mech.System->allg.Eigenwertpr. < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Fr 18.04.2008 | | Autor: | eric84 |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe und komme dabei leider nicht weiter:
Ich habe ein Feder-Masse-System und habe die DGl's aufgestellt:
[mm] m_{1}\*q_{1}''=-k_{1}\*(q_{1}-q_{2})
[/mm]
[mm] m_{2}\*q_{2}''=k_{1}\*(q_{1}-q_{2})-k_{2}\*(q_{2}-q_{3})
[/mm]
[mm] m_{3}\*q_{3}''=k_{2}\*(q_{2}-q_{3})
[/mm]
In Matrixform würde dies so aussehen:
[mm] \pmat{ m_{1} & 0 & 0 \\ 0 & m_{2} & 0 \\ 0 & 0 & m_{3} }\*\vektor{q_{1}'' \\ q_{2}'' \\ q_{3}''}+\pmat{ k_{1} & -k_{1} & 0 \\ -k_{1} & k_{1}+k_{2} & -k_{2} \\ 0 & -k_{2} & k_{2} }\*\vektor{q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3}}=0
[/mm]
So nun zum eigentlichen Problem.
Ich soll diese Matrixform mit Hilfe des Lösungsansatzes
[mm] q(t)=q_{Dach}\*e^{wt}
[/mm]
, indem ich diese in die Bewegungs-DGL einsetze, auf die Form des allgemeinen Eigenwertproblems bringen
[mm] A*x=\lambda*B*x
[/mm]
Außerdem soll ich eine geeignete Substitution für omega finden.
Bei diesen beiden Aufgaben hänge ich jedoch. Selbst wenn ich q(t) zweimal ableite, und dann beides in die DGL einsetze, weiß ich nicht, wie ich auf die Form kommen soll.
Kann mir jemand von euch hier weiterhelfen?
Wäre super!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=100659
viele Grüße
Eric
|
|
| |
|
Hallo Eric!
> Hallo!
> Ich habe folgende Aufgabe und komme dabei leider nicht
> weiter:
>
> Ich habe ein Feder-Masse-System und habe die DGl's
> aufgestellt:
> [mm]m_{1}\*q_{1}''=-k_{1}\*(q_{1}-q_{2})[/mm]
> [mm]m_{2}\*q_{2}''=k_{1}\*(q_{1}-q_{2})-k_{2}\*(q_{2}-q_{3})[/mm]
> [mm]m_{3}\*q_{3}''=k_{2}\*(q_{2}-q_{3})[/mm]
>
> In Matrixform würde dies so aussehen:
> [mm]\pmat{ m_{1} & 0 & 0 \\ 0 & m_{2} & 0 \\ 0 & 0 & m_{3} }\*\vektor{q_{1}'' \\ q_{2}'' \\ q_{3}''}+\pmat{ k_{1} & -k_{1} & 0 \\ -k_{1} & k_{1}+k_{2} & -k_{2} \\ 0 & -k_{2} & k_{2} }\*\vektor{q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3}}[/mm]
>
> So nun zum eigentlichen Problem.
>
> Ich soll diese Matrixform mit Hilfe des Lösungsansatzes
> [mm]q(t)=q_{Dach}\*e^{wt}[/mm]
Ich kenne normalerweise den Ansatz mit e^(-i*w*t), und dann ein reeles w, alternativ könnte man natürlich auch w als imaginär ansehen dann passt es, am Beispiel selbst ändert es wenig, aber mit dem -i drinnen sieht man halt dass man eine oszillierende Lösung kriegt, ziemlich feine Sache.
[mm]q(t)=q_{Dach}\*e^{-i w t}[/mm]
> , indem ich diese in die Bewegungs-DGL einsetze, auf die
> Form des allgemeinen Eigenwertproblems bringen
> [mm]A*x=\lambda*B*x[/mm]
>
>
> Außerdem soll ich eine geeignete Substitution für omega
> finden.
>
> Bei diesen beiden Aufgaben hänge ich jedoch. Selbst wenn
> ich q(t) zweimal ableite, und dann beides in die DGL
> einsetze, weiß ich nicht, wie ich auf die Form kommen
> soll.
Also, es ist genau richtig, du leitest q(t) 2mal ab, was darauf zu führen ist, dass [mm] q''(t)=w^2*q(t), [/mm] das kannst du dann ganz einfach einsetzen und dann müsstest du schon deine Matrix haben, an der du das Eigenwertproblem lösen kannst.
Also:
[mm]\pmat{ w^2*m_{1} & 0 & 0 \\ 0 & w^2*m_{2} & 0 \\ 0 & 0 & w^2*m_{3} }\*\vektor{q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3}}=- \pmat{ k_{1} & -k_{1} & 0 \\ -k_{1} & k_{1}+k_{2} & -k_{2} \\ 0 & -k_{2} & k_{2} }\*\vektor{q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3}}=0[/mm]
>
> Kann mir jemand von euch hier weiterhelfen?
Hoffentlich konnte ich weiterhelfen!
Grüße,
Plantronics
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Sa 19.04.2008 | | Autor: | eric84 |
Hallo!
Erstmal danke für deine Antwort! 
Ich könnte die Matrizen doch dann auch so schreiben, oder?
Dann wäre die Massen-Matrix meine B-Matrix und die Federkonstanten-Matrix meine A-Matrix. Ist dann mein [mm] w^2= \lambda [/mm] ?
$ [mm] w^2\*\pmat{ m_{1} & 0 & 0 \\ 0 & m_{2} & 0 \\ 0 & 0 & m_{3} }*\vektor{q_{1} \\ q_{2}\\ q_{3}}=-\pmat{ k_{1} & -k_{1} & 0 \\ -k_{1} & k_{1}+k_{2} & -k_{2} \\ 0 & -k_{2} & k_{2} }*\vektor{q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3}} [/mm] $
Außerdem muss ich für w eine geeignete Substitution finden. Denn nach Berechnen der Eigenwerte, soll ich durch Rücksubstitution wieder auf die mechanischen Eigenwerte kommen.
Oder ist [mm] w^2= \lambda [/mm] schon meine Substitution? Käme mir etwas einfach vor?
Gruß
Eric
PS: Habe übrigens im matheplanet auch schon ein paar Hilfestellungen zu diesem Thema bekommen, bzw. habe dort eine Diskussion über mein Problem laufen.
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=101266
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo eric84,
Du hast ja augenscheinlich die Diskussion im Matheplanet zu Ende geführt, damit ist diese Frage ja dann auch beantwortet.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
