max. Ideal, Unterring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:24 Mo 12.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Die Menge der Folgen [mm] $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ [/mm] ist mit komponentenweiser Addition und Multiplikation der Folgenglieder:
[mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}+(y_n)_{n\in\mathbb{N}}=(x_n+y_n)_{n\in\mathbb{N}}$
[/mm]
[mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\cdot (y_n)_{n\in\mathbb{N}}=(x_n\cdot y_n)_{n\in\mathbb{N}}$
[/mm]
für [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}},(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ [/mm] ein Ring.
Sei R die Menge der Cauchy-Folgen. Zeigen Sie:
I) R ist ein Unterring.
II) Die Teilmenge I aller gegen Null konvergenten Folgen ist ein maximales Ideal in R |
Hi,
ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und wollte fragen, ob das so in Ordnung geht:
I)
Damit ein Unterring vorliegt muss ich zeigen:
a) [mm] $0\in [/mm] R$ und [mm] $x\pm y\in [/mm] R$ für alle [mm] $x,y\in\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$
[/mm]
b) [mm] $xy\in [/mm] R$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] R$
c) [mm] $1\in [/mm] R$
Das 0 und [mm] $1\in [/mm] R$ liegt ist trivial. Ich kann ja einfach die konstante Folge betrachten. Das ist offensichtlich eine Cauchy-Folge.
Das die Summe und das Produkt von zwei Cauchyfolgen wieder eine Cauchy-Folge ist, ist ja aus der Analysis I bekannt.
Im Grunde ist diese gesamte Teilaufgabe damit trivial...
II)
Hier möchte ich zeigen, dass [mm] $R\I\cong \mathbb{R}$. [/mm] Dann ist $R/I$ ein Körper und damit ein maximales Ideal.
Ich wende also den Homomorphiesatz an.
[mm] $I=\{(a_n)_{n\in\mathbb{N}}|\lim_{n\to\infty} a_n=0\}$
[/mm]
Um zu zeigen, dass dies ein Ideal ist, muss ich ja erst zeigen, dass es eine Untergruppe ist und dann noch zeigen, dass für alle [mm] $r\in [/mm] R$ gilt
[mm] $ir=ri\in [/mm] I$.
Letzteres ist auch wieder sehr einfach, da Cauchyfolgen beschränkt sind und eine beschränkte Folge mal eine Nullfolge eine Nullfolge ist.
Die Untergruppenkriterien, da müsste ich ja zeigen, dass für jede Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] auch ihre "Inverse-Folge" [mm] $(a_n)^{-1}$ [/mm] in $I$ liegt.
Für die Verknüpfung der Addition ist das klar. Aber für die Multiplikation nicht.
Zum Beispiel für die Folge
[mm] $a_n=1/n$
[/mm]
Das Inverse wäre ja [mm] $b_n=n$ [/mm] das ist aber keine Nullfolge mehr...
Wo steckt hier mein Denkfehler?
Aber zum eigentlich interessanten Teil der Aufgabe.
Ich betrachte die Abbildung
[mm] $f:R\to\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $f(r)=\lim_{n\to\infty}r_n$
[/mm]
Die Homomorphieeigenschaft ist klar. Im Grunde folgt das direkt aus den Grenzwertsätzen. Ich weiß ja, dass die Folgen in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] konvergieren, wegen der Vollständigkeit.
r ist ja eine Cauchy-Folge und weil ich den Grenzwert im [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] betrachte immer konvergent. In [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] ist dies ja nicht der Fall.
(Das sollte mir oben aber nichts kaputt machen)
Offensichtlich ist I genau der Kern von R.
Des Weiteren ist die Abbildung f offensichtlich surjektiv, da ich einfach rationale Cauchy-Folgen betrachten kann, welche irrationale Grenzwerte haben.
Was zugegebenermaßen etwas blöd ist, da ich überabzählbar viele solcher Folgen bräuchte.
Kann ich die surjektivität besser begründen?
Nach dem Homomorphiesatz ist dann [mm] $R/I\cong \mathbb{R}$, [/mm] also ist I ein maximales Ideal.
Passt das so von den Ansätzen her?
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> Die Menge der Folgen [mm]\mathbb{Q}^\mathbb{N}[/mm] ist mit
> komponentenweiser Addition und Multiplikation der
> Folgenglieder:
>
> [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}}+(y_n)_{n\in\mathbb{N}}=(x_n+y_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm]
>
> [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}}\cdot (y_n)_{n\in\mathbb{N}}=(x_n\cdot y_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm]
>
> für
> [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}},(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{Q}^\mathbb{N}[/mm]
> ein Ring.
> Sei R die Menge der Cauchy-Folgen. Zeigen Sie:
>
> I) R ist ein Unterring.
> II) Die Teilmenge I aller gegen Null konvergenten Folgen
> ist ein maximales Ideal in R
>
> Hi,
>
> ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und wollte
> fragen, ob das so in Ordnung geht:
>
> I)
>
> Damit ein Unterring vorliegt muss ich zeigen:
>
> a) [mm]0\in R[/mm] und [mm]x\pm y\in R[/mm] für alle
> [mm]x,y\in\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}[/mm]
> b) [mm]xy\in R[/mm] für alle [mm]x,y\in R[/mm]
> c) [mm]1\in R[/mm]
>
> Das 0 und [mm]1\in R[/mm] liegt ist trivial. Ich kann ja einfach die
> konstante Folge betrachten. Das ist offensichtlich eine
> Cauchy-Folge.
>
> Das die Summe und das Produkt von zwei Cauchyfolgen wieder
> eine Cauchy-Folge ist, ist ja aus der Analysis I bekannt.
>
> Im Grunde ist diese gesamte Teilaufgabe damit trivial...
Ja, dass Summe und Produkt von Cauchy-Folgen Cauchy sind, sollte aus Analysis 1 bekannt sein.
> II)
>
> Hier möchte ich zeigen, dass [mm]R/I\cong \mathbb{R}[/mm].
> Dann ist
> [mm]R/I[/mm] ein Körper und damit ein maximales Ideal.
> Ich wende also den Homomorphiesatz an.
>
> [mm]I=\{(a_n)_{n\in\mathbb{N}}|\lim_{n\to\infty} a_n=0\}[/mm]
>
> Um zu zeigen, dass dies ein Ideal ist, muss ich ja erst
> zeigen, dass es eine Untergruppe ist und dann noch zeigen,
> dass für alle [mm]r\in R[/mm] gilt
> [mm]ir=ri\in I[/mm].
> Letzteres ist auch wieder sehr einfach, da
> Cauchyfolgen beschränkt sind und eine beschränkte Folge
> mal eine Nullfolge eine Nullfolge ist.
> Die Untergruppenkriterien, da müsste ich ja zeigen, dass
> für jede Folge [mm](a_n)[/mm] auch ihre "Inverse-Folge" [mm](a_n)^{-1}[/mm]
> in [mm]I[/mm] liegt.
> Für die Verknüpfung der Addition ist das klar. Aber für
> die Multiplikation nicht.
> Zum Beispiel für die Folge
>
> [mm]a_n=1/n[/mm]
>
> Das Inverse wäre ja [mm]b_n=n[/mm] das ist aber keine Nullfolge
> mehr...
> Wo steckt hier mein Denkfehler?
Seit wann braucht ein Ideal Inverse?
Beachte aber, dass man gar nicht nachrechnen muss, dass es sich um ein Ideal handelt, wenn man weiß, dass es sich um den Kern eines Homomorphismus handelt.
Du kannst einfach von Vorne herein den Homomorphismus [mm] $R\longrightarrow \IR$, $(a_n)\longmapsto\lim a_n$. [/mm] Dass das wohldefiniert ist, ist lediglich die bekannte Aussage, dass Cauchy-Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] konvergieren, dass es sich um einen Homomorphismus handelt, sind die Grenzwertsätze. Und nun ist der Kern gerade so definiert, dass er aus allen Nullfolgen besteht! Für die Surjektivität kannst du z.B. Dezimalbruchentwicklungen verwenden.
Hier darfst du vermutlich voraussetzen, dass die reellen Zahlen bekannt sind. Wenn man diese Konstruktion benutzen möchte, um die reellen Zahlen zu konstruieren, ist aber alles nicht mehr ganz so schön, dann musst du - wie du es bereits getan hast - nachrechnen, dass $I$ ein Ideal ist, und dann für jede Nicht-Null-Cauchy-Folge eine Inverse in $R/I$ konstruieren; aber auch das ist nicht übermäßig schwer. Aus der Analysis ist wohl bekannt, dass Nicht-Null-Cauchy-Folgen für große $n$ nicht mehr den Wert $0$ annehmen, ab da kannst du einfach Inverse in [mm] $\IQ$ [/mm] nehmen.
Das liefert immernoch eine viel einfachere und hübschere Konstruktion von [mm] $\IR$ [/mm] als etwa Dedekindsche Schnitte, und Körpereigenschaft, Ordnung, Vollständigkeit bekommt man alles mitgeliefert.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> Aber zum eigentlich interessanten Teil der Aufgabe.
>
> Ich betrachte die Abbildung
>
> [mm]f:R\to\mathbb{R}[/mm] mit [mm]f(r)=\lim_{n\to\infty}r_n[/mm]
>
> Die Homomorphieeigenschaft ist klar. Im Grunde folgt das
> direkt aus den Grenzwertsätzen. Ich weiß ja, dass die
> Folgen in [mm]\mathbb{R}[/mm] konvergieren, wegen der
> Vollständigkeit.
>
> r ist ja eine Cauchy-Folge und weil ich den Grenzwert im
> [mm]\mathbb{R}[/mm] betrachte immer konvergent. In [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist
> dies ja nicht der Fall.
> (Das sollte mir oben aber nichts kaputt machen)
>
> Offensichtlich ist I genau der Kern von R.
> Des Weiteren ist die Abbildung f offensichtlich surjektiv,
> da ich einfach rationale Cauchy-Folgen betrachten kann,
> welche irrationale Grenzwerte haben.
> Was zugegebenermaßen etwas blöd ist, da ich
> überabzählbar viele solcher Folgen bräuchte.
>
> Kann ich die surjektivität besser begründen?
>
> Nach dem Homomorphiesatz ist dann [mm]R/I\cong \mathbb{R}[/mm], also
> ist I ein maximales Ideal.
>
> Passt das so von den Ansätzen her?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mo 12.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ok. Dann passt das also im Grunde soweit?
Das mit den Inversen, da hatte ich glaube ich Unterring mit Untergruppe verwechselt...
Ein Unterring benötigt ja keine Inversen. Dann ist alles gut.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mo 12.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Dann passt das also im Grunde soweit?
Ja
FRED
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> Das mit den Inversen, da hatte ich glaube ich Unterring mit
> Untergruppe verwechselt...
> Ein Unterring benötigt ja keine Inversen. Dann ist alles
> gut.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mo 12.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank.
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