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| Aufgabe | In einer Urne befinden sich r rote und s schwarze Kugeln. Sie entnehmen rein zufällig eine Kugel und geben anschließend diese sowie l [mm] \in [/mm] IN weitere Kugeln dieser Farbe in die Urne. Dieser Vorgang wird noch n-1 mal wiederholt
a) Modellieren Sie dieses Zufallsexperiment durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum [mm] \Omega
[/mm]
b) Zeigen Sie,dass für jeden Ausgang [mm] \omega\in\Omega [/mm] die Wahrscheinlichkeit [mm] P({\omega}) [/mm] nur von der Anzahl der gezogenen roten Kugeln abhängt, nicht jedoch von deren Ziehungszeitpunkten
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde in obigem Experiment genau k mal eine rote Kugel gezogen? |
a) So ich habe schon Probleme mit dem Wahrscheinlichkeitsraum Ich weiss nur dass [mm] \Omega [/mm] = [mm] \Omega_{1} [/mm] x...x [mm] \Omega_{n}
[/mm]
Aber wie ich die einzelnen Omegas bestimme weiss ich nicht da ich ja nicht sagen kann ob ich nun eine schwarze oder rote Kugel ziehe
b) Hier verstehe ich zwar warum dass so ist aber eine Beweissidee habe ich nicht. Hier fehlt mir der komplette Ansatz
c) Bei der c) wissen wir nun das die Reihenfolge beliebig ist und mit zurücklegen gezogen wird allerdings werden ja bei jedem Durchgang weitere Kugeln hinzugefügt jetzt weiss ich nicht wie ich hier weitermache
Hoffe auf eure Hilfe
lg eddie
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Moin eddiebingel,
> In einer Urne befinden sich r rote und s schwarze Kugeln.
> Sie entnehmen rein zufällig eine Kugel und geben
> anschließend diese sowie l [mm]\in[/mm] IN weitere Kugeln dieser
> Farbe in die Urne. Dieser Vorgang wird noch n-1 mal
> wiederholt
>
> a) Modellieren Sie dieses Zufallsexperiment durch einen
> geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum [mm]\Omega[/mm]
Erstmal dazu:
Wenn 1 mit einer roten und 0 mit einer schwarzen Kugel identifiziert, kannst du
[mm] \Omega=\{0,1\}^n=\{(w_1,\ldots,w_n), w_i\in\{0,1\}, i=1,\ldots,n\}
[/mm]
als Menge der Elementarereignisse wählen. Da [mm] \Omega [/mm] endlich ist, kannst du Ereignismenge einfach die Potenzmenge nehmen.
Das schwierige ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Male dir dazu am besten ein Baumdiagramm, um zunächst eine Idee zu bekommen.
Dann sei [mm] r_n [/mm] die Anzahl der roten, [mm] s_n [/mm] die Anzahl der schwarzen Kugeln nach dem n. Experiment, weiterhin sei [mm] r_0=r, s_0=s.
[/mm]
Bei der ersten Ziehung hat man mit WSK [mm] \frac{r_0}{s_0+r_0} [/mm] eine rote, dann ist [mm] r_1=r_0+l=r+l [/mm] und [mm] s_1=s_0=s [/mm] [...]
Entwickle das weiter und versuche letztendlich allgemein die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses, sprich einer Ziehfolge aus [mm] \Omega, [/mm] zu ermitteln.
LG
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