matrix komplexe Zahlen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 So 13.01.2013 | | Autor: | frieda84 |
Hallo ich habe hier eine aufgabe, bei der ich die Eigenwerte udn Eigenvektoren folgender Matrix bestimmen soll:
[mm] $A=\pmat{1&i \\ -i & 2}$
[/mm]
Die Eigenwerte habe ich noch gut hinbekommen.
Das wäre:
[mm] $\lambda_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
[/mm]
[mm] $$\lambda_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
[/mm]
Wenn es jetzt aber um die Eigenvektoren geht bekomme ich ein wenig probleme:
zum EIgenwert [mm] $\lambda_1$
[/mm]
$A * x = 0$
[mm] $\pmat{ \frac{-1-\sqrt{5}}{2} & i & | & 0 \\ -i & \frac{1-\sqrt{5}}{2} & | & 0 }$
[/mm]
Wie muss ich das hier berechnen? bei Komplexen Zahlen fehlt mir irgendwie die herangehensweise.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo frieda84,
> Hallo ich habe hier eine aufgabe, bei der ich die
> Eigenwerte udn Eigenvektoren folgender Matrix bestimmen
> soll:
>
> [mm]A=\pmat{1&i \\ -i & 2}[/mm]
>
> Die Eigenwerte habe ich noch gut hinbekommen.
> Das wäre:
> [mm]\lambda_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/mm]
> [mm]$$\lambda_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$[/mm]
>
> Wenn es jetzt aber um die Eigenvektoren geht bekomme ich
> ein wenig probleme:
>
> zum EIgenwert [mm]\lambda_1[/mm]
> [mm]A * x = 0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ \frac{-1-\sqrt{5}}{2} & i & | & 0 \\ -i & \frac{1-\sqrt{5}}{2} & | & 0 }[/mm]
>
> Wie muss ich das hier berechnen? bei Komplexen Zahlen fehlt
> mir irgendwie die herangehensweise.
>
Setze doch allgemein an:
[mm]\pmat{1\blue{-\lambda}&i & | & 0\\ -i & 2\blue{-\lambda} & | & 0}[/mm]
Durch Anwendung einese Eliminationsschrittes nach Gauss erhältst Du:
[mm]\pmat{1\blue{-\lambda}&i & | & 0\\ 0 & i^{2}+\left(2\blue{-\lambda}\right)\left(1\blue{-\lambda}\right) & | & 0}[/mm]
Der Ausdruck [mm]i^{2}+\left(2\blue{-\lambda}\right)\left(1\blue{-\lambda}\right)[/mm] sollte Dir bekannt vorkommen.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 13.01.2013 | | Autor: | frieda84 |
> Hallo frieda84,
>
> > Hallo ich habe hier eine aufgabe, bei der ich die
> > Eigenwerte udn Eigenvektoren folgender Matrix bestimmen
> > soll:
> >
> > [mm]A=\pmat{1&i \\ -i & 2}[/mm]
> >
> > Die Eigenwerte habe ich noch gut hinbekommen.
> > Das wäre:
> > [mm]\lambda_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/mm]
> > [mm]$$\lambda_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$[/mm]
> >
> > Wenn es jetzt aber um die Eigenvektoren geht bekomme ich
> > ein wenig probleme:
> >
> > zum EIgenwert [mm]\lambda_1[/mm]
> > [mm]A * x = 0[/mm]
> >
> > [mm]\pmat{ \frac{-1-\sqrt{5}}{2} & i & | & 0 \\ -i & \frac{1-\sqrt{5}}{2} & | & 0 }[/mm]
>
> >
> > Wie muss ich das hier berechnen? bei Komplexen Zahlen fehlt
> > mir irgendwie die herangehensweise.
> >
>
>
> Setze doch allgemein an:
>
> [mm]\pmat{1\blue{-\lambda}&i & | & 0\\ -i & 2\blue{-\lambda} & | & 0}[/mm]
>
> Durch Anwendung einese Eliminationsschrittes nach Gauss
> erhältst Du:
>
> [mm]\pmat{1\blue{-\lambda}&i & | & 0\\ 0 & i^{2}+\left(2\blue{-\lambda}\right)\left(1\blue{-\lambda}\right) & | & 0}[/mm]
>
> Der Ausdruck
> [mm]i^{2}+\left(2\blue{-\lambda}\right)\left(1\blue{-\lambda}\right)[/mm]
> sollte Dir bekannt vorkommen.
>
>
Ja das ist das charakteristische Polynom oder?
Damit ist die untere Zeile dann komplett 0
Kannst du mir eventuell nochmal den Zwischenschritt mit dem Eliminationsverfahren näher erläutern?
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
|
|
|
| |
|
Hallo, bilde eine neue 2. Zeile:
i mal Zeile 1 plus [mm] (1-\lambda) [/mm] mal Zeile 2
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 13.01.2013 | | Autor: | frieda84 |
Entschuldigung ich meinte natürlich die beiden Eigenvektoren
[mm] $(\frac{2}{1+\sqrt{5}}i,1)$
[/mm]
und
[mm] $(\frac{2}{1-\sqrt{5}}i,1)$
[/mm]
Bei dem herausfinden der inversen Matrix zu
[mm] $\pmat{\frac{2}{1+\sqrt{5}}i & \frac{2}{1-\sqrt{5}}i \\ 1 & 1}$
[/mm]
habe ich wieder große Probleme. Ich hoffe mir kann dort jemand einmal den Weg zeigen, damit ich das nachvollziehen kann.
|
|
|
| |
|
Hallo frieda84,
> Entschuldigung ich meinte natürlich die beiden
> Eigenvektoren
> [mm](\frac{2}{1+\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> und
> [mm](\frac{2}{1-\sqrt{5}}i,1)[/mm]
>
> Bei dem herausfinden der inversen Matrix zu
>
> [mm]\pmat{\frac{2}{1+\sqrt{5}}i & \frac{2}{1-\sqrt{5}}i \\ 1 & 1}[/mm]
>
> habe ich wieder große Probleme. Ich hoffe mir kann dort
> jemand einmal den Weg zeigen, damit ich das nachvollziehen
> kann.
Das Inverse einer allgemeinen 2x2-Matrix sollte kein Problem sein.
Ist [mm]M=\pmat{a & b \\ c & d}[/mm] eine 2x2-Matrix, so ist die Inverse,
falls [mm]ad-bc\not=0[/mm]:
[mm]M^{-1}=\bruch{1}{ad-bc}\pmat{d & -b \\ -c & a}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 13.01.2013 | | Autor: | frieda84 |
> Hallo frieda84,
>
> > Entschuldigung ich meinte natürlich die beiden
> > Eigenvektoren
> > [mm](\frac{2}{1+\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> > und
> > [mm](\frac{2}{1-\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> >
> > Bei dem herausfinden der inversen Matrix zu
> >
> > [mm]\pmat{\frac{2}{1+\sqrt{5}}i & \frac{2}{1-\sqrt{5}}i \\ 1 & 1}[/mm]
>
> >
> > habe ich wieder große Probleme. Ich hoffe mir kann dort
> > jemand einmal den Weg zeigen, damit ich das nachvollziehen
> > kann.
>
>
> Das Inverse einer allgemeinen 2x2-Matrix sollte kein
> Problem sein.
>
> Ist [mm]M=\pmat{a & b \\ c & d}[/mm] eine 2x2-Matrix, so ist die
> Inverse,
> falls [mm]ad-bc\not=0[/mm]:
>
> [mm]M^{-1}=\bruch{1}{ad-bc}\pmat{d & -b \\ -c & a}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
Dankeschön :)
Jetzt habe ich noch eine Frage: Wie normiere ich den Vektor:
[mm] $(\frac{2}{1+\sqrt{5}}i,1)$
[/mm]
Die Länge des Vektors ist ja:
[mm] $\sqrt{(\frac{2}{1+\sqrt{5}}i)^2+1^2}$
[/mm]
[mm] $\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}i^2+1^2}$
[/mm]
Dann kommt doch da was negatives unter der Wurzel?
|
|
|
| |
|
Hallo frieda84,
> > Hallo frieda84,
> >
> > > Entschuldigung ich meinte natürlich die beiden
> > > Eigenvektoren
> > > [mm](\frac{2}{1+\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> > > und
> > > [mm](\frac{2}{1-\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> > >
> > > Bei dem herausfinden der inversen Matrix zu
> > >
> > > [mm]\pmat{\frac{2}{1+\sqrt{5}}i & \frac{2}{1-\sqrt{5}}i \\ 1 & 1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > habe ich wieder große Probleme. Ich hoffe mir kann dort
> > > jemand einmal den Weg zeigen, damit ich das nachvollziehen
> > > kann.
> >
> >
> > Das Inverse einer allgemeinen 2x2-Matrix sollte kein
> > Problem sein.
> >
> > Ist [mm]M=\pmat{a & b \\ c & d}[/mm] eine 2x2-Matrix, so ist die
> > Inverse,
> > falls [mm]ad-bc\not=0[/mm]:
> >
> > [mm]M^{-1}=\bruch{1}{ad-bc}\pmat{d & -b \\ -c & a}[/mm]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Dankeschön :)
> Jetzt habe ich noch eine Frage: Wie normiere ich den
> Vektor:
> [mm](\frac{2}{1+\sqrt{5}}i,1)[/mm]
>
> Die Länge des Vektors ist ja:
> [mm]\sqrt{(\frac{2}{1+\sqrt{5}}i)^2+1^2}[/mm]
> [mm]\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}i^2+1^2}[/mm]
> Dann kommt doch da was negatives unter der Wurzel?
>
Bilde das Skalarprodukt des Vektors mit seinem konjugiert komplexen.
Ziehe daraus die Wurzel. Das ist dann der Normierungsfaktor, durch
den Du teilen mußt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 13.01.2013 | | Autor: | frieda84 |
> Hallo frieda84,
>
> > > Hallo frieda84,
> > >
> > > > Entschuldigung ich meinte natürlich die beiden
> > > > Eigenvektoren
> > > > [mm](\frac{2}{1+\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> > > > und
> > > > [mm](\frac{2}{1-\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> > > >
> > > > Bei dem herausfinden der inversen Matrix zu
> > > >
> > > > [mm]\pmat{\frac{2}{1+\sqrt{5}}i & \frac{2}{1-\sqrt{5}}i \\ 1 & 1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > habe ich wieder große Probleme. Ich hoffe mir kann dort
> > > > jemand einmal den Weg zeigen, damit ich das nachvollziehen
> > > > kann.
> > >
> > >
> > > Das Inverse einer allgemeinen 2x2-Matrix sollte kein
> > > Problem sein.
> > >
> > > Ist [mm]M=\pmat{a & b \\ c & d}[/mm] eine 2x2-Matrix, so ist die
> > > Inverse,
> > > falls [mm]ad-bc\not=0[/mm]:
> > >
> > > [mm]M^{-1}=\bruch{1}{ad-bc}\pmat{d & -b \\ -c & a}[/mm]
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Dankeschön :)
> > Jetzt habe ich noch eine Frage: Wie normiere ich den
> > Vektor:
> > [mm](\frac{2}{1+\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> >
> > Die Länge des Vektors ist ja:
> > [mm]\sqrt{(\frac{2}{1+\sqrt{5}}i)^2+1^2}[/mm]
> > [mm]\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}i^2+1^2}[/mm]
> > Dann kommt doch da was negatives unter der Wurzel?
> >
>
>
> Bilde das Skalarprodukt des Vektors mit seinem konjugiert
> komplexen.
> Ziehe daraus die Wurzel. Das ist dann der
> Normierungsfaktor, durch
> den Du teilen mußt.
>
>
> Gruss
> MathePower
Also soll ich einfach Rechnen [mm] $\frac{2}{1+\sqrt{5}}i*-\frac{2}{1+\sqrt{5}}i+1^2$
[/mm]
und daraus dann die Wurzel ziehen?
|
|
|
| |
|
Hallo frieda84,
> > Hallo frieda84,
> >
> > > > Hallo frieda84,
> > > >
> > > > > Entschuldigung ich meinte natürlich die beiden
> > > > > Eigenvektoren
> > > > > [mm](\frac{2}{1+\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> > > > > und
> > > > > [mm](\frac{2}{1-\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> > > > >
> > > > > Bei dem herausfinden der inversen Matrix zu
> > > > >
> > > > > [mm]\pmat{\frac{2}{1+\sqrt{5}}i & \frac{2}{1-\sqrt{5}}i \\ 1 & 1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > habe ich wieder große Probleme. Ich hoffe mir kann dort
> > > > > jemand einmal den Weg zeigen, damit ich das nachvollziehen
> > > > > kann.
> > > >
> > > >
> > > > Das Inverse einer allgemeinen 2x2-Matrix sollte kein
> > > > Problem sein.
> > > >
> > > > Ist [mm]M=\pmat{a & b \\ c & d}[/mm] eine 2x2-Matrix, so ist die
> > > > Inverse,
> > > > falls [mm]ad-bc\not=0[/mm]:
> > > >
> > > > [mm]M^{-1}=\bruch{1}{ad-bc}\pmat{d & -b \\ -c & a}[/mm]
> > >
> >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > Dankeschön :)
> > > Jetzt habe ich noch eine Frage: Wie normiere ich den
> > > Vektor:
> > > [mm](\frac{2}{1+\sqrt{5}}i,1)[/mm]
> > >
> > > Die Länge des Vektors ist ja:
> > > [mm]\sqrt{(\frac{2}{1+\sqrt{5}}i)^2+1^2}[/mm]
> > > [mm]\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}i^2+1^2}[/mm]
> > > Dann kommt doch da was negatives unter der Wurzel?
> > >
> >
> >
> > Bilde das Skalarprodukt des Vektors mit seinem konjugiert
> > komplexen.
> > Ziehe daraus die Wurzel. Das ist dann der
> > Normierungsfaktor, durch
> > den Du teilen mußt.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Also soll ich einfach Rechnen
> [mm]\frac{2}{1+\sqrt{5}}i*-\frac{2}{1+\sqrt{5}}i+1^2[/mm]
> und daraus dann die Wurzel ziehen?
>
Genau so:
[mm]\frac{2}{1+\sqrt{5}}i*\left(-\frac{2}{1+\sqrt{5}}i\right)+1^2[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Gauß-Algorithmus![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Arndt Brünner