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hallo hab hier ein kleines problem und ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
es soll der maximale umsatz ermittelt werden. steigt der preis, so kaufen die
kunden weniger; senkt man den preis, so kaufen die kunden mehr.
bei einen preis von 100 werden 10000 stück verkauft
bei 1 mehr werden 100 st. weniger verkauft => 101 = 9900 stück
bei 1 weniger werden 100 st. mehr verkauft => 99 = 10100 stück
99 * 10100 st = 999900
100 * 10000 st = 1000000 max. umsatz
101 * 9900 st = 999900
wie gehe ich nun am einfachsten vor wenn ich einen anderen ausgangspunkt habe?
zb.
100 = 9700 stück ?
o.
100 = 10600 stück ?
(wieder mit +1 = -100 st o. -1 = +100 st)
weil ich mir nicht anders zu helfen wusste, hab ich bis jetzt immer die einzelnen
beträge multipliziert bis ich den max. umsatz hatte...
gibt es da nen einfacheren weg, der nicht ganz so aufwändig ist  ?
danke mathias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Cool-Y |
Hallo Matthias,
Der Umsatz u ist gleich der verkauften Stückzahl n multipliziert mit dem Preis pro Stück p: u=n*p.
Nun will ich eine Funktion n(p), die mir für einen Preis p den Wert n(p) liefert, die Anzahl der Stücke, die gekauft werden.
Weil n(p) immer um 100 größer wird, wenn ich p um 1 verringere, handelt es sich um eine lineare Funktion, also: n(p)=m*p+c.
Nun sammelt man das, was man über die Funktion weiß:
n(p)=m*p+c
n(100)=10000 [mm] \gdw [/mm] m*100+c=10000 [mm] \gdw [/mm] c=10000-100*m
n(p+1)=n(p)-100 [mm] \gdw [/mm] m*(p+1)+c=m*p+c-100 [mm] \gdw [/mm] m*(p+1)=m*p-100 [mm] \gdw [/mm] m=-100
[mm] \gdw [/mm] n(p)=-100*p+20000 (man hätte dies auch mit der Punkt-Steigungsform erreichen können).
Dies kann man jetzt oben einsetzen:
[mm] u=(-100*p+20000)*p=-100*p^{2}+20000*p
[/mm]
[mm] u(p)=-100*p^{2}+20000*p
[/mm]
Da ich nicht weiß, ob du Differenzielrechnung kennst, mach ich mal ohne weiter:
Nun sieht man(man könnte sich einmal ein Schaubild zeichnen, mit einer p-Achse und einer u-Achse), dass es sich bei u(p) um eine nach unten geöffnete Parabel handelt. Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt dieser Parabel. Jetzt muss man nur noch herausfinden, wo dieser Scheitelpunkt ist.
Das geht mit dieser Formel:
"Der Scheitelpunkt einer Parabel mit [mm] y=ax^{2}+bx+c [/mm] ist bei [mm] x=-\bruch{b}{2a}."
[/mm]
Also bei uns:
[mm] p_{Max}=-\bruch{20000}{2*-100}=\bruch{20000}{200}=100.
[/mm]
Also bekommt man bei einem Stückpreis von 100 den maximalen Umsatz und zwar 1000000.
Nun das ganze, wenn bei einem Preis von 100 k Stücke verkauft werden:
n(p)=m*p+c
n(100)=k [mm] \gdw [/mm] m*100+c=k [mm] \gdw [/mm] c=k-100*m
n(p+1)=n(p)-100 [mm] \gdw [/mm] m*(p+1)+c=m*p+c-100 [mm] \gdw [/mm] m*(p+1)=m*p-100 [mm] \gdw [/mm] m=-100 [mm] \gdw [/mm] c=k+10000
Dann wäre die Umsatzfunktion [mm] u(p)=(-100*p+(k+10000))*p=-100*p^{2}+(k+10000)*p [/mm] und damit [mm] p_{max}=-\bruch{k+10000}{2*-100}=\bruch{k+10000}{200}=\bruch{k}{200}+50.
[/mm]
Also bekommt man bei einem Stückpreis von [mm] (\bruch{k}{200}+50) [/mm] den maximalen Umsatz, nämlich ((0.5*k+5000)*(0.005*k+50)).
Das wär für deine Beispiele:
k=9700
[mm] p_{Max}=98.5
[/mm]
[mm] u_{Max}=970225
[/mm]
k=10600
[mm] p_{Max}=103
[/mm]
[mm] u_{Max}=1060900
[/mm]
Wenn jetzt noch irgendwelche Unklarheiten entstehen, frag einfach nochmal nach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Mathias_Z |
herzlichen dank! da wär ich nie draufgekommen...
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