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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Do 18.06.2009 | | Autor: | ecko |
Hallo, ich möchte beweisen, das für eine Matrix stets gilt:
[mm] \max_{1 \le i \le m}[\min_{1 \le j \le n} a_{ij}] \le \min_{1 \le j \le n} [\max_{1 \le i \le m} a_{ij}]
[/mm]
Kann mir da jemand einen ersten Tip geben? versuchs schon die ganze Woche erfolglos :(
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> Hallo, ich möchte beweisen, das für eine Matrix stets
> gilt:
>
> max[min [mm]a_{ij}] \le[/mm] min[max [mm]a_{ij}][/mm]
>
> dabei läuft max: 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] m
> und min: 1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] n
>
> Kann mir da jemand einen ersten Tip geben? versuchs schon
> die ganze Woche erfolglos :(
Hallo,
Du hast eine nxm-Matrix mit Einträgen [mm] a_i_j.
[/mm]
Auf der linken Seite deiner Ungleichung geschieht folgendes:
man nimmt sich aus jeder Zeile das Minumum her, und wählt aus diesen Zahlen das Maximum.
Auf der rechten Seite deiner Ungleichung geschieht folgendes:
man nimmt sich aus jeder Spalte das Maximum her, und wählt aus diesen Zahlen das Minimum.
Zum Verständnis trennen wir uns mal von den Buchstaben und konkretisieren die Sache etwas:
Mal angenommen, man hat links festgestellt: max[min [mm][mm] a_{ij}] =a_3_5.
[/mm]
Daraus weiß man, daß [mm] a_3_5 [/mm] der kleinste Eintrag der dritten Zeile ist. Alle anderne Einträge der Zeile 3 [mm] sind\ge a_3_5.
[/mm]
Rechts wird zunächst aus jeder Spalte das Maximum genommen.
Überlege Dir jetzt, warum das Maximum einer jeglichen Spalte [mm] \ge a_3_5 [/mm] ist.
Tja, und wenn Du von denen das Minimum nimmst, bleibt's natürlich immer noch [mm] \ge a_3_5.
[/mm]
Wenn Du das verstanden hast, dann hast Du Deine Aufgabe verstanden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Do 18.06.2009 | | Autor: | ecko |
Also ich habs denk mal verstanden, würde denn nicht reichen zu zeigen das allgemein gilt [min $ [mm] a_{ij}] \le [/mm] $ [max $ [mm] a_{ij}] [/mm] $ also ezüglich den zu max min geg. i,j werten
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> Also ich habs denk mal verstanden, würde denn nicht reichen
> zu zeigen das allgemein gilt [min [mm]a_{ij}] \le[/mm] [max [mm]a_{ij}][/mm]
> also ezüglich den zu max min geg. i,j werten
Hallo,
also irgendwie ist mit Deinem Satz wohl was schiefgegangen. Am Ende sind ja nur noch Fetzen, denen ich nicht folgen kann.
Den Anfang verstehe ich hingegen gut:
> würde denn nicht reichen
> zu zeigen das allgemein gilt [min [mm]a_{ij}] \le[/mm] [max [mm]a_{ij}][/mm]
Das dachte ich nämlich auch zuerst.
Aber Du guckst rechts ja nicht das Minimum aller Eintrage an, sondern die Menge der Minima der einzelnen Zeilen, und davon wählst Du dann das Maximum aus. Du hast also links nicht unbedingt das Minimum der Matrixeinträge stehen. Rechts analog.
Mit hilft es immer am besten, wenn ich mal mit ein paar nicht allzu großen, konkreten matrizen spiele. Anders kann ich sowas nicht begreifen.
Gruß v. Angela
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