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| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum, $x [mm] \in [/mm] X, [mm] A\subset [/mm] X$ und [mm] $\overline{A}$ [/mm] der Abschluss von $A$ in $X$.
Zeige: [mm] $\inf\{d(x,a)|a\in A\}=\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\}.$ [/mm] |
Hallo,
ich habe mal einfach folgendes geschrieben:
Sei $a [mm] \in \overline{A}$. [/mm] Dann ist $A$ ein Häufungspunkt von $A$. Angenommen $a [mm] \notin [/mm] A$. Dann gibt es in jeder Umgebung von $a$ Punkte aus $A$. Angenommen also [mm] $\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\} \geq \inf\{d(x,a)|a\in A\}$.
[/mm]
Dann gilt doch (wegen des vorangegangenen Satzes) [mm] $\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\}=$\inf{d(x,a)+\varepsilon|a \in A \wedge \varepsilon >0\}=$\inf\{d(x,a)|a \in A\}.$
[/mm]
Wäre hingegen [mm] $\inf\{d(x,a)|a\in A\}\geq\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\}$, [/mm] so ersetze man oben den Teil [mm] $+\varepsilon$ [/mm] durch [mm] $-\varepsilon$ [/mm] und es folgt die Behauptung.
Ich würde das als richtig einstufen. Oder sieht jemand Probleme. Kann man es vielleicht noch schöner machen?
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> Sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm]x \in X, A\subset X[/mm] und
> [mm]\overline{A}[/mm] der Abschluss von [mm]A[/mm] in [mm]X[/mm].
> Zeige: [mm]\inf\{d(x,a)|a\in A\}=\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe mal einfach folgendes geschrieben:
> Sei [mm]a \in \overline{A}[/mm]. Dann ist [mm]A[/mm] ein Häufungspunkt von
> [mm]A[/mm]. Angenommen [mm]a \notin A[/mm]. Dann gibt es in jeder Umgebung
> von [mm]a[/mm] Punkte aus [mm]A[/mm]. Angenommen also [mm]\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\} \geq \inf\{d(x,a)|a\in A\}[/mm].
>
> Dann gilt doch (wegen des vorangegangenen Satzes)
> [mm]\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\}=[/mm][mm] \inf{d(x,a)+\varepsilon|a \in A \wedge \varepsilon >0\}=[/mm]
> [mm]\inf\{d(x,a)|a \in A\}.[/mm]
> Wäre hingegen [mm]\inf\{d(x,a)|a\in A\}\geq\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\}[/mm],
> so ersetze man oben den Teil [mm]+\varepsilon[/mm] durch
> [mm]-\varepsilon[/mm] und es folgt die Behauptung.
>
> Ich würde das als richtig einstufen. Oder sieht jemand
> Probleme. Kann man es vielleicht noch schöner machen?
So richtig schlau werde ich aus deiner Argumentation nicht, auch wenn da vermutlich der richtige Gedanke hinter steckt.
[mm] \inf\{d(x,a)|a\in A\}\ge\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\} [/mm] ist klar, da rechts das Infimum über eine größere Menge gebildet wird.
Für die andere Richtung wähle zu [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] a_1\in\overline{A} [/mm] mit
[mm] d(x,a_1)<\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\}+\varepsilon/2 [/mm] (geht nach Def. des Infimums) und ein [mm] a_2\in [/mm] A mit
[mm] d(a_1,a_2)<\varepsilon/2 [/mm] (geht nach Def. des Abschlusses)
Es folgt [mm] d(x,a_2)<\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\}+\varepsilon
[/mm]
Da [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig war, folgt
[mm] \inf\{d(x,a)|a\in A\}\le\inf\{d(x,a)|a \in \overline{A}\}
[/mm]
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