meromorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mi 28.01.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo :)
Zunächst mal nur zu Teil (a)
Folgenden Hinweis haben wir zusätzlich gegeben:
> Konstruieren Sie zuerst eine meromorphe Funktion,
> die "ähnliche" Nullstellen und Polstellen wie f hat,
> indem man getrennte Funktionen zu den Nullstellen und
> Polstellen und den zugehörigen Quotienten betrachtet.
> Daraus konstruiert man sich geeignete Funktionen. Beachte
> dabei, wie ganze Funktionen ohne Nullstellen aussehen.
Also wenn ich das richtig verstehe, ist eine Darstellung [mm]f(z)=\frac{u(z)}{v(z)}[/mm] mit holomorphen Funktionen [mm]u,v[/mm] gemeint, aber dann macht der Zusatz mit Nullstellenfreien ganzen Fkt. doch keinen Sinn mehr (?)
(Ich denke hier ist gemeint dass solche Funktionen entweder jeden von Null verschiedenen Wert annehmen wie zB die Exp.-Fkt, oder konstant sind.
Hat das "ähnliche" eine tiefere Bedeutung? Eine Zerlegung wie angegeben würde ja genau die gleichen Null/Polstellen liefern...
Grüße Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mi 28.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Erstmal ganz allgemein: rechne doch erstmal die einfacheren Richtungen nach: nimm an es gibt so eine Funktion $g$, und zeige dann warum $f$ die geforderte Funktion haben muss. (In beiden Faellen sollte $g$ nicht die Nullfunktion sein!)
> Zunächst mal nur zu Teil (a)
> Folgenden Hinweis haben wir zusätzlich gegeben:
>
> > Konstruieren Sie zuerst eine meromorphe Funktion,
> > die "ähnliche" Nullstellen und Polstellen wie f hat,
> > indem man getrennte Funktionen zu den Nullstellen und
> > Polstellen und den zugehörigen Quotienten betrachtet.
> > Daraus konstruiert man sich geeignete Funktionen. Beachte
> > dabei, wie ganze Funktionen ohne Nullstellen aussehen.
Wenn du die eine Richtung (siehe oben) erledigt hast, dann weisst du was die Pole und Residuen ueber die Funktion $g$ aussagen (falls sie existiert), insbesondere was die Pole, Nullstellen und deren Vielfachheiten angeht. Konstruiere jetzt eine Funktion [mm] $\hat{g}$, [/mm] die die gleichen Pole und Nullstellen (mit den gleichen Vielfachheiten!) wie $g$ hat. (Zum Konstriueren von solchen Funktionen hattet ihr sicher ein paar Saetze.)
Was kannst du jetzt ueber die (meromorphe) Funktion [mm] $\frac{g}{\hat{g}}$ [/mm] sagen? Das musst du schon wissen um den Hinweis verwenden zu koennen.
> Also wenn ich das richtig verstehe, ist eine Darstellung
> [mm]f(z)=\frac{u(z)}{v(z)}[/mm] mit holomorphen Funktionen [mm]u,v[/mm]
> gemeint, aber dann macht der Zusatz mit Nullstellenfreien
> ganzen Fkt. doch keinen Sinn mehr (?)
Wieso sollte der Zusatz keinen Sinn machen? Mit der nullstellenfreien Funktion ist ganz sicher weder $f$ noch $u$ noch $v$ gemeint!
> (Ich denke hier ist gemeint dass solche Funktionen
> entweder jeden von Null verschiedenen Wert annehmen wie zB
> die Exp.-Fkt, oder konstant sind.
Es geht sogar noch genauer: eine nullstellenfreie ganze Funktion laesst sich in der Form [mm] $e^{h(z)}$ [/mm] schreiben fuer eine ganze Funktion $h$. (Siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.) Das ist hier wohl gemeint.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mi 28.01.2009 | | Autor: | MacMath |
> Hallo
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> > [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Erstmal ganz allgemein: rechne doch erstmal die einfacheren
> Richtungen nach: nimm an es gibt so eine Funktion [mm]g[/mm], und
> zeige dann warum [mm]f[/mm] die geforderte Funktion haben muss. (In
> beiden Faellen sollte [mm]g[/mm] nicht die Nullfunktion sein!)
Ich glaube ich ralls langsam, danke :)
falls ein solches g existiert, also [mm] \frac{g'}{g}=f [/mm] und f besitzt in a einen Pol (irgendeines grades vorerst), so muss g in a eine Nullstelle haben, die Vielfachheit sei [mm] n=n_a
[/mm]
Dann besitzt aber g' dort eine n-1-fache Nullstelle, also der Quotient,dh f einen einfachen Pol.
Es gilt nun [mm]Res_a\frac{g'}{g}=n[/mm] (das entsteht beim dem einen mal ableiten "mehr"), womit die eine Richtung gezeigt ist.
Ist das soweit richtig? Und reichen die Begründungen (wenn man sie etwas besser ausformuliert?)
Die andere Richtung sagt mir im Moment noch nicht so viel, aber ich brauch jetzt erstmal etwas Zeit, danke schonmal^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:51 Do 29.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > Erstmal ganz allgemein: rechne doch erstmal die einfacheren
> > Richtungen nach: nimm an es gibt so eine Funktion [mm]g[/mm], und
> > zeige dann warum [mm]f[/mm] die geforderte Funktion haben muss. (In
> > beiden Faellen sollte [mm]g[/mm] nicht die Nullfunktion sein!)
>
>
> Ich glaube ich ralls langsam, danke :)
> falls ein solches g existiert, also [mm]\frac{g'}{g}=f[/mm] und f
> besitzt in a einen Pol (irgendeines grades vorerst), so
> muss g in a eine Nullstelle haben,
Wieso muss $g$ da eine Nullstelle haben? Was ist, wenn $g$ einen Pol hat?
> die Vielfachheit sei [mm]n=n_a[/mm]
>
> Dann besitzt aber g' dort eine n-1-fache Nullstelle, also
> der Quotient,dh f einen einfachen Pol.
Genau.
> Es gilt nun [mm]Res_a\frac{g'}{g}=n[/mm] (das entsteht beim dem
> einen mal ableiten "mehr"),
Die Begruendung ist allerdings ziemlich duerftig.
> womit die eine Richtung gezeigt ist.
>
> Ist das soweit richtig? Und reichen die Begründungen (wenn
> man sie etwas besser ausformuliert?)
>
> Die andere Richtung sagt mir im Moment noch nicht so viel,
> aber ich brauch jetzt erstmal etwas Zeit, danke schonmal^^
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:23 Do 29.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Die erste Richtung habe ich fertig gezeigt, es hängt bei der zweiten.
> (Siehe z.B.
> hier.)
> Das ist hier wohl gemeint.
>
Wir haben den Weierstrasschen Produktsatz gehabt, aber dazu brauche ich doch unendlich viele Nullstellen mit divergierendem Betrag, oder?
Ich möchte ja auf die Darstellung [mm]f(z)=\frac{g'(z)}{g(z)}[/mm] hinaus. wie kann ich die Nullstellen von f da einbringen? Bei "=>" habe ich ja gezeigt dass sowohl Null- als auch Polstellen von g zu einfachen Polen von f führen, hier müsste ich also quasi die Nullstellen von g' vorgeben, aber wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Do 29.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die erste Richtung habe ich fertig gezeigt, es hängt bei
> der zweiten.
>
> > (Siehe z.B.
> >
> hier.)
> > Das ist hier wohl gemeint.
> >
>
> Wir haben den Weierstrasschen Produktsatz gehabt, aber dazu
> brauche ich doch unendlich viele Nullstellen mit
> divergierendem Betrag, oder?
Wenn du nur endlich viele Nullstellen hast ist es eh einfach.
Wenn du unendlich viele Nulltsellen hast, die sich in [mm] $\IC$ [/mm] nicht haeufen, dann kannst du daraus immer eine Folge basteln die divergiert und alle diese Nullstellen umfasst.
(Beachte: wegen der Voraussetzung dass sie sich nicht haeufen gibt es in jeder Kreisscheibe um den Nullpunkt nur endlich viele Nullstellen.)
> Ich möchte ja auf die Darstellung [mm]f(z)=\frac{g'(z)}{g(z)}[/mm]
> hinaus. wie kann ich die Nullstellen von f da einbringen?
> Bei "=>" habe ich ja gezeigt dass sowohl Null- als auch
> Polstellen von g zu einfachen Polen von f führen, hier
> müsste ich also quasi die Nullstellen von g' vorgeben, aber
> wie?
Hmm, da muss ich mal etwas laenger drueber nachdenken glaub ich :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 31.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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