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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mo 24.01.2005 | | Autor: | rob |
hallo!
ich habe folgende aufgabe zu lösen bekommen:
a) bestimmen sie die stationären punkte der funktion:
f(x1,x2,x3,x4)= [mm] x1^2+x2^2+x3^2+x4^2-x1x2+2*x1x3+x1x4+x2x3+2*x2x4+x3x4-8*x1-4*x2-10*x3-8*x4
[/mm]
--> ich bin an die sache wie folgt rangegangen. hab die partiellen ableitungen für x1,x2,x3,x4 gebildet und die 0 gesetzt.
dann daraus ein lineares gleichungssystem gebildet und als koordinatenwerte herausbekommen: x1=2;x2=1;x3=2;x4=1
stimmt die vorgehensweise (die werte sind wenigstens schon mal die lösungen für das gleichungssystem und wenn ja wie gestalte ich daraus die stationären punkte?
b) die inverse der folgenden matrix A enthält 7 nullen:
1 2 2 1 0 0 ... ...
A= 2 1 2 2 A^-1= 0 ... 0 ...
1 2 2 2 ... ... 0 ...
1 1 1 1 ... 0 ... 0
die fehlenden elemente der inversen sind aus den (äquivalenten) Matrizengleichungen A*A^-1= E und A^-1*A=E zu berechnen.
c) geben sie dann mit der vollständigen Inversen eine Formel für die Lösung eines Gleichungssystems Ax=b (hier sind x und b jeweils unterstrichen-->kennzeichnung für vektor) mit einem beliebigen Vektor b an.
könnt ihr mir eine hilfestellung geben?
bräuchte es aber leider schon bis mittwoch (donnerstag abgabe)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mo 24.01.2005 | | Autor: | moudi |
> hallo!
> ich habe folgende aufgabe zu lösen bekommen:
> a) bestimmen sie die stationären punkte der funktion:
> f(x1,x2,x3,x4)=
> [mm]x1^2+x2^2+x3^2+x4^2-x1x2+2*x1x3+x1x4+x2x3+2*x2x4+x3x4-8*x1-4*x2-10*x3-8*x4
[/mm]
> --> ich bin an die sache wie folgt rangegangen. hab die
> partiellen ableitungen für x1,x2,x3,x4 gebildet und die 0
> gesetzt.
> dann daraus ein lineares gleichungssystem gebildet und als
> koordinatenwerte herausbekommen: x1=2;x2=1;x3=2;x4=1
> stimmt die vorgehensweise (die werte sind wenigstens schon
> mal die lösungen für das gleichungssystem und wenn ja wie
> gestalte ich daraus die stationären punkte?
>
> b) die inverse der folgenden matrix A enthält 7 nullen:
>
>
> 1 2 2 1 0 0 ... ...
> A= 2 1 2 2 A^-1= 0 ... 0 ...
> 1 2 2 2 ... ... 0 ...
> 1 1 1 1 ... 0 ... 0
>
> die fehlenden elemente der inversen sind aus den
> (äquivalenten) Matrizengleichungen A*A^-1= E und A^-1*A=E
> zu berechnen.$
[mm] $A=\pmat{ 1 & 2 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2 & 2\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }$. [/mm] Schauen wir uns nur mal die erste Kolonne von [mm] $A^{-1}$ [/mm] an:
[mm] $A^{-1}=\pmat{ 0 & 0 & \dots & \dots\\ 0 & \dots & 0 & 2\dots\\ x & \dots & 0 & \dots \\ y & 0 & \dots & 0 }$
[/mm]
Das "Skalarprodukt" der ersten Zeile von A mit der ersten Kolonne von [mm] $A^{-1}$ [/mm] muss gleich 1 sein.
Das "Skalarprodukt" der zweiten Zeile von A mit der zweiten Kolonne von [mm] $A^{-1}$ [/mm] muss gleich 1 sein.
(Wieso? Das Matrixelement [mm] $(AB)_{ij}$ [/mm] des Matrizenprodukts AB ist das "Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.)
Das liefert zwei lineare Gleichungen für x, y, die einfach zu lösen sind.
Allgemein könnte man so für jede Kolonnen von [mm] $A^{-1}$ [/mm] ein Gleichungssystem der Einträge aufstellen und es lösen. Um also die Inverse einer 4x4-Matrix zu lösen, muss man 4 Gleichungsysteme für je 4 Unbekannte lösen.
mfG Moudi
> c) geben sie dann mit der vollständigen Inversen eine
> Formel für die Lösung eines Gleichungssystems Ax=b (hier
> sind x und b jeweils unterstrichen-->kennzeichnung für
> vektor) mit einem beliebigen Vektor b an.
>
>
> könnt ihr mir eine hilfestellung geben?
> bräuchte es aber leider schon bis mittwoch (donnerstag
> abgabe)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Di 25.01.2005 | | Autor: | rob |
hi, danke für die antwort, bloß leider weiß ich immer noch nicht wie ich b) lösen soll, also wie so ein gleichungssystem aussieht. kannst du mir sozusagen eins mal "vormachen"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
Es muss ja $A [mm] A^{-1}=I$ [/mm] gelten
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2 & 2\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }
\underbrace{\pmat{ u & 0 & \dots & \dots\\ v & \dots & 0 & 2\\ x & \dots & 0 & \dots \\ y & 0 & \dots & 0 }}_{A^{-1}}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Das ergibt dann für u, v, x, y vier Gleichungen:
[mm]
\begin{array}{rcrcrcrcl}
u&+&2v&+&2x&+&y&=&1\\
2u&+&v&+&2x&+&2y&=&0\\
u&+&2v&+&2x&+&2y&=&0\\
u&+&v&+&x&+&y&=&0\\
\end{array}[/mm]
Die linke Seite (links des Gleichheitszeichens) entspricht gerade der 1.Kolonne des Matrixprodukts $A [mm] A^{-1}$.
[/mm]
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 25.01.2005 | | Autor: | rob |
soweit erstmal verständlich, aber was ist eine kolonne, die erste spalte oder?
so hab nun die gleichungssysteme gelöst:
0 0 -1 2
A^-1= 0 -1 0 2
1 1 0 -3
-1 0 1 0
könnte stimmen?
weiß noch jemand ne antwort zu a) und c) ???????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Di 25.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber rob
Ja. Eine Kolonne ist eine Spalte.
Eine Reihe ist eine Zeile.
Moudi wollte damit sicher sagen: um die erste Spalte der Produktmatrix zu berechnen, musst du genau die Berechnungen durchführen, wie sie auf der linken Seite des Gleichungssystems gegeben sind. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
> soweit erstmal verständlich, aber was ist eine kolonne, die
> erste spalte oder?
>
>
>
> so hab nun die gleichungssysteme gelöst:
>
> 0 0 -1 2
> A^-1= 0 -1 0 2
> 1 1 0 -3
> -1 0 1 0
>
> könnte stimmen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> weiß noch jemand ne antwort zu a) und c) ???????
zu c)
Wenn Ax=b, dann kann man die Gleichung von links mit der Matrix [mm] $A^{-1}$ [/mm] multiplizieren und erhält so
[mm] $A^{-1}Ax=A^{-1}b$ [/mm] oder [mm] $Ix=A^{-1}b$ [/mm] oder [mm] $x=A^{-1}b$.
[/mm]
Ich glaube a) stimmt, wenn stationäre Punkte solche sind, bei denen Alle partiellen Ableitungen 0 sind.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 26.01.2005 | | Autor: | rob |
super, danke für eure hilfe.
ähm... aber wie kann ich jetzt noch die stationären punkte ausrechnen, das sind ja bis jetzt nur stellen?
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