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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Do 19.10.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute,
wir haben in der Vorlesung Alphabete eingeführt.
Dabei haben wir eine funktion lh definiert die die länge eines Wortes über dem Alphabet auf seine länge abbildet.
Die formale Definition ist wie folgt:
sei [mm] w\in [/mm] A (A soll das Alphabet sein) dann ist
[mm] lh(w)=min\{n | w\in A^n\}
[/mm]
was mich irritiert ist dieses "min".
Der Prof meinte, wenn man das "min" weglässt müsste man schreiben das eindeutig bestimmte n für das dies und das gilt.. und man müsste dann noch die eindeutigkeit beweisen etc.
ich verstehe aber gar nicht genau warum
mann kann das min doch einfach weglassen, weil ein wort mit der länge 3 zB nur element des [mm] A^3 [/mm] ist und nicht des [mm] A^2 [/mm] oder sowas.
dann könnte man die menge doch auch wie folgt definieren:
[mm] lh(w)=\{ n | w\in A^n\}
[/mm]
das w ist ja laut definition nur in [mm] A^n [/mm] für ein n, was soll man da für eine eindeutigkeit zeigen?
ich hoffe ihr versteht was ich meine +g+
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Do 19.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich habe mal den Verdacht, dass man leere Buchstaben einfügen kann.
Ich denke da an das Alphabet der Ziffern - dann hat "548" ja die Länge 3, aber es ist das gleiche wie "00548", was formal auch die Länge 3 haben muss.
also müsste man entweder beweisen, dass 548=0..0548 für beliebig viele Nullen ist ode rman verlangt eben das Minimum.
Aber ich überblicke ja nicht genau eure ganzen Definitionen - kann sein, dass das hier Müll ist !!
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Do 19.10.2006 | | Autor: | AriR |
genau das habe ich auch gedacht, ist aber nicht der fall.
der meinte das leere wort ist nur element von [mm] a^0 [/mm] und sonst von nichts.
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Hallo und guten Morgen,
> (Frage zuvor nicht gestellt)
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> Hey leute,
>
> wir haben in der Vorlesung Alphabete eingeführt.
>
> Dabei haben wir eine funktion lh definiert die die länge
> eines Wortes über dem Alphabet auf seine länge abbildet.
>
> Die formale Definition ist wie folgt:
>
> sei [mm]w\in[/mm] A (A soll das Alphabet sein) dann ist
>
Falsch, sondern [mm] w\in A^{\star}. [/mm]
> [mm]lh(w)=min\{n | w\in A^n\}[/mm]
>
> was mich irritiert ist dieses "min".
>
> Der Prof meinte, wenn man das "min" weglässt müsste man
> schreiben das eindeutig bestimmte n für das dies und das
> gilt.. und man müsste dann noch die eindeutigkeit beweisen
> etc.
Der Dozent hat, wie Du ihn auch zitierst, diese Schreibweise lediglich ihrer Einfachheit wegen verwandt, es ist in Eurer Notation
[mm] lh(w)=min\{n | w\in A^n\} [/mm] = das eindeutig bestimmte [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] w\in A^n
[/mm]
>
> ich verstehe aber gar nicht genau warum
>
> mann kann das min doch einfach weglassen, weil ein wort mit
> der länge 3 zB nur element des [mm]A^3[/mm] ist und nicht des [mm]A^2[/mm]
> oder sowas.
>
Das min kann man nicht weglassen, man kann aber -siehe oben - die Längenfunktion auch anders definieren.
Wenn allgemein B eine Menge ist und < eine lineare Ordnung auf B, so ist [mm] \min [/mm] B (gebildet bzgl. <)
ein Element von B (zB für [mm] B=\{n|w\in A^n\}).
[/mm]
Es ist also nicht [mm] B=\min [/mm] B, und das heisst, dass Du aus ganz offensichtlichen Gründen nicht einfach das Min weglassen kannst, das wáre
einfach formal falsch. Eine Menge ist stets von allen ihrer Elemente verschieden:
[mm] \forall [/mm] A [mm] \forall a\:\: (a\in A\:\:\rightarrow\:\: a\neq [/mm] A)
Solange Dir diese Dinge nicht glasklar sind, solltest Du nicht weiter im Stoff gehen.
Zwing Dich, prázise zu denken und zu schreiben, dann wird es Dir auch besser gehen bei der Vorlesung. Es kommt gerade auf diese
Feinheiten und formalen Dinge an.
> dann könnte man die menge doch auch wie folgt definieren:
>
> [mm]lh(w)=\{ n | w\in A^n\}[/mm]
>
Siehe oben, das ist schlichtweg falsch.
> das w ist ja laut definition nur in [mm]A^n[/mm] für ein n, was soll
> man da für eine eindeutigkeit zeigen?
>
> ich hoffe ihr versteht was ich meine +g+
>
> Gruß Ari
Gruß,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 20.10.2006 | | Autor: | AriR |
danke schonmal für deine antworte, aber leider verstehe ich diese nicht so ganz.
was hat das wegelassen des min mit B=min B zu tun?
und wenn ich eine menge X habe und davon ein element x
also [mm] x\in [/mm] X und folgern kann [mm] x\not= [/mm] X wäre das nicht ein widespruch und sowas wie die russell antinomie?
ich wäre dir echt dankbar, wenn du mir das erklären könntest.
Gruß Ari
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Es geht hier nur darum, dass es etwas anderes ist, eine Menge zu betrachten und ein Element davon.
Ein Beispiel: Nimm an, dass $A$ das gewöhnliche Alphabet ist und betrachte das Wort $w = Matheraum$. Dann ist $w [mm] \in A^9$ [/mm] und in keiner anderen Potenz, also $w [mm] \notin A^n$ [/mm] für $n [mm] \not= [/mm] 9$.
Dann ist also [mm] $\{n : w \in A^n\} [/mm] = [mm] \{9\}$.
[/mm]
Dies ist eine Menge, die ein Element enthält und verschieden von dem Element selbst: $9 [mm] \not= \{ 9 \}$.
[/mm]
Das sind verschiedene Objekte! Das eine ist die natürliche Zahl 9, das andere ist die Menge, die diese Zahl enthält.
Es gilt aber: [mm] $\min \{ 9\} [/mm] = 9$.
Das war gemeint, wenn davon die Rede war, dass das Weglassen von min zu einem Fehler führt. Ganz allgemein ist eine Menge immer verschieden von ihren Elementen.
Siehe auch: Anderer Post zum Thema
Ich hoffe, das hilft. 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 22.10.2006 | | Autor: | AriR |
ist das mit dem min viell so gemeint, dass man der funktion keine menge, in diesem fall eine 1-elmentige menge, zuweisen möchte sonder einen konkreten wert aus der funktion erhalten möchte und somit durch das min aus der 1-elmentigen menge eine konkrete zahl gewinnt? man könnte doch falls dies stimmt auch max nehmen oder?
gruß ari
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Sicher kann man auch das Maximum nehmen, da es ja wie erwähnt ein eindeutig bestimmtes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit $w [mm] \in A^n$.
[/mm]
Der Punkt ist, dass diese Längenfunktion auch auf allgemeineren Strukturen definiert werden kann, z.B. auf Gruppen bzgl. eines Erzeugendensystems und da ist diese Eindeutigkeit nicht mehr gegeben und deshalb nimmt man in diesem Fall das Minimum, also die kürzeste Art, ein solches Element darzustellen, die sogenannte reduzierte Darstellung.
Langer Rede, kurzer Sinn: in diesem Fall ist das egal, da das $n$ ohnehin eindeutig ist, aber in allgemeineren Situationen ist das nicht mehr so und da sollte man tunlichst das Minimum nehmen.
Gruß, Lars
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