meromorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 05.01.2009 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, welche der folgenden Funktionen meromorph in [mm] \mathbb{C} [/mm] sind.
(a) [mm] f(z):=\exp (\exp [/mm] z)
(b) [mm] f(z):=\exp \left(\frac{1}{z^2-1}\right)
[/mm]
(c) [mm] f(z):=\frac{1}{1-\cos z}
[/mm]
(d) [mm] f(z):=\cot \frac{1}{z} [/mm] |
Hallo zusammen,
wie kann man denn bei der Überprüfung der Meromorphie am besten vorgehen? Ich hätte jetzt zunächst die Holomorphie überprüft (dann ist die ein oder andere Funktion bereits erledigt). Könnte ich dann so vorgehen, dass ich mir nur die Punkte anschaue, in denen eine Funktion nicht holomorph ist?
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mo 05.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Gregor!
> Untersuchen Sie, welche der folgenden Funktionen meromorph
> in [mm]\mathbb{C}[/mm] sind.
>
> (a) [mm]f(z):=\exp (\exp[/mm] z)
> (b) [mm]f(z):=\exp \left(\frac{1}{z^2-1}\right)[/mm]
> (c)
> [mm]f(z):=\frac{1}{1-\cos z}[/mm]
> (d) [mm]f(z):=\cot \frac{1}{z}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> wie kann man denn bei der Überprüfung der Meromorphie am
> besten vorgehen? Ich hätte jetzt zunächst die Holomorphie
> überprüft (dann ist die ein oder andere Funktion bereits
> erledigt). Könnte ich dann so vorgehen, dass ich mir nur
> die Punkte anschaue, in denen eine Funktion nicht holomorph
> ist?
Ja. Das ist die Definition einer meromorphen Funktion: sie nur in isolierten Punkten nicht holomorph und besitzt dort höchstens Pole.
Was hast du denn bisher heraus?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Sa 10.01.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo Rainer,
zu a) die Exponentialfunktion ist auf ganz [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] holomorph und nimmt jeden Wert von [mm] $\mathbb{C}\setminus \left\{0\right\}$ [/mm] gleich oft an. Dann müsste doch [mm] $\exp (\exp [/mm] z)$ ebenfalls auf ganz [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] holomorph und somit meromorph sein, oder?
zu b) Die Funktion ist holomorph auf [mm] $\mathbb{C}\setminus \left\{1;-1;i;-i\right\}$. [/mm] In diesen Punkten müsste ich jetzt als nächstes überprüfen, ob es sich um Pole handelt oder nicht.
zu c) Die Kosinusfunktion ist ganz, [mm] $1-\cos [/mm] z$ ist demnach auf ganz [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] holomorph. Als mögliche Polstellen kommen die Zahlen [mm] $2k\cdot \pi$, $k\in\mathbb{Z}$ [/mm] in Frage.
zu d) es gilt [mm] $\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}$. [/mm] Die Funktion ist auf [mm] $\mathbb{C}\setminus\left\{k\pi|k\in\mathbb{Z}\right\}$ [/mm] holomorph und auf [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] meromorph. Als mögliche Polstelle bleibt somit nur der Punkt $0$ übrig.
Ist das soweit richtig?
Viele Grüße
Gregor
> Hallo Gregor!
>
> > Untersuchen Sie, welche der folgenden Funktionen meromorph
> > in [mm]\mathbb{C}[/mm] sind.
> >
> > (a) [mm]f(z):=\exp (\exp[/mm] z)
> > (b) [mm]f(z):=\exp \left(\frac{1}{z^2-1}\right)[/mm]
> > (c)
> > [mm]f(z):=\frac{1}{1-\cos z}[/mm]
> > (d) [mm]f(z):=\cot \frac{1}{z}[/mm]
>
> > Hallo
> > zusammen,
> >
> > wie kann man denn bei der Überprüfung der Meromorphie am
> > besten vorgehen? Ich hätte jetzt zunächst die Holomorphie
> > überprüft (dann ist die ein oder andere Funktion bereits
> > erledigt). Könnte ich dann so vorgehen, dass ich mir nur
> > die Punkte anschaue, in denen eine Funktion nicht holomorph
> > ist?
>
> Ja. Das ist die Definition einer meromorphen Funktion: sie
> nur in isolierten Punkten nicht holomorph und besitzt dort
> höchstens Pole.
>
> Was hast du denn bisher heraus?
>
> Viele Grüße
> Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Sa 10.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Gregor!
> zu a) die Exponentialfunktion ist auf ganz [mm]\mathbb{C}[/mm]
> holomorph und nimmt jeden Wert von [mm]\mathbb{C}\setminus \left\{0\right\}[/mm]
> gleich oft an. Dann müsste doch [mm]\exp (\exp z)[/mm] ebenfalls auf
> ganz [mm]\mathbb{C}[/mm] holomorph und somit meromorph sein, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b) Die Funktion ist holomorph auf [mm]\mathbb{C}\setminus \left\{1;-1;i;-i\right\}[/mm].
Sogar holomorph auf [mm]\mathbb{C}\setminus \left\{1;-1\right\}[/mm]. Wieso meinst du, dass sie in den Punkten [mm] $\pm [/mm] i$ nicht holomorph sei?
> In diesen Punkten müsste ich jetzt als nächstes überprüfen,
> ob es sich um Pole handelt oder nicht.
Richtig. Tipp: durch Partialbruchzerlegung und Anwendung von [mm] $\exp(x+y)= \exp(x)\exp(y)$ [/mm] kommst du auf Funktionen der Form
[mm] \exp\left(\bruch{1}{z-z_0}\right) [/mm]
Dafür benutzt du die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion und bekommst sofort die Laurententwicklung.
> zu c) Die Kosinusfunktion ist ganz, [mm]1-\cos z[/mm] ist demnach
> auf ganz [mm]\mathbb{C}[/mm] holomorph. Als mögliche Polstellen
> kommen die Zahlen [mm]2k\cdot \pi[/mm], [mm]k\in\mathbb{Z}[/mm] in Frage.
Korrekt. Woher weisst du, das es keine wesentlichen Singularitäten sind?
> zu d) es gilt [mm]\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}[/mm]. Die Funktion
> ist auf
> [mm]\mathbb{C}\setminus\left\{k\pi|k\in\mathbb{Z}\right\}[/mm]
> holomorph und auf [mm]\mathbb{C}[/mm] meromorph. Als mögliche
> Polstelle bleibt somit nur der Punkt [mm]0[/mm] übrig.
Was ist mit den anderen Punkten, in denen sie nicht holomorph ist?
Viele Grüße
Rainer
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