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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Sa 03.11.2007 | | Autor: | eddifix |
Hallo Leute, ich hab ein kleines problem mit einer aufgabe:
Bei der Nr. 3.1
mein ansatz ist.
[mm] (1.01m_{0}-w*t)*a=m_{0}*g-(1.01m_{0}-wt)*g
[/mm]
==> a(t)= [mm] m_{0}/(1.01m_{0}-wt)-g
[/mm]
mit w = 0,02kg/86400s
ist dieser ansatz richtig? a ist die Beschleunigung, die der Eimer erhält.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Blatt3_WS07
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Sa 03.11.2007 | | Autor: | eddifix |
Hi bzw. wie geht man den an das prblem ran?
:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bei der Nr. 3.1
> mein ansatz ist.
> [mm](1.01m_{0}-w*t)*a=m_{0}*g-(1.01m_{0}-wt)*g[/mm]
>
> ==> a(t)= [mm]m_{0}/(1.01m_{0}-wt)-g[/mm]
Da ist dir beim Auflösen ein Fehler unterlaufen, denn der erste Term rechts ist dimensionslos.
Richtig aufgelöst: [mm]\bruch{m_0}{1.01m_0-wt} g -g = g \left(\bruch{m_0}{1.01m_0-wt} -1\right)[/mm].
> mit w = 0,02kg/86400s
>
> ist dieser ansatz richtig? a ist die Beschleunigung, die
> der Eimer erhält.
Du hast die Masse in Abhängigkeit von der Zeit korrekt angesetzt: [mm]m_{\text{Eimer}}(t)= 1.01m_{0}-w*t[/mm], ebenso die Gewichtskraft als [mm]m_0*g - m_{\text{Eimer}}(t)*g [/mm].
Es ist ein Missverständnis, dass Kraft gleich (träge) Masse mal Beschleunigung ist. Das trifft nur zu, wenn sich die Masse nicht ändert. Korrekt ist:
[mm]F = \bruch{d}{dt} (m*v) = \bruch{dm}{dt}*v + m* \bruch{dv}{dt}[/mm].
In deinem Fall ist die zeitliche Ableitung der Masse gerade [mm]-w[/mm].
Erst im zweiten Teil der Aufgabe sollst du die Änderung der Masse vernachlässigen, aber erst nachdem du im ersten Teil ausgerechnet hast, das der Beitrag gering ist.
Du hast aber auch nicht berücksichtigt, dass der Eimer fest auf der Erde steht. Eine resultierende Kraft, die ihn nach unten zieht, führt nicht zu einer Bewegung, die Beschleunigung bleit 0. Erst wenn die Kraft nach oben zeigt, wird der Eimer beschleunigt.
Du hast also:
[mm] -w*v(t) + m_{\text{Eimer}}(t) * \bruch{dv(t)}{dt} = \begin{cases} 0 & \text { für $m_{\text{Eimer}}(t) \ge m_0 $}\\ m_0*g - m_{\text{Eimer}}(t)*g & \text{ für $m_{\text{Eimer}}(t) < m_0 $}\end{cases}[/mm].
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Sa 03.11.2007 | | Autor: | eddifix |
Hi
okay das ist wirklich gut
aber ich erhalte ja jetzt eine total komplizierte DGL.
mein ziehl ist doch s(t) zu ermitteln oder?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> aber ich erhalte ja jetzt eine total komplizierte DGL.
Das ist doch eine einfache lineare DGL. Du musst natürlich die beiden Bereiche getrennt betrachten. Der Punkt, an dem die beiden Teile aneinander angeschlossen werden, ist doch einfach auszurechnen, nämlich wann?
> mein ziehl ist doch s(t) zu ermitteln oder?
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:48 Sa 03.11.2007 | | Autor: | eddifix |
hi
ja das sieht zwar einfach aus aber iwie doch nicht
im ersten schritt für [mm] m_{e} [/mm] > [mm] m_{0}
[/mm]
erhalte ich als lösung für v:
v(t)= [mm] 1/(1.01m_{0}-wt)
[/mm]
aber das ist ja total falsch wegen den einheiten schon mal
kann mir jmd nochmal schritt für schritt erklären wie man diese dgl hier löst?
bzw. wie man die integrationskonstanten bestimmt?
und ebenso die zweite dgl.
puhh ist das wirklich so eine schwere aufgabe?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Rainer hat angenommen, dass der Eimer am Anfang am Boden steht, in der Aufgabe schwebt er über dem Boden.
Welche Dgl. löst du denn für den ersten Teil? denk dran, dass [mm] m_0 [/mm] und [mm] m_e [/mm] beschleunigt werden!
Schreib mal deine 2 Dgl hin, und deinen Lösungsweg!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 03.11.2007 | | Autor: | eddifix |
hi
ok ... der eimer schwebt doch nicht? der steht doch aufm boden
also für die erste dgl.
v' [mm] -w/(m_{e})*v=0
[/mm]
v'/v = [mm] w/(1.01m_{0}-wt)
[/mm]
ln(v)= [mm] -ln(1.01m_{0}-wt) [/mm] --> wie wähle ich heir die integrationsgrenzen oder die integrationskonstante?
v = [mm] 1/(1.01m_{0}-wt)
[/mm]
wie löst man denn nun diese aufgabe .. ich hab allmählich schon keine lust mehr :(
trotzdem danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
auf dem Boden stehen heisst doch v=0, (ich hatte falsch gelesen und den Eimer in 0,5m Höhe am Anfang gesehen sorry)
warum willst du da ne Dgl lösen.
da v=0 kannst du auch nicht durch v dividieren! deine Dgl auf jeden Fall hat eine Lösung v=0
Gruss leduart> hi
> ok ... der eimer schwebt doch nicht? der steht doch aufm
> boden
> also für die erste dgl.
>
> v' [mm]-w/(m_{e})*v=0[/mm]
> v'/v = [mm]w/(1.01m_{0}-wt)[/mm]
> ln(v)= [mm]-ln(1.01m_{0}-wt)[/mm] --> wie wähle ich heir die
> integrationsgrenzen oder die integrationskonstante?
ln(v)= [mm]-ln(1.01m_{0}-wt)+C[/mm]
> v = [mm]c/(1.01m_{0}-wt)[/mm]
dann v(0)=0 folgt c=0 wenn du unbedingt ne Dgl lösen willst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 03.11.2007 | | Autor: | eddifix |
hi ja was soll ich dann tun?
soll ich die zweite gleichung lösen?
wie geht denn die aufgabe?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja die eigentliche Aufgabe fängt erst nach den 12 h an. Die sollst du lösen! also die nächsten 100 s betrachten!
Was heisst " wie geht denn die Aufgabe" Wir lösen hier grundsätzlich keine Aufgaben sondern geben Hilfe!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 03.11.2007 | | Autor: | eddifix |
hi ja sry, dass ich so allg. gefragt hab
also ich lös dann mal die zweite dgl. vom rainer und poste mal was ich da raushab.
muss ich dann die integrationsgrenzen bei 12h und 12h+100sec wählen?
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 03.11.2007 | | Autor: | eddifix |
bzw.
m(t)*v' - w*v [mm] =m_{0}g-m(t)*g [/mm] ist also die gl
ich muss sie in die form
v' + a(t)v=f(t) bringen
wenn ich nun aber durch m(t) teile, diviediere ich doch auch durch Null, wenn meine untere integrationsgrenze 12h ist? leider haben wir solche gl kaum gelöst, mir fehlt einfach die mathematische routine um das zu machen sry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> bzw.
> m(t)*v' - w*v [mm]=m_{0}g-m(t)*g[/mm] ist also die gl
> ich muss sie in die form
> v' + a(t)v=f(t) bringen
> wenn ich nun aber durch m(t) teile, diviediere ich doch
> auch durch Null, wenn meine untere integrationsgrenze 12h
> ist?
Da hast du aber nicht aufgepasst! Der Eimer hat doch nicht die Masse 0! Zum Zeitpunkt t=12h hat er genau die Masse 1kg. Nur die Differenz [mm]m_0-m(t)[/mm] ist zu diesem Zeitpunkt 0, aber durch die dividierst du nicht.
Du hast also
[mm]v' -\bruch{w}{m(t)}v = \left(\bruch{m_0}{m(t)} -1\right)g[/mm].
Das ist eine inhomogene DGL; du musst erst die homogene DGL lösen und dann eine Lösung der inhomogenen DGL finden und draufaddieren.
Die homogene hast du ja schon vorher gelöst. Um die Sache einfacher zu machen, kannst du den Nullpunkt der Zeitachse um 12h verschieben. Du hast ja: [mm]m(t) = 1.01m_0-wt[/mm] und [mm]m(t=12\mathrm{h}) = m_0[/mm]. Du startest also mit der Masse [mm]m_0[/mm]. Die Rechnung ist ein klein bischen einfacher, weil du nicht dauernd die 12h mitschleppen musst.
Wenn du jetzt die Verschiebung [mm]t\rightarrow t-12\mathrm{h}[/mm] machst, änderst du nichts an der DGL, du musst nur die richtigen Werte einsetzen:
[mm]v' - \bruch{w}{m_0-wt}v = \left(\bruch{m_0}{m_0-wt} -1\right)g[/mm].
Deine Lösung der homogenen DGL war: [mm]v_h(t) = \bruch{C}{m_0-wt}[/mm].
Zur Lösung der inhomogenen DGL bietet sich die Methode der Variation der Konstanten an: du machst den Ansatz:
[mm]v_p(t) = K(t) \bruch{1}{m_0-wt}[/mm]
und setzt dies ein. Nach Kürzen aller Terme bleibt eine sehr einfache DGL für K(t) übrig, die du löst. Deine Lösung ist dann: [mm]v(t)=v_h(t)+v_p(t)[/mm]; an dieser Stelle setzt du die Anfangsbedingung v(0)=0 an (wir hatten die Zeitachse ja verschoben) und bestimmst so die Konstante C.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 04.11.2007 | | Autor: | eddifix |
Hi
ok ich hab die variation der konstanten nachvollzogen:
[mm] K(t)=1/2*g*w*t^2 [/mm] + K
K ist eine integrationsvariable
Ich dachte die lösung ist nun v(t)= [mm] K(t)*(1/(m_{0}-wt))
[/mm]
Warum soll sie denn v(t)= [mm] v(t)_{homogenelösung}+ v(t)_{inhomg.lösung} [/mm] sein?
Ich erhalte doch da zwei integrationskonstanten C und K?
Wäre nett wenn ich das auch noch erklärt bekomme ;)
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 04.11.2007 | | Autor: | eddifix |
Hi
um s zu bestimmen muss ich v(t) integrieren.
[mm] s(t)=0.5g*w*\integral_{}^{}{(t^2/(m_{0}-wt))dt}
[/mm]
mit Derive hab ich mal schnell
[mm] 0.5gw(-m_{0}^2*ln(wt-m_{0})/(w^3)-t^2/(2w)-m_{0}t/(w^2))+C
[/mm]
um C zu bestimmen muss ich s(0)=0 lösen
wenn ich nun aber für t=0 einsetze steht im ln:
[mm] ln(-m_{0})
[/mm]
Das macht doch aber keinen sinn (wegen der einheit und den minus)
hab ich iwas übersehen?
was mach ich nun?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 So 04.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> um s zu bestimmen muss ich v(t) integrieren.
> [mm]s(t)=0.5g*w*\integral_{}^{}{(t^2/(m_{0}-wt))dt}[/mm]
Geht auch als bestimmtes Integral:
[mm]s(t) = \bruch{gw}{2} \integral_{0}^{t} \bruch{\bar t^2}{m_{0}-w\bar t} d\bar t[/mm]
> mit Derive hab ich mal schnell
>
> [mm]0.5gw(-m_{0}^2*ln(wt-m_{0})/(w^3)-t^2/(2w)-m_{0}t/(w^2))+C[/mm]
Im Logarithmus steht der Betrag, also
[mm]\bruch{1}{2}gw(-m_{0}^2*\ln|wt-m_{0}|/(w^3)-t^2/(2w)-m_{0}t/(w^2))+C = \bruch{-gw}{2} \left(\bruch{m_{0}^2*\ln(m_0-wt)}{w^3}+\bruch{t^2}{2w}+\bruch{m_{0}t}{w^2}\right)+C [/mm]
Dann ist [mm]C= \bruch{gm_0^2 \ln m_0}{2w^2}[/mm] und du kannst die beiden Logarithmen zu einem zusammenziehen.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 So 04.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi
> ok ich hab die variation der konstanten nachvollzogen:
> [mm]K(t)=1/2*g*w*t^2[/mm] + K
> K ist eine integrationsvariable
Die brauchst du nicht. Du nimmst irgendeine Lösung der inhomogenen Gleichung, kannst K wählen, wie du willst.
> Ich dachte die lösung ist nun v(t)= [mm]K(t)*(1/(m_{0}-wt))[/mm]
Nein. Die Lösung einer inhomogenen linearen DGL ist immer die Summe der allgemeinen Lösung der homogenen DGL (mit freien Konstanten) und einer beliebigen Lösung der inhomogenen DGL (ohne freie Konstanten).
> Warum soll sie denn v(t)= [mm]v(t)_{homogenelösung}+ v(t)_{inhomg.lösung}[/mm]
> sein?
> Ich erhalte doch da zwei integrationskonstanten C und K?
Nein, wenn du beide mitnimmst steht da immer die Summe [mm]C+K[/mm], also hast du nur eine freie Konstante.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich denke, eine wichtige Erkenntnis bei dieser Aufgabe sollte sein, dass die ersten 12h gar nix passiert, bis der Eimer nicht mehr schwerer ist als das Gegengewicht.
Der zweite Punkt ist die korrekte Behandlung der nicht konstanten Masse.
So nebenbei: soweit ich weiß, hat Newton das auch gewusst, trotzdem nennt man häufig die vereinfachte Form "Newtonsches Gesetz".
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 So 04.11.2007 | | Autor: | eddifix |
Hi
also ok und wenn ich s bestimmt habe und 100sec eingesetzt habe kommt glaub ich 0.54m raus. das heißt die masse ist dann schon auf dem boden, weil der eimer auf 0.54m ansteigt.
ist das realistisch? bzw. so aus der aufgabenstellung hätte ich erwartet, dass die masse doch noch nach 100 sec nicht ganz auf dem boden ist ...
bei der b muss ich dann nur die dgl.
[mm] (m_{0}-wt)v' [/mm] = [mm] m_{0}g-(m_{0}-wt)g
[/mm]
lösen?
Ich hab das mal gemacht, die gleichungen vereinfachen sich aber nicht wirklich. die integrale bleiben unhandlich... ist das okay so?
Vieln Dank für die bisherige Mühe vor allem von rainer ;)
ohne euch hätt ich noch wochen dran rumgemacht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Mo 05.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also ok und wenn ich s bestimmt habe und 100sec eingesetzt
> habe kommt glaub ich 0.54m raus. das heißt die masse ist
> dann schon auf dem boden, weil der eimer auf 0.54m
> ansteigt.
Das tut er eben nicht, weil das Gegengewicht vorher den Boden erreicht und die Bewegung aufhört. Wenn deine Zahlen stimmen (hab ich jetzt nicht nachgerechnet), ist die korrekte Antwort: 0,5m.
Ich rechne es bei Gelegenheit nach.
> bei der b muss ich dann nur die dgl.
> [mm](m_{0}-wt)v'[/mm] = [mm]m_{0}g-(m_{0}-wt)g[/mm]
> lösen?
Ja, da kannst du direkt integrieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 05.11.2007 | | Autor: | eddifix |
Hi
okay ich hab jetzt alle gleichungen soweit und die konkretten aufgabenstellungen hab ich jetzt auch ausgerechnet. Nur!:
ich hab mal die fkt s(t) plotten lassen:
Funktionsplot
Man sieht die ist total unstetig und fluktuiert ganz wild
Für s(100) ergibt sich 0.54m
für s(99.9) = 0.38m
ein total absurdes ergebnis
was könnte bei der aufgabe falsch sein?
hat derive hier versagt?
mfg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Mo 05.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> okay ich hab jetzt alle gleichungen soweit und die
> konkretten aufgabenstellungen hab ich jetzt auch
> ausgerechnet. Nur!:
> ich hab mal die fkt s(t) plotten lassen:
> Funktionsplot
>
> Man sieht die ist total unstetig und fluktuiert ganz wild
> Für s(100) ergibt sich 0.54m
> für s(99.9) = 0.38m
> ein total absurdes ergebnis
> was könnte bei der aufgabe falsch sein?
> hat derive hier versagt?
Ja. Die drei Summanden sind viel größer als die Summe; wegen der endlichen Rechengenauigkeit kommt es zu diesen Fluktuationen.
Mit höherer Rechengenauigkeit kommt 37,8cm heraus. Teilaufgaben a) und b) unterscheiden sich dann erst in der sechsten signifikanten Stelle.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:43 Di 06.11.2007 | | Autor: | eddifix |
oh interessant und mit welchem programm bist du auf den eigentlichen wert gekommen?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Di 06.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> oh interessant und mit welchem programm bist du auf den
> eigentlichen wert gekommen?
Ich habe ![[]](/images/popup.gif) Maxima genommen, musste aber auch erst die Genaugkeit (Standard: 16 Stellen) erhöhen.
Es wundert mich, dass derive das nicht kann. Vermutlich musst du irgendwo die Rechengenauigkeit größer einstellen.
Viele Grüße
Rainer
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![[a]](uploads/forum/00320126/forum-i00320126-n001.jpg "Dateianhänge"){kind=small}
Funktionsplot