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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Sa 30.10.2010 | | Autor: | lilia25 |
| Aufgabe | Die Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes [mm] \IP [/mm] auf [mm] \mathcal{B}(\IR^{d}) [/mm] ist definiert als [mm] F_{\IP}(x_1,...,x_d)=\IP(]-\infty ;x_1],...,]-\infty,x_d]).
[/mm]
a) [mm] F_{\IP} [/mm] ist in jeder Komponente monoton wachsend
b) [mm] \IP [/mm] ist durch [mm] F_{\IP} [/mm] eindeutig bestimmt |
Hallo, zusammen!!
Die Aufgabe ist nicht besonders schwer, sollte genau so gehen wie im eindimensionalen Fall, aber ich kann das trotzdem nicht beweisen.
[mm] F_{\IP}(x_1,...,x_d)=\IP(]-\infty ;x_1],...,]-\infty,x_d])=\IP(\bigcap_{i=1}^{d}\{ \omega \in\Omega : X_i(\omega)\le x_i\})
[/mm]
Monoton wachsen ist [mm] F_{\IP}, [/mm] wenn für [mm] x,y\in\IR^d [/mm] mit [mm] x\le{y} [/mm] gilt [mm] F_{\IP}(x)\le F_{\IP}(y).
[/mm]
[mm] x\le{y} [/mm] heißt [mm] x_i\le{y_i} \forall{i=1, ... ,d}.
[/mm]
Ich verstehe nicht so ganz was genau heißt: in jeder Komponente.
Ich freue mich über eure Hilfe!!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Sa 30.10.2010 | | Autor: | lilia25 |
Kann mir denn keiner helfen????
Biiiitteee!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Sa 30.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes [mm]\IP[/mm]
> auf [mm]\mathcal{B}(\IR^{d})[/mm] ist definiert als
> [mm]F_{\IP}(x_1,...,x_d)=\IP(]-\infty ;x_1],...,]-\infty,x_d]).[/mm]
>
> a) [mm]F_{\IP}[/mm] ist in jeder Komponente monoton wachsend
> b) [mm]\IP[/mm] ist durch [mm]F_{\IP}[/mm] eindeutig bestimmt
>
> Hallo, zusammen!!
> Die Aufgabe ist nicht besonders schwer, sollte genau so
> gehen wie im eindimensionalen Fall, aber ich kann das
> trotzdem nicht beweisen.
> [mm]F_{\IP}(x_1,...,x_d)=\IP(]-\infty ;x_1],...,]-\infty,x_d])=\IP(\bigcap_{i=1}^{d}\{ \omega \in\Omega : X_i(\omega)\le x_i\})[/mm]
>
> Monoton wachsen ist [mm]F_{\IP},[/mm] wenn für [mm]x,y\in\IR^d[/mm] mit
> [mm]x\le{y}[/mm] gilt [mm]F_{\IP}(x)\le F_{\IP}(y).[/mm]
> [mm]x\le{y}[/mm] heißt
> [mm]x_i\le{y_i} \forall{i=1, ... ,d}.[/mm]
Genau.
> Ich verstehe nicht so
> ganz was genau heißt: in jeder Komponente.
Nun, das bedeutet: ist $x = [mm] (x_i)_i$ [/mm] und $y = [mm] (y_i)_i$ [/mm] mit [mm] $x_i [/mm] = [mm] y_i$ [/mm] fuer alle $i [mm] \neq [/mm] j$, und [mm] $x_j \le y_j$, [/mm] so gilt [mm] $F_{\IP}(x) \le F_{\IP}(y)$.
[/mm]
Aus der Monotonie in jeder Komponente folgt die "allgemeine" Monotonie, die du oben hingeschrieben hast, und umgekehrt.
Nur ist die Monotonie in jeder Komponente oft einfacher zu zeigen (bzw. man zeigt meist eh genau dies als Zwischenschritt, um die allgemeine Monotonie zu zeigen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Sa 30.10.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Felix!!
Ich bin so froh dass du mir geantwortet hast, echt nett von dir!!
Also ich habe mir überlegt:
wenn [mm] x_i\le{y_i} \forall{i=1..d}, [/mm] dann gilt ja [mm] (-\infty, x_i\]\le(-\infty,y_i\] [/mm]
da aber [mm] \IP [/mm] als Maß monoton ist, gilt [mm] \IP((-\infty, x_i])\le\IP((-\infty,y_i]) \forall{i=1...d}. [/mm] Kann ich dann ohne weiters schließen, dass dann
[mm] \IP((-\infty,x_i]\times...\times(-\infty,x_d])\le\IP((-\infty,y_i]\times...\times(-\infty,y_d])?
[/mm]
Könntest du mir vll mit der Teilaufgabe b) helfen, da bin total ratlos?
Besten Dank
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Sa 30.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also ich habe mir überlegt:
> wenn [mm]x_i\le{y_i} \forall{i=1..d},[/mm] dann gilt ja [mm](-\infty, x_i]\le(-\infty,y_i][/mm]
Du meinst [mm] $\subseteq$ [/mm] und nicht [mm] $\le$, [/mm] oder?
> da aber [mm]\IP[/mm] als Maß monoton ist, gilt [mm]\IP((-\infty, x_i])\le\IP((-\infty,y_i]) \forall{i=1...d}.[/mm]
Das macht keinen Sinn, da [mm] $\IP$ [/mm] nur auf Teilmengen des [mm] $\IR^n$ [/mm] definiert ist, aber nicht auf Teilmengen von [mm] $\IR$.
[/mm]
Allerdings:
genauso gilt, dass [mm] $(-\infty, x_1] \times \dots \times (-\infty, x_n] \subseteq (-\infty, y_1] \times \dots \times (-\infty, y_n]$ [/mm] ist, und somit folgt wegen der Monotonie von [mm] $\IP$ [/mm] ... (jetzt darfst du selber [mm] $\IP$ [/mm] anwenden :) )
> Könntest du mir vll mit der Teilaufgabe b) helfen, da bin
> total ratlos?
Hattet ihr schon, dass die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] $\IR^n$ [/mm] durch Mengen der Form [mm] $(-\infty, x_1] \times \dots \times (-\infty, x_n]$ [/mm] erzeugt wird?
Und das zwei Masse uebereinstimmen, wenn sie bereits auf einem Erzeugendensystem einer [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] uebereinstimmen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Sa 30.10.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Felix!
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!!
> Hattet ihr schon, dass die Borelsche [mm]\sigma[/mm]-Algebra auf
> [mm]\IR^n[/mm] durch Mengen der Form [mm](-\infty, x_1] \times \dots \times (-\infty, x_n][/mm]
> erzeugt wird?
Dass die [mm] \mathcal{B}(\IR^d) [/mm] von halboffenen Intervallen erzeugt werden kann, das hatten wir besprochen.
Aber das hier:
> Und das zwei Masse uebereinstimmen, wenn sie bereits auf
> einem Erzeugendensystem einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> uebereinstimmen?
kann ich nicht finden.
Es gibt aber einen Satz, dass wenn F eine Verteilungsfunktion ist, dann
existiert ein eindeutiges W.-maß [mm] \IP [/mm] auf [mm] (\IR,\mathcal{B}(\IR)).
[/mm]
Dann könnte ich das auf den d-dim Fall übertragen. Oder?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:59 So 31.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Hattet ihr schon, dass die Borelsche [mm]\sigma[/mm]-Algebra auf
> > [mm]\IR^n[/mm] durch Mengen der Form [mm](-\infty, x_1] \times \dots \times (-\infty, x_n][/mm]
> > erzeugt wird?
>
> Dass die [mm]\mathcal{B}(\IR^d)[/mm] von halboffenen Intervallen
> erzeugt werden kann, das hatten wir besprochen.
Gut.
> Aber das hier:
> > Und das zwei Masse uebereinstimmen, wenn sie bereits auf
> > einem Erzeugendensystem einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> > uebereinstimmen?
> kann ich nicht finden.
> Es gibt aber einen Satz, dass wenn F eine
> Verteilungsfunktion ist, dann
> existiert ein eindeutiges W.-maß [mm]\IP[/mm] auf
> [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR)).[/mm]
> Dann könnte ich das auf den d-dim Fall übertragen.
> Oder?
Ja. Schau dir mal den Beweis an, das gibt dir vielleicht eine Idee wie du das uebertragen kannst.
Vielleicht kannst du diese Aussage auch selber beweisen, also dass es reicht, das Mass von Mengen zu wissen, die die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] erzeugen, um das ganze Mass zu kennen.
LG Felix
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