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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - mehrere Variablen im Beweis
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mehrere Variablen im Beweis: Zwei Teilaufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:17 So 11.11.2007
Autor: Physiker

Aufgabe
i) Zeigen sie für zwei positive reelle Zahlen a und b:

[mm] \bruch {2}{\bruch{1}{a} + \bruch{1}{b}} \le \sqrt{a*b} [/mm]

ii) Zeigen sie für drei positive reelle Zahlen a, b und [mm] \varepsilon: [/mm]

[mm]a*b[/mm][mm] \le \varepsilon a^2 [/mm] + [mm] \bruch{b^2}{4\varepsilon} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Auch hier bräuchte ich einen Ansatz... habe leider gaaaar keine Ahnung. Geht das?

        
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mehrere Variablen im Beweis: Genaue Aussagen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:36 So 11.11.2007
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

Nutz doch mal bitte den Formeleditor und ändere deine Aussagen so,dass sie eindeutig sind.

In Teil 1 fehlt die komplette rechte Seite der Ungleichung, und auf der linken Seite weiss ich leider nicht ganz, was gemeint ist.

Und die Aussage brauchst du nachher für Teil 2.

Marius

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mehrere Variablen im Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:02 So 11.11.2007
Autor: Physiker

Okay... *such* Formeleditor... Bin gleich wieder da und danke für das herzliche Willkommen.

Bezug
        
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mehrere Variablen im Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:11 So 11.11.2007
Autor: Martin243

Hallo,

zu 1.:
Es ist zwar nicht notwendig, aber vielleicht hilfreich (man sieht es leichter), wenn du mal [mm] a=:A^2 [/mm] und [mm] b=:B^2 [/mm] substituierst. Dann bildest du auf beiden Seiten den Kehrwert (Ungleichheit dreht sich auch um!) und versuchst auf die 2. Binomische Formel zu kommen. Ist nicht schwer.

zu 2.:
Hier kannst du es mit [mm] $\bruch{b}{2\varepsilon}=:c$ [/mm] versuchen. Dann geht es ganz schnell.


Gruß
Martin

Bezug
                
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mehrere Variablen im Beweis: Frage auf Antwort
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 So 11.11.2007
Autor: Physiker

Aufgabe 1
wenn $c:= [mm] \bruch{b}{2\varepsilon}$ [/mm] dann hätte ich ja $ a*b [mm] \le \varepsilon*a^2 [/mm] + [mm] c^2$ [/mm]

Aufgabe 2
zu ii)

müsste ich, wenn ich  [mm] $\bruch{b^2}{4\varepsilon}$ [/mm] mit [mm] $c^2$ [/mm] substituiere nicht [mm] $c:=\bruch{b}{4\varepsilon}$ [/mm] sein? Dann kann ich das ganze so schreiben:

$a*b [mm] \le \varepsilon*a^2 [/mm] + [mm] c^2$ [/mm] weil [mm] $c^2 [/mm] = [mm] \bruch{b^2}{4\varepsilon}$. [/mm]


Aber wo stecke ich denn nun den Beweis hin?


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mehrere Variablen im Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 So 11.11.2007
Autor: Martin243

Hallo,

> wenn $c:= [mm] \bruch{b}{2\varepsilon}$ [/mm] dann hätte ich ja $ a*b [mm] \le \varepsilon*a^2 [/mm] + [mm] c^2$ [/mm]

Falsch! Das entspricht nicht der von mir vorgeschlagenen Substitution!


> müsste ich, wenn ich  [mm] $\bruch{b^2}{4\varepsilon}$ [/mm] mit [mm] $c^2$ [/mm] substituiere nicht [mm] $c:=\bruch{b}{4\varepsilon}$ [/mm] sein?

Diese Substitution habe ich nie vorgeshlagen!
Meines Wissens ist [mm] $\left(\bruch{b}{2\varepsilon}\right)^2=\bruch{b^2}{2^2\varepsilon^2}=\bruch{b^2}{4\varepsilon^2}$. [/mm]

Mein Tipp: Teile zuerst die gesamte Ungleichung durch [mm] $\varepsilon$, [/mm] dann wird vielleicht klarer, was alles substitutiert werden kann.


Gruß
Martin

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