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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Xotac |
| Aufgabe | | Welcher von allen Zylindern, die einer Kugel vom Radius a > 0 eingeschrieben werden können, hat das größte Volumen? Bestimmen Sie die Größe dieses in Abhängigkeit von a. |
Hallo :)
Folgende Aufgabe :
Welcher von allen Zylindern, die einer Kugel vom Radius a > 0 eingeschrieben werden können, hat das größte Volumen? Bestimmen Sie die Größe dieses in Abhängigkeit von a.
Volumen eines Zylinder : [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] * h wobei ich weiß, das h sich als [mm] \wurzel{a^2-r^2} [/mm] darstellen lässt.
also ist das Volumen : [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] * [mm] \wurzel{a^2-r^2}
[/mm]
Um das Maxima rauszukriegen, brauchen wir die erste Ableitung :
f'(x) = [mm] 2*\pi*r* \wurzel{a^2-r^2} [/mm] - [mm] \bruch{\pi * r^3}{ \wurzel{a^2-r^2}}
[/mm]
Das [mm] \pi [/mm] lässt sich jetzt "entfernen". Doch wie nun weiter vereinfachen ?
Ich muss nach r auflösen ,doch ich komme nicht weiter.
Wenn ich mit [mm] \wurzel{a^2-r^2} [/mm] erweitere, erhalte ich doch
[mm] 2*r*(a^2-r^2) [/mm] = [mm] r^3*( \wurzel{a^2-r^2}) [/mm] oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Welcher von allen Zylindern, die einer Kugel vom Radius a >
> 0 eingeschrieben werden können, hat das größte Volumen?
> Bestimmen Sie die Größe dieses in Abhängigkeit von a.
> Hallo :)
>
> Folgende Aufgabe :
>
> Welcher von allen Zylindern, die einer Kugel vom Radius a >
> 0 eingeschrieben werden können, hat das größte Volumen?
> Bestimmen Sie die Größe dieses in Abhängigkeit von a.
>
> Volumen eines Zylinder : [mm]\pi[/mm] * [mm]r^2[/mm] * h wobei ich weiß, das
> h sich als [mm]\wurzel{a^2-r^2}[/mm] darstellen lässt.
Das stimmt nicht ! Hast Du eine Skizze angefertigt ?
Die Nebenbedingung lautet:
(NB) [mm] (2a)^2= h^2+(2r)^2
[/mm]
Tipp fürs weitere Vorgehen: löse (NB) nach [mm] r^2 [/mm] auf und setze dies in
$V= [mm] \pi*r^2 [/mm] * h $
ein.
FRED
>
> also ist das Volumen : [mm]\pi[/mm] * [mm]r^2[/mm] * [mm]\wurzel{a^2-r^2}[/mm]
>
> Um das Maxima rauszukriegen, brauchen wir die erste
> Ableitung :
>
> f'(x) = [mm]2*\pi*r* \wurzel{a^2-r^2}[/mm] - [mm]\bruch{\pi * r^3}{ \wurzel{a^2-r^2}}[/mm]
>
> Das [mm]\pi[/mm] lässt sich jetzt "entfernen". Doch wie nun weiter
> vereinfachen ?
>
> Ich muss nach r auflösen ,doch ich komme nicht weiter.
>
> Wenn ich mit [mm]\wurzel{a^2-r^2}[/mm] erweitere, erhalte ich doch
>
> [mm]2*r*(a^2-r^2)[/mm] = [mm]r^3*( \wurzel{a^2-r^2})[/mm] oder ?
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