messbare Abbildung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 09.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] ein W-Raum und [mm] T:\Omega \to \Omega [/mm] eine messbare Funktion derart, dass gilt:
[mm] P_T=P [/mm]
d.h. P ist invariant unter T.
Sei [mm] A \in \mathcal{A} [/mm] derart, dass die Mengen [mm] A,T^{-1}(A), T^{-1}(T^{-1}(A)) [/mm] paarweise disjunkt sind.
a) Zeigen Sie: [mm] P_{T \circ T}=P [/mm]
b) Zeigen Sie: [mm] P(A) \le \bruch{1}{3} [/mm]
|
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich weiss nicht so genau, ob meine Überlegungen richtig sind, und wenn ja, wie man die Aufgabe allgemein beweist.
Mal angenommen, [mm] \Omega= [/mm] mögliche Würfelwürfe, [mm] \mathcal{A}= [/mm] Potenzmenge und P wäre dann 1/6.
Die Abbildung wäre so, dass jedem Element die Augenzahl+1 zugeordnet wird und 6 wird 1 zugeordnet. Dann ist z.B:
[mm] T(3)=4 [/mm]
[mm] T^{-1}(3)=2 [/mm]
[mm] T^{-1}(T^{-1}(3)=T^{-1}(2)=1 [/mm]
Dann wären diese 3 Mengen paarweise disjunkt.
[mm] T \circ T(A)=T(T(3))=5 [/mm], aber P(x) ist immer 1/6, also stimmt das in meinem Beispiel immer - oder ? Und wenn ja, wie zeigt man das allgemein ?
Dass P(A) [mm] \le [/mm] 1/3 sein muss, muss mit den 3 disjunkten Mengen "Bild, Urbild, Urbild vom Urbild" zusammenhängen:
P(A) kann maximal 1 sein. Wenn aber A und [mm] T^{-1}(A) [/mm] disjunkt sind, ist das Maß bezüglich T noch maximal 1/2. Ist diese Formulierung richtig ?
Und dann eben entspr. wenn [mm] T^{-1}(T^{-1}(A)) [/mm] auch noch disjunkt ist, bleibt nur noch 1/3 als Maß für jede Menge. Stimmt das so ?
Danke, Susanne.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Dein Beispiel ist richtig, aber sehr sehr speziell. Du bist jetzt in einem abstrakten Wahrscheinlichkeitsraum und eigentlich sind die beiden Aufgaben sehr einfach, du musst nur die Definitionen dieser zurückgezogenen Maße richtig verwenden:
a) Für jedes [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] ist [mm] $P_{T\circ T}=P((T\circ T)^{-1}(A))=P(T^{-1}(T^{-1}(A)))=P_T(T^{-1}(A))=P(T^{-1}(A))=P(A)$. [/mm] Jetzt überleg dir mal ganz genau was für jeden dieser Schritte die genaue Begründung ist und warum die Ausdrücke überhaupt definiert sind (Stichwort: T ist [mm] $\mathcal{A}$-messbar).
[/mm]
b) Wenn [mm] $A,T^{-1}(A),T^{-1}(T^{-1}(A))\in\mathcal{A}$ [/mm] paarweise disjunkt sind, dann gilt doch [mm] $$1\ge P(A\cup T^{-1}(A)\cup T^{-1}(T^{-1}(A)))=P(A)+P(T^{-1}(A))+P(T^{-1}(T^{-1}(A))).$$ [/mm] Nun überlege dir, dass auf der rechten Seite nichts weiter als [mm]3\cdot P(A)[/mm] steht, benutze dazu die Voraussetzung und Teilaufgabe a).
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mo 09.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Robert,
vielen Dank für deine schnelle und tolle Hilfe !
> a) Für jedes [mm]A\in\mathcal{A}[/mm] ist [mm]P_{T\circ T}=P((T\circ T)^{-1}(A))=P(T^{-1}(T^{-1}(A)))=P_T(T^{-1}(A))=P(T^{-1}(A))=P(A)[/mm].
> Jetzt überleg dir mal ganz genau was für jeden dieser
> Schritte die genaue Begründung ist und warum die
> Ausdrücke überhaupt definiert sind (Stichwort: T ist
> [mm]\mathcal{A}[/mm]-messbar).
Das 1. Gleichheitszeichen (und damit auch das 3.) verstehe ich nicht, das würde doch bedeuten:
[mm] P_T(A)=P(T^{-1}(A)) [/mm]
Warum ist das so ?
Wenn T [mm]\mathcal{A}[/mm]-messbar ist, dann liegen die Urbilder in [mm]\mathcal{A}[/mm], was eine Sigma-Algebra ist und damit sind die Urbilder messbar ?
Danke, Susanne.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Das 1. Gleichheitszeichen (und damit auch das 3.) verstehe
> ich nicht, das würde doch bedeuten:
> [mm]P_T(A)=P(T^{-1}(A))[/mm]
> Warum ist das so ?
Richtig, aber das ist doch die Definition vom Maß [mm] $P_T$... [/mm] oder wie habt ihr das definiert?
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Mo 09.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Robert,
> > Das 1. Gleichheitszeichen (und damit auch das 3.) verstehe
> > ich nicht, das würde doch bedeuten:
> > [mm]P_T(A)=P(T^{-1}(A))[/mm]
> > Warum ist das so ?
> Richtig, aber das ist doch die Definition vom Maß [mm]P_T[/mm]...
> oder wie habt ihr das definiert?
also, ich habe jetzt im Skript was gefunden, was es sein könnte:
Sei [mm] T:(\Omega,\mathcal{A}) \to :(\Omega',\mathcal{A}') [/mm] eine messbare Abbildung und [mm] \mu [/mm] ein Maß auf [mm] \mathcal{A}.
[/mm]
Das durch
[mm] \mu'(A'):=\mu(T^{-1}(A')) A \in \mathcal{A} [/mm]
definierte Maß [mm] \mu' [/mm] heisst das Bild oder das Bildmaß von [mm] \mu [/mm] bei T.
Für [mm] \mu' [/mm] schreibt man auch [mm] \mu_T.
[/mm]
Und in dieser Aufgabe ist [mm] \mu [/mm] = P.
Das stimmt doch so, oder ?
Vielen Dank, Susanne.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Tja dann ist es doch genau wie ich gesagt habe. Vielleicht beim nächsten Mal erst in die Definition gucken bevor man gleich "auf dem Schlauch steht" , wies hier immer so schön heißt 
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Mo 09.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Robert,
ja, du hast recht !
Aber in diesem Fall hätte ich ohne deine Hilfe diese beiden Definitionen nicht "übereinander" gebracht.
LG und vielen Danke, Susanne.
|
|
|
|
