mehrdimensionale Normalverteil < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Tingala |
Y := [mm] (Y_1, [/mm] ..., [mm] Y_d), [/mm] wobei die [mm] Y_i [/mm] unabhängige und je standardnormalverteilte ZV sind.
Ich möchte zeigen, dass
[mm] E[e^{c * ||Y|| }] [/mm]
endlich ist für alle c > 0.
Hat jemand eine Idee, wie man das zeigen kann? Das wäre super!
(Meine Ideen waren Polarkoordinaten und Chi-Quadratverteilung, aber ich habe es nicht hinbekommen).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tingala,
hast du diese Aufgabe schon mal versucht zu lösen für d=1, also für die eindimensionale Normalverteilung?
Wenn du das Lösen kannst, dann ist das Umschreiben auf mehrere Dimensionen ein Kinderspiel.
Schreib doch mal deine Fortschritte in einer Dimension auf.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 21.10.2004 | | Autor: | Tingala |
Hallo Hugo_Sanchez-Vicario,
vielen Dank für Deine Antwort. Hier ist das, was ich zum eindimensionalen Fall habe:
Für d= 1 gilt:
[mm] E[e^{c * |Y| }] [/mm] = [mm] E[e^{c*Y} [/mm] * [mm] 1_{Y \ge 0}] [/mm] + [mm] E[e^{c*(-Y)} [/mm] * [mm] 1_{Y \le 0}] [/mm]
[mm] \le E[e^{c*Y}] [/mm] + [mm] E[e^{c*(-Y)}] [/mm]
= [mm] e^{ 0,5 * c^2} [/mm] + [mm] e^{ 0,5 * c^2}
[/mm]
mit Hilfe der Momenterzeugenden Funktion.
Aber wie kann ich damit höhere Dimensionen in den Griff kriegen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Do 21.10.2004 | | Autor: | Tingala |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Tingala!
> vielen Dank für Deine Antwort. Hier ist das, was ich zum
> eindimensionalen Fall habe:
>
> Für d= 1 gilt:
>
> [mm]E[e^{c * |Y| }][/mm] = [mm]E[e^{c*Y}[/mm] * [mm]1_{Y \ge 0}][/mm] + [mm]E[e^{c*(-Y)}[/mm] *
> [mm]1_{Y \le 0}][/mm]
>
> [mm]\le E\left[e^{c*Y}][/mm] + [mm]E[e^{c*(-Y)}\right][/mm]
>
> = [mm]e^{ 0,5 * c^2}[/mm] + [mm]e^{ 0,5 * c^2}
[/mm]
>
> mit Hilfe der Momenterzeugenden Funktion.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber wie kann ich damit höhere Dimensionen in den Griff
> kriegen?
Du kannst doch wie folgt abschätzen:
[mm] $\Vert [/mm] Y [mm] \Vert \le \sqrt{d} \cdot (\vert Y_1 \vert [/mm] + [mm] \vert Y_2 \vert [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \vert Y_d \vert)$
[/mm]
(Äquivalenz zwischen der [mm] $l_2$- [/mm] und der [mm] $l_1$-Norm).
[/mm]
Und nun rechnest du aus:
[mm] $E\left[ e^{c \cdot \Vert Y \Vert} \right] \le E\left[ e^{c \cdot \sqrt{d} \cdot (\vert Y_1 \vert + \vert Y_2 \vert + \ldots + \vert Y_d \vert)} \right]$.
[/mm]
Wegen der Unabhängigkeit steht rechts einfach das iterierte Integral über die jeweils eindimensionalen Gaußschen Kerne. Damit hast du alles auf den eindimensionalen Fall zurückgeführt.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Tingala |
Hallo Julius,
vielen Dank für Deine Antwort!
Auf die Idee, es mit der Äquivalenz von Normen zu probieren, war ich auch schon gekommen, aber auf die [mm] l_1 [/mm] Norm dummerweise nicht... Also vielen Dank, ist ja total einfach, wenn man mal weiß, wie es geht 
Viele Grüße,
Tingala
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