeichen der Sinuseinträge der Drehung um die y-Achse anders als bei den beiden anderen Matrizen."
Also ich kenne diese Regel asu der Physik, aber weshlab ändern sich dadürch die zeichen der sinus einträge in der Drehmatrix um die y-Achse ? Wenn ich meinen Daumen in richtugn der y-Ache halte beugen sich die finger meiner rechten hannd so wie im bild...
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> Ich verstehe einen Satz aus dem wiki-Artikel zu
> Drehmatrizen im [mm]R^3[/mm] nicht und zwar wird dort gesagt:
>
> "In Rechtssystemen kann auch eine Rechte-Hand-Regel
> angewandt werden: Zeigt der Daumen der rechten Hand in
> Richtung der Drehachse, so geben die gebeugten restlichen
> Finger die Richtung des Drehwinkels an. Im Ergebnis ist das
> Vorzeichen der Sinuseinträge der Drehung um die y-Achse
> anders als bei den beiden anderen Matrizen."
Hallo,
wenn der Daumen die y-Achse ist und auf mich weist, dann ist mein Zeigefinger, der nach oben zeigt, die z-Achse, und nach links zeigt die x-Achse, der Mittelfinger. Die Finger sind der positive Teil der Achsen.
Nun notiere, auf welche Vektoren [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] und [mm] vektor{1\\0\\0} [/mm] abgebildet werden bei Drehung um [mm] \alpha [/mm] entgegen Uhrzeigerrichtung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Mi 03.06.2009 | | Autor: | quade521 |
also das sieht bei mri so aus wie in der anlage also ich gucke direkt auf die y-Achse drauf. Nur was meinst du mit dem Drehwinkel [mm] \alpha [/mm] ist der beliebig, weil dann kann cih ja nicht genau sagen, worauf der abbgebildet wird?
Du sagtest ja mit dem Uhrzeigersinn..aber das ist genau entgeegn der Richtung in die sich meine finger bewegen wenn ich auf die y-Achse gucke ..
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> also das sieht bei mri so aus wie in der anlage also ich
> gucke direkt auf die y-Achse drauf. Nur was meinst du mit
> dem Drehwinkel [mm]\alpha[/mm] ist der beliebig, weil dann kann cih
> ja nicht genau sagen, worauf der abbgebildet wird?
> Du sagtest ja mit dem Uhrzeigersinn..aber das ist genau
> entgeegn der Richtung in die sich meine finger bewegen wenn
> ich auf die y-Achse gucke ..
Mannomann: ich meinte eigentlich das Gegenteil, also "entgegen dem Uhrzeigersinn". Hab's korrigiert.
Ja, wir nehmen jetzt einfach mal irgendeinen beliebigenWinkel [mm] \alpha:
[/mm]
Dann wird
[mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] unter der Drehung abgebildet auf [mm] \vektor{sin(\alpha)\\0\\cos(\alpha)}
[/mm]
und
[mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] auf [mm] \vektor{cos(\alpha)\\0\\ -sin(\alpha)},
[/mm]
und da in den Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren stehen, erhält man genau die Matrix aus dem Wikipedia-Artikel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mi 03.06.2009 | | Autor: | quade521 |
also ichhab das auch nochmal aufgezeichnet, nur bei mri ergbit sich das nicht so wie bei dir. Wenn die z Achse jetzt entgegen dem Uhrezigersinn gedreht wird wird [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] auf [mm] \vektor{cos \\ 0\\ sin } [/mm] abbegbildet was mach ich denn falsch?
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> also ichhab das auch nochmal aufgezeichnet, nur bei mri
> ergbit sich das nicht so wie bei dir. Wenn die z Achse
> jetzt entgegen dem Uhrezigersinn gedreht wird wird
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\1}[/mm] auf [mm]\vektor{cos \\ 0\\ sin }[/mm]
> abbegbildet was mach ich denn falsch?
Hallo,
der Drehwinkel [mm] \alpha [/mm] ist doch der Winkel, den z und [mm] z_{neu} [/mm] einschließen,
Wir drehen hier nicht das Koordinatensystem, das bleibt fest.
Drehen tun wir die Vektoren im Koordinatensystem. Der Einheitsvektor in Richtung der z-Achse. [mm] e_z [/mm] bzw. [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] wird um [mm] \alpha [/mm] gedreht und landet auf einem Einheitsvektor, der entlang der von Dir eingezeichneten Linie [mm] z_{neu}liegt. [/mm] DessenKoordinaten sind abzulesen - auf den alten Achsen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mi 03.06.2009 | | Autor: | quade521 |
aber das ist es doch was ich in der zeichnung gemacht habe...also wenn zneu jetzt der Einheitsvektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] ist der zuvor um [mm] \alpha [/mm] gedreht wurde so ergeben sich die koordinaten doch so wie im jetzt aneghängten bild..
oder kannman das so machen wie in anlage 2 ?
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> aber das ist es doch was ich in der zeichnung gemacht
> habe...also wenn zneu jetzt der Einheitsvektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\1}[/mm]
> ist der zuvor um [mm]\alpha[/mm] gedreht wurde so ergeben sich die
> koordinaten doch so wie im jetzt aneghängten bild..
> oder kannman das so machen wie in anlage 2 ?
Hallo,
in Deinem 2. Anhang ist's richtig.
Wie gesagt: der Drehwinkel [mm] \alpha [/mm] ist der Winkel zwischen z und [mm] z_{neu}, [/mm] und deshalb ist so, wie es dort ist.
Dein sin und cos im ersten Bild ist ja nicht sin und cos vom Drehwinkel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 03.06.2009 | | Autor: | quade521 |
muss ich dass dann so übertragen auf die x achse? weil sonst ist ja wieder die x-Koordinate der cos udn dei y-Koordinate der sin , nur wenn ich es von x-Achse asu sehe ist es so wie s tatsählich in der rotationsmatrix drin steht...
und noch eine Frage was ist hierbei nun spezifisch anders, als bei den anderen matrizen hab das mal für die Drehung um z ausprobiert
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> muss ich dass dann so übertragen auf die x achse?
Hallo,
Du hast also nun Deinen gedrehten Einheitsvektor.
Dessen Koordinaten liest Du haargenauso ab wie immer. Seine senkrechte Projektion auf die x-Achse ist [mm] \sin\alpha, [/mm] seine senkrechte Projektion auf die z-Achse ist [mm] \cos\alpha.
[/mm]
weil
> sonst ist ja wieder die x-Koordinate der cos udn dei
> y-Koordinate der sin ,
Ich weiß nicht, wovon Du redest. Seine y-Koordinate ist 0.
> nur wenn ich es von x-Achse asu sehe
> ist es so wie s tatsählich in der rotationsmatrix drin
> steht...
???
Wie gesagt, aus den Projektionen auf die Koordinatenachsen ergibt sich, daß der Vektor, den man erhält, wenn man den Einheitsvektor in Richtung der z-Achse um [mm] \alpha [/mm] um die y-Achse dreht, der [mm] vektor\vektor{sin\alpha\\0\\cos\alpha} [/mm] ist.
Nun kannst Du Dir noch überlegen, was mit den Einheitsvektoren in Richtung x-Achse und y-Achse bei der Drehung passiert, daraus bekommst Du dann am Ende die Drehmatrix.
> und noch eine Frage was ist hierbei nun spezifisch anders,
> als bei den anderen matrizen hab das mal für die Drehung um
> z ausprobiert
Mach doch erstmal die Drehung um die y-Achse zu Ende.
Danach kannst Du ja mal um [mm] \alpha [/mm] um die z-Achse drehen. Die Drehachse ist der Daumen, der Dich anguckt, die pos. x-Achse zeigt nach oben und die y-Achse nach links.
Schreibe auf, worauf die drei Einheitsvektoren in Richtung der Achsen abgebildet werden und stell die Matrix auf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:15 Do 04.06.2009 | | Autor: | quade521 |
Danach kannst Du ja mal um $ [mm] \alpha [/mm] $ um die z-Achse drehen. Die Drehachse ist der Daumen, der Dich anguckt, die pos. x-Achse zeigt nach oben und die y-Achse nach links.
Schreibe auf, worauf die drei Einheitsvektoren in Richtung der Achsen abgebildet werden und stell die Matrix auf.
Wenn aber die drehachse immer die ist die mich anguckt bekomme ich auch immer das gleiche koordinatensystem bzw immer das die eine andere achse nach links und die andere nach oben zeigt. Ich hätte jetzt gesagt der Daumen zeigt nach oben nach hinten zeigt die negative y-achse und nach vorn x....
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>> Danach kannst Du ja mal um [mm]\alpha[/mm] um die z-Achse drehen.
>> Die Drehachse ist der Daumen, der Dich anguckt, die pos.
>> x-Achse zeigt nach oben und die y-Achse nach links.
>> Schreibe auf, worauf die drei Einheitsvektoren in Richtung
>> der Achsen abgebildet werden und stell die Matrix auf.
>
> Wenn aber die drehachse immer die ist die mich anguckt
> bekomme ich auch immer das gleiche koordinatensystem bzw
> immer das die eine andere achse nach links und die andere
> nach oben zeigt.
> Ich hätte jetzt gesagt der Daumen zeigt
> nach oben nach hinten zeigt die negative y-achse und nach
> vorn x....
Hallo,
wie Du Dein System nun genau legst, ist doch völlig schnuppe.
Entscheidend ist: wenn der Daumen die z-Achse ist, dann ist der Zeigefinger die x-Achse und der Mittelfinger die y-Achse, und wenn Du um [mm] \alpha [/mm] um die z-Achse drehst, "neigt " sich der [mm] Vektor\{1\\0\\0} [/mm] zur y-Achse.
Die Koordinaten des gedrehten Vektors solltest Du notieren, ebenso die der drei anderne Standardeinheitsvektoren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Do 04.06.2009 | | Autor: | quade521 |
auf welche Achsen muss denn genau projeziert werden? Also weshlab muss das im Anhang in grün gezeichnete auf die x Achse projeziert werden, sodass ich -sin und cos ergibt , dass rot gezeichnete wird einfach so übernommen, nu rweil es die x-achse ist oder??
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> auf welche Achsen muss denn genau projeziert werden?
Hallo,
auf alle Achsen muß projeziert werden.
Da der vektor in der xy-Ebene liegt, ist seine Projektion auf die z-Achse =0
Also
> weshlab muss das im Anhang in grün gezeichnete auf die x
> Achse projeziert werden, sodass ich -sin und cos ergibt ,
> dass rot gezeichnete wird einfach so übernommen, nu rweil
> es die x-achse ist oder??
Ist zwar kraus formuliert, aber ich denke, Du meinst das Richtige.
Worum geht's eigentlich? Welches Problem, für welches Du die drehmatrizen benötigst, bearbeitest Du gerade?
Gruß v. Angela
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