mengen logisch äquivalent < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 So 21.10.2007 | | Autor: | milky77 |
| Aufgabe | zeigen sie dass folgende Aussagen über gegebene mengen A und B paarweise logisch äquivalent sind:
1. A = A [mm] \cap [/mm] B
2. B = A [mm] \cup [/mm] B
3. A \ B = [mm] \emptyset
[/mm]
4. B\ (B \ A) = A
5. A [mm] \subseteq [/mm] B |
Kann mir jemand einen tipp geben, wie ich das rechnen soll?
hab irgendwie gar keinen ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 So 21.10.2007 | | Autor: | Aoy |
Hallo
Da muss man nix rechnen.
nur ein bissel überlegen! wie kann den 1 richtig sein? such mal von 2 bis 4.
und ists dann auch umgekehrt richtig? dann ist es äquivalent.
entsprechend mit den anderen Teilen.
MvG Aoy
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> zeigen sie dass folgende Aussagen über gegebene mengen A
> und B paarweise logisch äquivalent sind:
> 1. A = A [mm]\cap[/mm] B
> 2. B = A [mm]\cup[/mm] B
> 3. A \ B = [mm]\emptyset[/mm]
> 4. B\ (B \ A) = A
> 5. A [mm]\subseteq[/mm] B
> Kann mir jemand einen tipp geben, wie ich das rechnen
> soll?
Hallo,
ich werde Dir jetzt exemplarisch zeigen, wie man 1. ==> 2. zeigt.
Behauptung A = A [mm]\cap[/mm] B ==> B = A [mm]\cup[/mm] B
Beweis: Es sei A = A [mm]\cap[/mm] B . (Das ist ja die Voraussetzung.)
Zu zeigen ist nun
i) [mm] B\subseteq [/mm] A [mm]\cup[/mm] B
und
ii) A [mm]\cup[/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B (denn so ist ja die Gleichheit von Mengen erklärt.)
zu i)
Sei x [mm] \in [/mm] B ==> x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B ==> x [mm] \in A\cup [/mm] B,
also ist [mm] B\subseteq A\cup [/mm] B.
zu ii)
Sei [mm] x\in A\cup [/mm] B
==> [mm] x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] B (nach Def. der Vereinigung)
==> [mm] x\in [/mm] A [mm]\cap[/mm] B oder [mm] x\in [/mm] B (nach Voraussetzung A = A [mm]\cap[/mm] B)
==> [mm] (x\in [/mm] A und [mm] x\in [/mm] B) oder [mm] x\in [/mm] B (nach Def. der Schnittmenge)
==> [mm] (x\in [/mm] A und [mm] x\in [/mm] B) oder [mm] (x\in [/mm] B und [mm] x\in [/mm] B) (Distributibgesetz)
==> x [mm] \in [/mm] B (denn in beiden möglichen Fällen ist [mm] x\in [/mm] B)
Somit gilt [mm] A\cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B
Ich habe Dir das extra ausführlich gezeigt, damit Du siehst, was von Dir erwartet wird. Beachte bitte die Begründungen. Tue nichts, was Du nicht begründen kannst.
Du hast nun mehrere Möglichkeiten, weiterzumachen. Du könntest jetzt zeigen, daß auch die Richtung 2. ==> 1. gilt.
Eine andere (arbeitsparende) Möglichkeit: Du zeigst 1. ==> 2., 2==>3, 3==> 4., 4.==> 5., 5. ==> 1. (Ringschluß)
Du kannst ggf. auch eine einfachere Reihenfolge wählen im Ringschluß.
Gruß v. Angela
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