meßbarkeit der ableitung < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Sa 29.07.2006 | | Autor: | omikron |
| Aufgabe | | Zeige: ist f: [mm] \IR \to \IR [/mm] differenzierbar, so ist f' meßbar. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hallo, bei dieser aufgabe, bei der man die meßbarkeit der ableitung zeigen soll, stehe ich irgendwie auf dem schlauch.
bisher habe ich mir überlegt, dass f meßbar ist, da f diffbar ist und somit auch stetig.
wenn f stetig diffbar wäre, dann ist ja auch f' stetig und wäre somit auch meßbar, da das urbild einer offenen menge über einer stetigen abbildung wieder offen ist und die offenen mengen erzeugen die borel [mm] \sigma [/mm] -algebra und da die struktur des erzeugers erhalten bleibt, folgt die meßbarkeit.
hoffe das ist soweit richtig?!
jetzt weiß ich aber nicht was in dem falle ist, in dem f' nicht stetig ist? wie komme ich dann an die meßbarkeit?
für einen tipp oder hilfestellung wäre ich sehr dankbar.
schönen gruß, omikron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mi 02.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo omikron!
> Zeige: ist f: [mm]\IR \to \IR[/mm] differenzierbar, so ist f'
> meßbar.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> hallo, bei dieser aufgabe, bei der man die meßbarkeit der
> ableitung zeigen soll, stehe ich irgendwie auf dem
> schlauch.
> bisher habe ich mir überlegt, dass f meßbar ist, da f
> diffbar ist und somit auch stetig.
> wenn f stetig diffbar wäre, dann ist ja auch f' stetig und
> wäre somit auch meßbar, da das urbild einer offenen menge
> über einer stetigen abbildung wieder offen ist und die
> offenen mengen erzeugen die borel [mm]\sigma[/mm] -algebra und da
> die struktur des erzeugers erhalten bleibt, folgt die
> meßbarkeit.
> hoffe das ist soweit richtig?!
Ja. Nur ist das gerade der einfache Fall, der schwere (Ableitung nicht stetig) geht damit (oder mit etwas Aehnlichem) nicht...
Versuch es doch mal wie folgt:
Definiere Funktionen [mm] $f_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \frac{f(x + 1/n) - f(x)}{1/n}$. [/mm] Fuer ein festes $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $f_n(x) \to [/mm] f'(x)$ fuer $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 04.08.2006 | | Autor: | omikron |
hallo felix, vielen dank für deine antwort!
ich habe mir deinen tipp angesehen und habe mir auch etwas überlegt, und zwar:
den beweis möchte ich letztendlich auf folgendem satz, den ich bei bauer "maß u. integrationstheorie" gefunden habe stützen:
ist [mm] f_{n} [/mm] folge meßbarer funktionen und konvergiert [mm] f_{n} [/mm] punktweise auf der Grundmenge (hier [mm] \IR), [/mm] existiert also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n} [/mm] (x) in [mm] \IR [/mm] für alle x [mm] \in \IR, [/mm] so ist auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n} [/mm] meßbar.
$ [mm] f_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] $ $ x [mm] \mapsto \frac{f(x + 1/n) - f(x)}{1/n} [/mm] $ und da f diffbar ist, konvergiert [mm] f_{n} [/mm] punktweise und zwar gegen f' und das für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Um den Satz anwenden zu können muss jetzt noch gezeigt werden, dass [mm] f_{n} [/mm] meßbar ist für alle n.
[mm] f_{n} [/mm] besteht aber aus {f(x + 1/n) - f(x)}{1/n} und da f in allen [mm] x\in \IR [/mm] stetig und somit meßbar ist und x+ 1/n [mm] \in \IR [/mm] für alle n ist, ist auch die differenz {f(x + 1/n) - f(x)} meßbar und nach einem satz ist jede konstante funktion meßbar und für jedes n ist 1/n konstant und somit meßbar.
weiterhin ist, wenn g und f meßbar sind auch g*f meßbar und somit
{f(x + 1/n) - f(x)}{1/n} = [mm] f_{n} [/mm] meßbar als zusammensetzung von meßbaren funktionen.
da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = f'(x) für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt, folgt nach dem obigen satz die behauptung.
das ist soweit meine überlegung.
wäre super wenn du dir das vielleicht ansehen kannst und mir sagst was du meinst.
danke
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Hallo!
Sieht alles sehr in Ordnung aus! :ok:
Nur um es nochmal zusammenzufassen:
Zuerst zeigst Du, daß die folge der differenzenquotienten meßbar ist. Aus der voraussetzung weißt Du, daß diese folge punktweise gegen die ableitung konvergiert und mit dem satz, daß punktweiser limes meßbarer funktionen wieder meßbar ist, folgt die meßbarkeit der ableitung.
Gruß,
Christian
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