maximale Richtungsableitung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mi 01.06.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Fur welchen Vektor v [mm] \in R^{3} [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] = 1 ist die Richtungsableitung von
f(x; y; z) = [mm] x^{2} [/mm] + y - [mm] z^{2} [/mm] im Punkt (1; 1; 1) am größten?
Betrachten Sie hierzu die Richtungsableitung [mm] \bruch{df}{dv} [/mm] = grad f * v, und bestimmen Sie die
Extremwerte unter Nebenbedingung mittels Lagrange-Multiplikator. |
Hey,
also ich weißt leider gar nicht, was ich machen muss. Ich hab erstmal grad f*(x,y,z) gerechnet, dann hätte ich doch meine Richtungsableitung, welche ich maximieren muss, oder? Dann würde ich davon den Gradienten bestimmen. Als Nebenbedinung würde mir nur einfallen, dass v die Länge 1 hat. Komme damit aber nicht so ganz weiter.
Hat einer noch eine andere Nebenbedingung?
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Hallo engels,
> Fur welchen Vektor v [mm]\in R^{3}[/mm] mit [mm]\parallel[/mm] v [mm]\parallel[/mm] =
> 1 ist die Richtungsableitung von
> f(x; y; z) = [mm]x^{2}[/mm] + y - [mm]z^{2}[/mm] im Punkt (1; 1; 1) am
> größten?
>
>
> Betrachten Sie hierzu die Richtungsableitung [mm]\bruch{df}{dv}[/mm]
> = grad f * v, und bestimmen Sie die
> Extremwerte unter Nebenbedingung mittels
> Lagrange-Multiplikator.
> Hey,
>
> also ich weißt leider gar nicht, was ich machen muss. Ich
> hab erstmal grad f*(x,y,z) gerechnet, dann hätte ich doch
> meine Richtungsableitung, welche ich maximieren muss, oder?
> Dann würde ich davon den Gradienten bestimmen. Als
> Nebenbedinung würde mir nur einfallen, dass v die Länge 1
> hat. Komme damit aber nicht so ganz weiter.
>
> Hat einer noch eine andere Nebenbedingung?
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 02.06.2011 | | Autor: | engels |
Richtungsableitung:
grad f*v = [mm] \vektor{2x \\ 1 \\ -2z} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] 2x^{2} [/mm] + y [mm] -2z^{2} [/mm]
Diesen Term muss ich doch nun unter der Nebenbedingung:
[mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 [/mm] maximieren oder?
Ich würde dazu den Gradienten von der Richtungsableitung gleich dem Vielfachen des Gradienten der Nebenbedinung setzen, also:
[mm] \vektor{4x \\ 1 \\ -4z} [/mm] = [mm] \alpha*\vektor{2x \\ 2y \\ 2z}
[/mm]
setzen. Ist das so richtig?
Wie überprüfe ich dann die möglichen Extremstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Do 02.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Richtungsableitung:
>
> grad f*v = [mm]\vektor{2x \\ 1 \\ -2z}[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] =
> [mm]2x^{2}[/mm] + y [mm]-2z^{2}[/mm]
>
> Diesen Term muss ich doch nun unter der Nebenbedingung:
> [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1[/mm] maximieren oder?
Ja
>
> Ich würde dazu den Gradienten von der Richtungsableitung
> gleich dem Vielfachen des Gradienten der Nebenbedinung
> setzen, also:
>
> [mm]\vektor{4x \\ 1 \\ -4z}[/mm] = [mm]\alpha*\vektor{2x \\ 2y \\ 2z}[/mm]
>
> setzen. Ist das so richtig?
nein. Was machst Du da ?
Tipp war doch: Lagrange-Mult.
FRED
>
> Wie überprüfe ich dann die möglichen Extremstellen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 02.06.2011 | | Autor: | engels |
Aber genau das tue ich doch, bzw. gedenke ich zu tun. Wir haben uns die Lagrange-Mult. so vermerkt:
Gradient der maximierenden Funk. = [mm] \alpha [/mm] * Gradient der Nebenbedinung
Genau das habe ich doch getan, oder? Das entstehende Gleichungssystem muss ich dann mit der Nebenbedinung lösen oder?
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Hallo engels,
> Aber genau das tue ich doch, bzw. gedenke ich zu tun. Wir
> haben uns die Lagrange-Mult. so vermerkt:
>
> Gradient der maximierenden Funk. = [mm]\alpha[/mm] * Gradient der
> Nebenbedinung
Die maximierende Funktion stimmt nicht.
Hier ist der Gradient von f an (1,1,1) als Konstante zu nehmen.
>
> Genau das habe ich doch getan, oder? Das entstehende
> Gleichungssystem muss ich dann mit der Nebenbedinung lösen
> oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Do 02.06.2011 | | Autor: | engels |
Ok, die richtigen Extremstellen habe ich nun raus, nur wie kann ich die überprüfen? Da hängt es noch bei mir.
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Hallo engels,
> Ok, die richtigen Extremstellen habe ich nun raus, nur wie
> kann ich die überprüfen? Da hängt es noch bei mir.
Setze die Extremstellen in die Zielfunktion ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Di 07.06.2011 | | Autor: | math_ |
Noch eine kurze Nachfrage bezüglich der Nebenbedingung, da ich gerade am lernen bin und diese Aufgabe gerade passend kommt.
Stellt man dann folgende Gleichung auf?
[mm] h(x,y,z,\lambda) [/mm] = f(x,y,z) - [mm] \lambda*g(x,y,z)
[/mm]
Und sei f(x,y,z) = 2*x + y - [mm] 2*z^2 [/mm] und g(x,y,z) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] -1 = 0
Wenn ich alles richtig verstanden habe, rechne ich dann ja mit [mm] h(x,y,z,\lambda) [/mm] weiter und stelle dann meine vier Gleichungen [mm] h_x, h_y, h_z, h_{\lambda} [/mm] auf?
PS: entschuldigt die schlechte Formartierung, ich bin neu hier, beim nächsten Post meinerseits werde ich mir entsprechende Mühe geben ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Noch eine kurze Nachfrage bezüglich der Nebenbedingung, da
> ich gerade am lernen bin und diese Aufgabe gerade passend
> kommt.
>
> Stellt man dann folgende Gleichung auf?
>
> [mm]h(x,y,z,\lambda)[/mm] = f(x,y,z) - [mm]\lambda*g(x,y,z)[/mm]
>
> Und sei f(x,y,z) = 2*x + y - [mm]2*z^2[/mm] und g(x,y,z) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
> + [mm]z^2[/mm] -1 = 0
>
> Wenn ich alles richtig verstanden habe, rechne ich dann ja
> mit [mm]h(x,y,z,\lambda)[/mm] weiter und stelle dann meine vier
> Gleichungen [mm]h_x, h_y, h_z, h_{\lambda}[/mm] auf?
Ja
FRED
>
> PS: entschuldigt die schlechte Formartierung, ich bin neu
> hier, beim nächsten Post meinerseits werde ich mir
> entsprechende Mühe geben ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Di 07.06.2011 | | Autor: | math_ |
Erstmal danke :)
Leider habe ich doch noch einige Probleme. Meine Hilfsfunktionen sehen so aus:
[mm] h_x [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow 2-2x\lambda=0 \Leftrightarrow x\lambda=1
[/mm]
[mm] h_y [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow 1-2y\lambda=0 \Leftrightarrow y\lambda=1/2
[/mm]
[mm] h_z [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow 4z-2z\lambda=0 \Leftrightarrow z*(2-\lambda)=0
[/mm]
[mm] h_{\lambda} [/mm] = [mm] -x^2-y^2-z^2+1=0
[/mm]
Stimmen diese?
Ansonsten habe ich mir [mm] h_z [/mm] angesehen und [mm] \lambda [/mm] = 2 und z = 0 raus. Nun in [mm] h_x [/mm] und [mm] h_y [/mm] eingesetzt und x = 1/2 und y = 1/4 bekommen. Ergibt leider in [mm] h_{\lambda} [/mm] einen Widerspruch :/
Analog für z = 0, aber auch dort komme ich auf einen Widerspruch.
Was mache ich falsch oder wo sitzt mein Denkfehler?
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Hallo math_,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Erstmal danke :)
>
> Leider habe ich doch noch einige Probleme. Meine
> Hilfsfunktionen sehen so aus:
>
> [mm]h_x[/mm] = 0 [mm]\Leftrightarrow 2-2x\lambda=0 \Leftrightarrow x\lambda=1[/mm]
>
> [mm]h_y[/mm] = 0 [mm]\Leftrightarrow 1-2y\lambda=0 \Leftrightarrow y\lambda=1/2[/mm]
>
> [mm]h_z[/mm] = 0 [mm]\Leftrightarrow 4z-2z\lambda=0 \Leftrightarrow z*(2-\lambda)=0[/mm]
>
> [mm]h_{\lambda}[/mm] = [mm]-x^2-y^2-z^2+1=0[/mm]
>
> Stimmen diese?
>
> Ansonsten habe ich mir [mm]h_z[/mm] angesehen und [mm]\lambda[/mm] = 2 und z
> = 0 raus. Nun in [mm]h_x[/mm] und [mm]h_y[/mm] eingesetzt und x = 1/2 und y =
> 1/4 bekommen. Ergibt leider in [mm]h_{\lambda}[/mm] einen
> Widerspruch :/
>
> Analog für z = 0, aber auch dort komme ich auf einen
> Widerspruch.
>
> Was mache ich falsch oder wo sitzt mein Denkfehler?
Die Funktion f(x,y,z) muß doch lauten: [mm]f\left(x,y,z\right)=2*x+y-2*\blue{z}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Di 07.06.2011 | | Autor: | math_ |
Hallo MathePower,
leider bin jetzt total verwirrt. Bei mir sieht die Funktion f(x,y,z) anders aus, siehe auch mein Post zuvor (der von Fred beantwortet wurde).
Vlt kannst du mir noch einen zusätzlichen Tipp geben und mir auf die Sprünge helfen :)
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Hallo math_,
> Hallo MathePower,
>
> leider bin jetzt total verwirrt. Bei mir sieht die Funktion
> f(x,y,z) anders aus, siehe auch mein Post zuvor (der von
> Fred beantwortet wurde).
>
> Vlt kannst du mir noch einen zusätzlichen Tipp geben und
> mir auf die Sprünge helfen :)
Bei dieser Gleichung
[mm]h_z = 0 \Leftrightarrow 4z-2z\lambda=0 \Leftrightarrow z\cdot{}(2-\lambda)=0[/mm]
hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]h_z = 0 \Leftrightarrow \blue{-}4z-2z\lambda=0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Mi 08.06.2011 | | Autor: | math_ |
Vielen Dank :)
Jetzt geht die Rechnng endlich auf, an dem Minus lag es, dass ich mich dauernd verrechnet habe.
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