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messbare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Di 16.02.2010
Autor: moerni

Aufgabe
Sei (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] ein Messraum, [mm] \mathcal{A}=\{\emptyset, X, \{0,1\},\{2\} \}, [/mm] f: X [mm] \to \mathbb{R} [/mm] eine Abbildung definiert durch:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x =1 \\ -1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{für } x=2 \end{cases} [/mm]
Zeige f ist nicht [mm] \mathcal{A} [/mm] messbar

Hallo. Mir ist bei der Lösung etwas nicht ganz klar.
Sei A [mm] \in B(\mathbb{R}), [/mm] A=(0,5;1,5) (offenes Intervall). [mm] f^{-1}(A)=\emptyset \cup \{1\} \not \in \mathcal{A} \Rightarrow f^{-1}(B(\mathbb{R})) \not \subset \mathcal{A}. [/mm]
Meine Frage: was soll die leere Menge beim Urbild? Muss die dabei sein, oder ist das einfach die Menge [mm] \{1\} [/mm] ?
lg moerni

        
Bezug
messbare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Di 16.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo moerni,

> Sei (X, [mm]\mathcal{A})[/mm] ein Messraum, [mm]\mathcal{A}=\{\emptyset, X, \{0,1\},\{2\} \},[/mm]
> f: X [mm]\to \mathbb{R}[/mm] eine Abbildung definiert durch:
>  [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x =1 \\ -1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{für } x=2 \end{cases}[/mm]
>  
> Zeige f ist nicht [mm]\mathcal{A}[/mm] messbar
>  Hallo. Mir ist bei der Lösung etwas nicht ganz klar.
>  Sei A [mm]\in B(\mathbb{R}),[/mm] A=(0,5;1,5) (offenes Intervall).
> [mm]f^{-1}(A)=\emptyset \cup \{1\} \not \in \mathcal{A} \Rightarrow f^{-1}(B(\mathbb{R})) \not \subset \mathcal{A}.[/mm]
>  
> Meine Frage: was soll die leere Menge beim Urbild? Muss die
> dabei sein, oder ist das einfach die Menge [mm]\{1\}[/mm]

Du kannst die Menge $A$ schreiben als [mm] $A=(0,5;1,5)=(0,5;1)\cup\{1\}\cup(1;1,5)$ [/mm]

Für den ersten und letzten Anteil gibts kein Urbild, lediglich für die 1.

Also ist [mm] $f^{-1}(A)=f^{-1}((0,5;1)\cup\{1\}\cup(1;1,5))=\emptyset\cup\{1\}\cup\emptyset=\{1\}$ [/mm]

Und das liegt nicht in [mm] $\mathcal{A}$ [/mm]

Also ist f nicht [mm] $\mathcal{A},B(\IR)$-messbar. [/mm]

>  lg moerni

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
messbare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 Di 16.02.2010
Autor: moerni

Hallo.
Vielen Dank für die Antwort.

> Also ist
> [mm]f^{-1}(A)=f^{-1}((0,5;1)\cup\{1\}\cup(1;1,5))=\emptyset\cup\{1\}\cup\emptyset=\{1\}[/mm]
>  
> Und das liegt nicht in [mm]\mathcal{A}[/mm]
>  
> Also ist f nicht [mm]\mathcal{A},B(\IR)[/mm]-messbar.

Achso ist das. Klar.
Aber es reicht ja dann, wenn ich schreibe [mm] \emptyset \cup [/mm] \ [mm] \{1\} [/mm] reicht (also einmal die Leere Menge)? Bei anderen Aufgaben musste ich nämlich die Menge unendlich oft mit der leeren Menge vereinigen... da bin ich etwas verwirrt...
lg moerni

Bezug
                        
Bezug
messbare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Di 16.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo.
>  Vielen Dank für die Antwort.
>  
> > Also ist
> >
> [mm]f^{-1}(A)=f^{-1}((0,5;1)\cup\{1\}\cup(1;1,5))=\emptyset\cup\{1\}\cup\emptyset=\{1\}[/mm]
>  >  
> > Und das liegt nicht in [mm]\mathcal{A}[/mm]
>  >  
> > Also ist f nicht [mm]\mathcal{A},B(\IR)[/mm]-messbar.
>  
> Achso ist das. Klar.
> Aber es reicht ja dann, wenn ich schreibe [mm] $\emptyset \cup\{1\}$ [/mm] reicht (also einmal die Leere Menge)? [ok]

Ja, ist ja dasselbe, ich hatte es nur versucht, ganz klein-klein aufzuschreiben, damit klar ist, dass aus der Menge $A$ nur die 1 ein Urbild hat, der Rest eben nicht ...

> Bei anderen Aufgaben musste ich nämlich die Menge unendlich oft mit der leeren Menge vereinigen... da bin ich etwas  verwirrt...

Hmm... ich auch ohne die Aufgaben zu kennen ;-)

>  lg moerni

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
messbare Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 Di 16.02.2010
Autor: moerni

supi, vielen Dank :-)

Bezug
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