max flächeninhalt < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechtech mit angesetztem Halbkreis. Wähle die Maße dieses Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang u des Querschnitts sein Flächeninhalt möglichst groß wird. ( u=30) |
Hallo erstmal, ich hab da so'n Problemchen, und zwar diese Aufgabe an der ich schon 2 Tage sitze und mir die Zähne ausbeisse. Bin schon ein bisschen verzweifelt, hoffe ihr könnt mir da helfen! Danke schon mal im vorraus, h.e.l :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo melisa,
Der Flächeninhalt des Kanals setzt sich zusammen aus dem Halbkreis und dem Rechteck.
Ich habe die untere Seite mit x bezeichnet.
Mit 3,14 ist Pi gemeint.
Flächeninhalt des Halbkreises:
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 3,14* [mm] r^2
[/mm]
also:
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 3,14 * ( [mm] \bruch{x}{2} )^2
[/mm]
Flächeninhalt des Rechtecks:
[mm] A_{2} [/mm] = x * 2.Seite
also:
[mm] A_{2} [/mm] = x * ((30 - x - 2 * 3,14 * [mm] \bruch{x}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] / 2 )
Erklärung zur 2ten Seite:
Die Länge der 2ten Seite findest du indem du vom gesamten Umfang (30) den Umfang des Halbkreises abziehst (2 * 3,14 * [mm] \bruch{x}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] und dann die untere Seite des Rechtecks (x) abziehst.
Nun musst du das Ganze noch durch 2 teilen, weil ja die Summe der beiden Seiten links und rechts übrig bleibt.
A = [mm] A_{1} [/mm] + [mm] A_{2}
[/mm]
Dann musst du den Term nurnoch ableiten und das Maximum suchen.
Hoff ich hab nich so ausgedrückt, dass es versändlich wird :- ))
Tut mir leid bin hier noch nicht so wirklich geübt.
Werd in zukunft öfer mal die Vorschau benutzen... ;- )))
Lg mima
|
|
|
| |
|
hmmmmmmm.....ich hab versucht die klammern aufzulösen, aber das war noch nie so meine stärke...irgendwie klingt x hoch 4*94,248 falsch. sorry, hab heute irgendwie ´n brett vorm kopf. aus was soll ich den die ableitungen bilden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Sa 12.08.2006 | | Autor: | Disap |
> hmmmmmmm.....ich hab versucht die klammern aufzulösen, aber
Zeig doch einfach mal deine Rechnungen. Die wenigsten werden es dir hier vorrechnen.
> das war noch nie so meine stärke...irgendwie klingt x hoch
> 4*94,248 falsch. sorry, hab heute irgendwie ´n brett vorm
> kopf. aus was soll ich den die ableitungen bilden?
Von der Zielfunktion.
|
|
|
| |
|
Flächeninhalt des Halbkreises:
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 3,14 * ( [mm] \bruch{x}{2} )^2 [/mm]
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{8}
[/mm]
Flächeninhalt des Rechtecks:
[mm] A_{2} [/mm] = x * ((30 - x - 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] / 2 )
[mm] A_{2} [/mm] = x * $ [mm] \bruch{30 - x - \pi * \bruch{x}{2} }{2} [/mm] $
[mm] A_{2} [/mm] = x * (15 - [mm] \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x}{4} [/mm] )
[mm] A_{2} [/mm] = 15*x - [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] - [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{4}
[/mm]
[mm] A_{} [/mm] = [mm] A_{1} [/mm] + [mm] A_{2}
[/mm]
[mm] A_{} [/mm] = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{8} [/mm] + 15*x - [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] - [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{4}
[/mm]
[mm] A_{} [/mm] = 15*x - [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] - 2* [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{8} [/mm] + [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{8}
[/mm]
[mm] A_{} [/mm] = 15*x - [mm] 4*\bruch{x^2}{8} [/mm] - 2* [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{8} [/mm] + [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{8}
[/mm]
[mm] A_{} [/mm] = 15*x - [mm] 4*\bruch{x^2}{8} [/mm] - [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{8} [/mm]
[mm] A_{} [/mm] = 15*x - [mm] \bruch{(4+\pi)*x^2}{8}
[/mm]
=> Nun diesen Term ableiten
[mm] {A'}_{} [/mm] = 15 - [mm] \bruch{(4+\pi)*x}{4}
[/mm]
[mm] {A'}_{} [/mm] = 0
x = 8,4
y = $ [mm] \bruch{30 - x - \pi * \bruch{x}{2} }{2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{30 - 8,4 - \pi * \bruch{8,4}{2} }{2} [/mm] $ = 4,2
Untere Seite : 8,4
Andere Seite : 4,2
Lg mima
|
|
|
| |
|
Moin zusammen! Jetzt erkenne ich wo mein Denkfehler war, ich hab nicht erkannt das der Flächeninhalt die Zielfunktion ist, nun fallen mir die Schuppen von den Augen....o man war ich blöd:) Und an dem Minus in der ersten Ableitung ( A'= 15 - (( 4+ [mm] \pi [/mm] )*x/ 4) , kann man erkennen, dass es sich um ein maximalen, nicht um einen minimalen Wert handelt. Stimmt's? Ihr seid echt super und ´ne echte Hilfe, macht weiter so!!!!!!!!! Hab'euch lieb!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Sa 12.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
der beschriebene Weg ist völlig i.O.
Vielleicht solltest du [mm] \pi [/mm] einfach stehen lassen statt mit 3,14 wirklich durchzurechnen!
Zur Verdeutlichung nochmal die Grundformeln
Kreisfläche [mm] F_k: {\pi r^2} \Rightarrow [/mm] Halbkreisfläche [mm] F_h [/mm] : [mm] \bruch{1}{2} {\pi r^2}
[/mm]
Kreisumfang [mm] U_k: {2\pi r} \Rightarrow [/mm] Halbkreisumfang [mm] U_h [/mm] : [mm] \bruch{1}{2} {2\pi r} [/mm] = [mm] {\pi r}
[/mm]
Durchmesser [mm] D_k [/mm] des Kreises: 2*r = x !!!!
Radius [mm] r_k: \bruch{D_k}{2}
[/mm]
Rechteckfläche [mm] A_R: [/mm] x * y
Somit gesucht Seitenlänge y
Radius [mm] r_k [/mm] = [mm] \bruch{D_k}{2} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2} [/mm] !!!!
Der gesamte Umfang [mm] U_g [/mm] soll ja 30 sein:
30 = [mm] \bruch{U_h}{2} [/mm] + 2y
Für die maximale Fläche gehe so vor wie mein Vorgänger beschrieben hat, da brauche ich nichts mehr zu erläutern.
Dann erhälst du eine Flächenfunktion A(x) = [mm] A_1(x) [/mm] + [mm] A_2(x) [/mm] deren Maximum du über erste und zweite Ableitung bestimmst.
Zeichne dir das Rechteck mit dem Halbkreis einmal auf und trage die Bezeichnungen ein, dann wird es deutlicher.
Sollte dann klappen sonst nochmal fragen.
Ron
|
|
|
|
