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| Aufgabe | Bestimme max und min der Funktion:
[mm] g(x,y,z):=x^2-y^2+z [/mm] unter der Nebenbedingung:
[mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] |
Hallo,
Also ich habe den Gradienten berechnet:
grad [mm] L(x,y,z,\lambda)=(2*x-\lambda*2*x, -2*y-2*y*\lambda,1-2*z*\lambda,-x^2-y^2-z^2+1)
[/mm]
Jetzt habe ich das LGS gelöst und bekomme für [mm] \lambda=-1:(0,\wurzel{3}/2,-0.5) [/mm] und [mm] (0,-\wurzel{3} [/mm] /2,-0.5) und für [mm] \lambda=1 [/mm] bekomme ich [mm] (\wurzel{3}/2,0,0.5) [/mm] und [mm] (-\wurzel{3}/2,0,0.5) [/mm] heraus aber wie weiß man jetzt ob es sich um einen Hoch/Tief -punkt handelt.wenn die ergebnisse so überhaupt schonmal stimmen?
Ich hoffe jemand macht sich die Mühe und hilft mir.Danke
LG eva marie
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Hallo eva-marie230,
> Bestimme max und min der Funktion:
> [mm]g(x,y,z):=x^2-y^2+z[/mm] unter der Nebenbedingung:
> [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm]
> Hallo,
>
> Also ich habe den Gradienten berechnet:
>
> grad [mm]L(x,y,z,\lambda)=(2*x-\lambda*2*x, -2*y-2*y*\lambda,1-2*z*\lambda,-x^2-y^2-z^2+1)[/mm]
>
> Jetzt habe ich das LGS gelöst und bekomme für
> [mm]\lambda=-1:(0,\wurzel{3}/2,-0.5)[/mm] und [mm](0,-\wurzel{3}[/mm]
> /2,-0.5) und für [mm]\lambda=1[/mm] bekomme ich [mm](\wurzel{3}/2,0,0.5)[/mm]
> und [mm](-\wurzel{3}/2,0,0.5)[/mm] heraus aber wie weiß man jetzt ob
> es sich um einen Hoch/Tief -punkt handelt.wenn die
> ergebnisse so überhaupt schonmal stimmen?
Es gibt noch zwei weitere Lösungen.
> Ich hoffe jemand macht sich die Mühe und hilft mir.Danke
Berechne doch einfach die Funktionswerte an den entsprechenden Stellen.
>
> LG eva marie
>
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower!
Vielen Dank für deine Hilfe.Wo genau habe ich mich vertan,ich find es nämlich irgendwie nicht,schon bei dem Gradienten oder bei den kritischen Stellen?
LG eva marie
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Hallo eva-marie230,
> Hallo Mathepower!
>
> Vielen Dank für deine Hilfe.Wo genau habe ich mich
> vertan,ich find es nämlich irgendwie nicht,schon bei dem
> Gradienten oder bei den kritischen Stellen?
Du hast Dich nirgends vertan.
Deine 4 Lösungen stimmen.
Es gibt aber noch zwei weitere Lösungen.
>
> LG eva marie
Gruß
MathePower
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Hallo nochmal;)
Danke.Ich habe jetzt noch die Punkte für [mm] \lambda=-1/2, [/mm] (0,0,1) und für [mm] \lambda=1/2 [/mm] (0,0,-1) gefunden aber jetzt bin ich mir noch nicht ganz sicher in welche Funktion ich die Werte nun einsetzen muss.Normalerweise haben wir das mit der Hesse-Matrix gemacht und geschaut wie sie definit ist aber hier hat man sowas ja nicht.Muss ich das jetzt in die Ausgangsgleichung oder in [mm] L(x,y,z,\lambda)=x^2-y^2+z-\lambda*x^2-\lambda*y^2-\lambda*z^2+\lambda [/mm] einsetzen oder muss ich sogar noch die 2.Ableitung bilden?
Dankeschön
LG eva marie
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Hallo eva-marie230,
> Hallo nochmal;)
>
> Danke.Ich habe jetzt noch die Punkte für [mm]\lambda=-1/2,[/mm]
> (0,0,1) und für [mm]\lambda=1/2[/mm] (0,0,-1) gefunden aber jetzt
[mm] \lambda=-\bruch{1}{2}: \left(0,0,-1\right)[/mm]
[mm] \lambda=+\bruch{1}{2}: \left(0,0,+1\right)[/mm]
> bin ich mir noch nicht ganz sicher in welche Funktion ich
> die Werte nun einsetzen muss.Normalerweise haben wir das
> mit der Hesse-Matrix gemacht und geschaut wie sie definit
> ist aber hier hat man sowas ja nicht.Muss ich das jetzt in
> die Ausgangsgleichung oder in
> [mm]L(x,y,z,\lambda)=x^2-y^2+z-\lambda*x^2-\lambda*y^2-\lambda*z^2+\lambda[/mm]
> einsetzen oder muss ich sogar noch die 2.Ableitung bilden?
Hmm. Wie man prüfen kann, ob hier ein Maxima oder Minima vorliegt, kann ich nicht sagen. Geschweige denn, wie man auf diese Bedingung kommt.
Du kannst ja mal versuchen, eine Parameterdarstellung der Nebenbedingung zu finden, und diese dann in [mm]g\left(x,y,z\right)[/mm] einsetzen.
Gruß
MathePower
>
> Dankeschön
> LG eva marie
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