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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Sa 08.11.2008 | | Autor: | s.1988 |
| Aufgabe | [mm] v_{1}=\vektor{2 \\ 6 \\ 1} [/mm] , [mm] v_{2}=\vektor{0 \\ 2 \\ 2} [/mm] , [mm] v_{3}=\vektor{2 \\ 2 \\ -3} [/mm] , [mm] v_{4}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
E:={ [mm] v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} [/mm] } ist ein Erzeugendensystem den [mm] Q^{3}
[/mm]
Bestimmen Sie alle maximalen linear unabhängigen Teilmengen von E. |
Hallo,
muss ich jetzt einfach alle Basen suchen, die in dem Erzeugendensystem liegen?
Wenn ja, gibt es nicht unendlich viele davon?
Viele Grüße
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]v_{1}=\vektor{2 \\ 6 \\ 1}[/mm] , [mm]v_{2}=\vektor{0 \\ 2 \\ 2}[/mm] ,
> [mm]v_{3}=\vektor{2 \\ 2 \\ -3}[/mm] , [mm]v_{4}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> E:={ [mm]v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ist ein Erzeugendensystem
> den [mm]Q^{3}[/mm]
> Bestimmen Sie alle maximalen linear unabhängigen
> Teilmengen von E.
> Hallo,
> muss ich jetzt einfach alle Basen suchen, die in dem
> Erzeugendensystem liegen?
> Wenn ja, gibt es nicht unendlich viele davon?
Hallo,
es stimmt, daß der [mm] \IQ^3 [/mm] unendlich viele Basen hat.
Du sollst aber bloß die Basen angeben, die aus einer Auswahl der obigen 4 Vektoren bestehen, also alle Basen, die man aus denen basteln kann.
Gruß v. Angela
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ich kenne diese aufgabe... muss diese auch gerade bearbeiten. Leider kann ich mit deiner Lösung so gar nichts anfangen. würdest du mir das nochmal genau erklären, wie ich zur lösung komme, also ob es ein Erzeudendensystem ist und ob sie alle maximal linear unabhängige teilmegen von E sind?
Vielen Dank im voraus!
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> ich kenne diese aufgabe... muss diese auch gerade
> bearbeiten. Leider kann ich mit deiner Lösung so gar nichts
> anfangen. würdest du mir das nochmal genau erklären, wie
> ich zur lösung komme, also ob es ein Erzeudendensystem ist
> und ob sie alle maximal linear unabhängige teilmegen von E
> sind?
> Vielen Dank im voraus!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Inzwischen konntest Du ja nachlesen, wie die Kommilitonin die Aufgabe gelöst hat.
Ganz wichtig ist, daß Du überhaupt erstmal weißt, was ein Erzeugendensystem ist. Kannst Du das sagen?
Daraus ergibt sich dann die weitere Vorgehensweise: man muß schauen, ob man mit den vorgegebenen Vektoren durch Linearkombination jeden beliebigen Vektor des [mm] \IQ^3 [/mm] erzeugen kann, was ein lineares Gleichungssystem ergibt - so, wie es Mary1986 gemacht hat.
Wenn Du weißt, daß das ein Erzeugendensystem ist, weißt Du, daß eine Basis enthalten ist. (Eine Basis ist ja ein linear unabhängiges Erzeugendensystem).
Du mußt also erstmal versuchen eine möglichst größe Teilmenge der [mm] v_i [/mm] zu finden, die linear unabhängig ist. Danach schaust Du, wieviele linear unabhängige Teilmengen derselben Mächtigkeit Du noch basteln kannst aus den 4 Vektoren.
Falls Ihr bereits wißt, daß der [mm] \IQ^3 [/mm] die Dimension 3 hat, kannst Du gleich nachschauene, welche der 4 teilemengen mit drei Elementen linear unabhängig sind.
Voraussetzung für all das ist natürlich, daß Du die Def. der linearen Unabhängigkeit kennst.
Falls Du bei dieser Aufgabe weiterhin Schwierigkeiten hast, poste die Definition bitte mit und versuche etwas genauer zu erklären, an welcher Stelle Deine Schwierigkeiten liegen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 So 09.11.2008 | | Autor: | Mary1986 |
Hallo!
Ich bearbeite ebenfalls genau diese Aufgabe... hallo liebe mitstudenten 
Also ich hab mir folgendes überlegt, um zu zeigen, dass die vektoren ein erzeugenden system sind habe ich die vektoren wie folgt behandelt:
[mm] a*v_1+b*v_2+c*v_3+d*v_4 = (x,y,z)[/mm]
Für die einzelnen Skalare habe ich dann folgendes erhalten:
[mm] a= \bruch{1}{5}*y + \bruch{1}{20}*z [/mm]
[mm] b= - \bruch{1}{2}*x + \bruch{1}{10}*y + \bruch {2}{5}*z[/mm]
[mm] c= - \bruch{1}{4}*z [/mm]
[mm] d= x - \bruch{2}{5}*y + \bruch {2}{5}*z[/mm]
Somit gibt es für jedes Skalar a,b,c,d eine Lösung, d.h. die Vektoren sind linear abhängig und somit sind sie ein Erzeugendensystem, für [mm]\IQ[/mm]
Ist das richtig?
Für die maximalen linear unabhängigen Teilmengen des E würde ich jetzt erstmal jeden vektor für sich nehmen und dann die vektoren addieren und das gleich null setzte also z.b.: [mm] a*v_1+b*v_2=(0,0,0) [/mm]
Geht das so???
Viele liebe grüße und viel erfolg
Mary
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo!
> Ich bearbeite ebenfalls genau diese Aufgabe... hallo liebe
> mitstudenten
> Also ich hab mir folgendes überlegt, um zu zeigen, dass
> die vektoren ein erzeugenden system sind habe ich die
> vektoren wie folgt behandelt:
> [mm]a*v_1+b*v_2+c*v_3+d*v_4 = (x,y,z)[/mm]
> Für die einzelnen
> Skalare habe ich dann folgendes erhalten:
> [mm]a= \bruch{1}{5}*y + \bruch{1}{20}*z[/mm]
> [mm]b= - \bruch{1}{2}*x + \bruch{1}{10}*y + \bruch {2}{5}*z[/mm]
>
> [mm]c= - \bruch{1}{4}*z[/mm]
> [mm]d= x - \bruch{2}{5}*y + \bruch {2}{5}*z[/mm]
>
> Somit gibt es für jedes Skalar a,b,c,d eine Lösung, d.h.
> die Vektoren sind linear abhängig und somit sind sie ein
> Erzeugendensystem, für [mm]\IQ[/mm]
> Ist das richtig?
Hallo,
ich habe jetzt nicht nachgerechnet, ob die Zahlen, die Du errechnet hast, stimmen. Die Vorgehensweise jedenfalls ist goldrichtig, und sie zeigt, daß Du verstanden hast, was ein Erzeugendensystem ist.
Je nachdem, was in der Vorlesung bereits behandelt wurde, könnte man die Rechnung etwas beschleunigen durch Betrachtung des Ranges der Matrix die die [mm] v_i [/mm] als Spalten enthält. Aber eben nur, wenn's dran war.
Die weitere Vorgehensweise wird stark davon abhängen, wie weit der Vorlesungsstoff gediehen ist.
Falls Ihr schon wißt, daß der [mm] \IQ^3 [/mm] die Dimension 3 hat (wovon ich ausgehe), mußt Du testen, welche der 4 Teilmengen mit drei Elementen, die Du aus [mm] (v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] bilden kannst, linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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