maximales Ideal < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 So 05.02.2006 | | Autor: | jennyf |
| Aufgabe | | Es sei [mm] R\not= \{0\} [/mm] ein kommutativer Ring mit Einselement. In jedem (ring-) homomorphen Bild f(R) sei jedes Element [mm] \not= [/mm] 0 eine Einheit. Zz.: Jedes Primideal in R ist auch ein maximales Ideal |
Ich weiß ja, dadurch das alle Elemente in f(R) eine Einheit sind, dass f(R)ein Körper ist. Wie komme ich davon auf die Aussagen Primideal = maximales Ideal.
Kann ich einen Homomorphismus konstruieren mit f: a [mm] \mapsto [/mm] A [mm] \* [/mm] a, wobei a [mm] \in [/mm] R und A Ideal in R. Dann wäre f(R) = R/A ein Körper, aber nur wenn jedes Element in R/A eine Einheit ist und dass ist glaube ich nicht der Fall.Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
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Hallo und guten Morgen,
also betrachten wir ein Primideal p in R, d.h. aus [mm] xy\in [/mm] p folgt stets, dass schon [mm] x\in [/mm] p
oder [mm] y\in [/mm] p gilt.
Zu zeigen: p ist maximal. Annahme: [mm] p\subset\neq I\subsetneq [/mm] R, I ein weiteres Ideal.
Wir betrachten den Ringhomomorphismus
[mm] R\to I\slash [/mm] p
definiert durch [mm] x\mapsto [/mm] 0 fuer [mm] x\in R\setminus [/mm] I, [mm] x\mapsto [/mm] x fuer [mm] x\in [/mm] I und dann die
Quotientenabb. hinterher.
Wenn [mm] p\susetneq [/mm] I, so ist also [mm] I\slash p\not\cong \{0\}, [/mm] also hat jedes Element [mm] \neq [/mm] 0 Inverse.
Betrachte [mm] i\in I\setminus [/mm] p, das Bild von i unter dem Homom. hat also ein Inverses
[mm] j\in I\setminus [/mm] p
mit ij=0 in [mm] I\slash [/mm] p, was nichts anderes heisst als [mm] ij\in [/mm] p (in R).
Da p Primideal, folgt, dass mindestens eines von i, j in p liegt, Widerspruch.
Hoffe, es stimmt.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mo 06.02.2006 | | Autor: | jennyf |
Was genau meinst du mit der Quotientenabbildung hinterher?
Ich hab mir noch was ähnliches zu meinem Ansatz überlegt.
Und zwar:
Sei p Primideal => es ex. ein Integritätsring S mit einem Homomo. f,
f: R [mm] \to [/mm] S mit Kern f = p (Satz zu Primidealen)
=> es ex. ein pi mit pi: R [mm] \to [/mm] R/p und F: R/p [mm] \to [/mm] S mit F [mm] \circ [/mm] pi = f
Es gilt nach 1: ISomo.-Satz: R/Kern f isomorph zu f(R) und da Kern f = p
=> R/p isomorh zu f(R)
=> da f(R) Körper muss auch R/p ein Körper sein
=> nach Def. max Ideale p ist max. Ideal.
ISt das auch eine Möglichkeit? Wenn nein, wo liegt mein Fehler?
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Hallo und guten Morgen,
das sollte stimmen, die Kurzform davon ist in der Antwort von DerHein zu finden.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mo 06.02.2006 | | Autor: | DerHein |
Beweis: Sei [mm] $\mathfrak{p} \subset [/mm] R$ ein Primideal. Betrachte
[mm] $\pi: [/mm] R [mm] \rightarrow [/mm] R/ [mm] \mathfrak{p}$. [/mm] Da [mm] $\pi$ [/mm] surj. und nach Vor.
ist $R/ [mm] \mathfrak{p}$ [/mm] ein Körper. Das ist aber Äq. dazu das
[mm] $\mathfrak{p}$ [/mm] maximal ist.
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