metrik/offen bzw abgeschlossen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für A,B [mm] \subset \IR^n [/mm] sei A+B := { a+b;a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}. Beweise oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
a) A,B offen => A+B offen
B) A,B abgeschlossen => A+B abgeschlossen
C) A,B kompakt => A+B kompakt |
huhu,
Also ich bin etwas verwirrt. Die Definition hier ist NICHT die normale Definition der Vereinigung von Mengen oder?
Als Antworten hätte ich nach ein paar überlegungen gesagt, dass a) falsch ist, b) richtig und c) weiß ich noch nicht.
ich hab mir zu a) als Gegenbeispiel gedacht:
betrache A := [mm] (1-\varepsilon [/mm] , 1+ [mm] \varepsilon) [/mm] und B:= [mm] (\varepsilon,-\varepsilon)
[/mm]
dann wäre A+B := [1] eine abgeschlossene Menge
bei b, weiß ich nicht so recht. ich kenn den Beweis, wenns normale Vereinigung wäre, aber so..
c) ich denke mir, dass es falsch sein könnte, da bei A+B die Beschränktheit gefährdet sein könnte.
Lg,
Eve
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Di 01.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für A,B [mm]\subset \IR^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sei A+B := { a+b;a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}.
> Beweise oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
>
> a) A,B offen => A+B offen
> B) A,B abgeschlossen => A+B abgeschlossen
> C) A,B kompakt => A+B kompakt
> huhu,
>
> Also ich bin etwas verwirrt. Die Definition hier ist NICHT
> die normale Definition der Vereinigung von Mengen oder?
Nein. A+B ist doch oben def.
> Als Antworten hätte ich nach ein paar überlegungen
> gesagt, dass a) falsch ist, b) richtig und c) weiß ich
> noch nicht.
> ich hab mir zu a) als Gegenbeispiel gedacht:
> betrache A := [mm](1-\varepsilon[/mm] , 1+ [mm]\varepsilon)[/mm] und B:=
> [mm](\varepsilon,-\varepsilon)[/mm]
Du meinst wohl
B:= [mm](-\varepsilon,\varepsilon)[/mm]
>
> dann wäre A+B := [1] eine abgeschlossene Menge
Das stimmt nicht. Für [mm] \varepsilon [/mm] =2 ist 0 [mm] \in [/mm] A+B
>
> bei b, weiß ich nicht so recht. ich kenn den Beweis, wenns
> normale Vereinigung wäre, aber so..
>
> c) ich denke mir, dass es falsch sein könnte, da bei A+B
> die Beschränktheit gefährdet sein könnte.
Wann A und B beschränkt sin, so ist auch A+B beschränkt !!
FRED
>
>
> Lg,
>
> Eve
|
|
|
| |
|
hi,
vlt zu a) ein anderes, simpleres Gegenbeispiel:
A:= (-1,-3) B:= (1,3) wäre dann nicht A+B := [0]?
zu b)
indirekt:
angenommen, A+B wäre offen, dann würde A+B nur aus inneren Punkten bestehen, spricht [mm] U_\varepsilon [/mm] (a+b) [mm] \subset [/mm] A+B,inbesondere also [mm] U_\varepsilon [/mm] (a+b) [mm] \cap [/mm] ( [mm] \IR^n [/mm] \ A+B ) = [mm] \emptyset
[/mm]
Nach Vorrausetzung sind A und B aber abgeschlossene Mengen, d.h. A bzw. B enthält all seine Randpunkte, für die gilt mit [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig:
[mm] U_\varepsilon [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
[mm] U_\varepsilon [/mm] (a) [mm] \cap (\IR^n [/mm] \ A) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
bzw.
[mm] U_\varepsilon [/mm] (b) [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset
[/mm]
[mm] U_\varepsilon [/mm] (b) [mm] \cap (\IR^n [/mm] \ B) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Soweit sogut, ab hier könnte es etwas holprig sein:
Daraus folgt, dass
[mm] U_\varepsilon [/mm] (b) [mm] \cap (\IR^n [/mm] \ B) + [mm] U_\varepsilon [/mm] (a) [mm] \cap (\IR^n [/mm] \ A) [mm] \not= \emptyset [/mm] = [mm] U_\varepsilon [/mm] (a+b) [mm] \cap [/mm] ( [mm] \IR^n [/mm] \ A+B )
=> Widerspruch. A+B muss abgeschlossen sein!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Evelyn,
> vlt zu a) ein anderes, simpleres Gegenbeispiel:
> A:= (-1,-3) B:= (1,3) wäre dann nicht A+B := [0]?
Wenn du $A=(-3,-1)$ meinst: Nein.
[mm] $A+B=\{a+b\;|\;a\in(-3,-1), b\in(1,3)\}=(-2,2)$
[/mm]
> zu b)
> indirekt:
>
> angenommen, A+B wäre offen,
Das Gegenteil von abgeschlossen ist NICHT offen (sondern "nicht abgeschlossen"). Es gibt sowohl Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, als auch Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind.
> dann würde A+B nur aus
> inneren Punkten bestehen, spricht [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b)
> [mm]\subset[/mm] A+B [mm] $\red{\text{für ein }\varepsilon>0}$,inbesondere [/mm] also [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\cap[/mm] (
> [mm]\IR^n[/mm] \ A+B ) = [mm]\emptyset[/mm]
Soweit korrekt.
> Nach Vorrausetzung sind A und B aber abgeschlossene Mengen,
> d.h. A bzw. B enthält all seine Randpunkte, für die gilt
> mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig:
> [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm]
> [mm]U_\varepsilon[/mm] (a)
> [mm]\cap (\IR^n[/mm] \ A) [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> bzw.
> [mm]U_\varepsilon[/mm] (b) [mm]\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset[/mm]
> [mm]U_\varepsilon[/mm]
> (b) [mm]\cap (\IR^n[/mm] \ B) [mm]\not= \emptyset[/mm]
Wenn a und b Randpunkte von A bzw. B sind: Ja.
> Daraus folgt, dass
>
> [mm]U_\varepsilon[/mm] (b) [mm]\cap (\IR^n[/mm] \ B) + [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\cap (\IR^n[/mm]
> \ A) [mm]\not= \emptyset[/mm] = [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\cap[/mm] ( [mm]\IR^n[/mm] \
> A+B )
Ja.
> => Widerspruch.
Worin besteht ein Widerspruch?
> A+B muss abgeschlossen sein!
Wie am Anfang schon erwähnt: Du hättest nur gezeigt, dass $A+B$ nicht offen ist. Deshalb muss $A+B$ noch lange nicht abgeschlossen sein.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
ah verdammt, ich dachte wenigstens die b wäre richtig..
zu a) fällt mir ehrlich gesagt kein Beispiel mehr ein.
b) ich hab doch auch gezeigt, dass das Komplement von (A+B) offen sein muss oder? Das impliziert doch die Abgeschlossenheit von A+B
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> zu a) fällt mir ehrlich gesagt kein Beispiel mehr ein.
Das ist auch gut so, denn a) ist zu beweisen! 
> b) ich hab doch auch gezeigt, dass das Komplement von
> (A+B) offen sein muss oder?
Warum das?
> Das impliziert doch die
> Abgeschlossenheit von A+B
Das würde dann in der Tat die Abgeschlossenheit von $A+B$ implizieren.
Ich verrate dir jetzt mal, dass b) zu widerlegen ist.
Betrachte z.B. mal [mm] $A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}$ [/mm] und [mm] $B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
oohhhh man, da mach ich mir soviel Mühe für ne ganz falsche Richtung ;P
> > zu a) fällt mir ehrlich gesagt kein Beispiel mehr ein.> Betrachte z.B. mal [mm]A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm] und
> [mm]B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm].
dann wäre A+B ja [mm] (\bruch{1}{n}) [/mm] bei n größer 2 wäre das halt eine Zahl [mm] \in \IQ. [/mm] sind diese immer offen?
edit: ach sry, oder meinst du ,dass 0 offen ist?^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > > zu a) fällt mir ehrlich gesagt kein Beispiel mehr ein.>
> Betrachte z.B. mal [mm]A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm] und
> > [mm]B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm].
Dieses Beispiel sollte sich auf b) beziehen. Aussage a) sollst du ja beweisen und nicht widerlegen.
> dann wäre A+B ja [mm](\bruch{1}{n})[/mm]
Nein, A+B besteht nicht nur aus diesen Brüchen. Aber diese Brüche gehören zu A+B, was dir entscheidend weiterhilft zu zeigen, dass A+B nicht abgeschlossen ist...
> bei n größer 2 wäre das
> halt eine Zahl [mm]\in \IQ.[/mm]
> sind diese immer offen?
Offen oder nicht offen können TEILMENGEN von [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^n$ [/mm] sein, nicht einzelne Elemente.
|
|
|
| |
|
> > Betrachte z.B. mal [mm]A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm] und
> > > [mm]B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm].
sry ich steh aufm Schlauch. Wie sieht denn A+B dann aus? müsste es nicht
A+B := { [mm] n+\bruch{1}{n}-n [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 2} ?
>
zu a)
A, B offen : => A und B enthalten jeweils nur innere Punkte, d.h. [mm] U_\varepsilon [/mm] (a) [mm] \subset [/mm] A, [mm] U_\varepsilon [/mm] (b) [mm] \subset [/mm] B
zu zeigen wäre dann
[mm] U_\varepsilon [/mm] (a+b) [mm] \subset [/mm] A+B
ich versuchs immer irgendwie über indirekten Beweis:
vlt so:
Annahme : [mm] U_\varepsilon [/mm] (a+b) [mm] \cap (\IR^n [/mm] \ A+B) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
dann enthält A+B all seine Häufungspunkte. In jeder der [mm] U_\varepsilon [/mm] (HP) liegen unendlich viele Elemente.
Doch in A und in B liegen in jeder [mm] U_\varepsilon [/mm] nur endliche Elemente. endlich + endlich ist nicht unendlich Widerspruch -> A+B muss offen sein
so in etwa?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > > Betrachte z.B. mal [mm]A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm] und
> > > > [mm]B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
> sry ich steh aufm Schlauch. Wie sieht denn A+B dann aus?
> müsste es nicht
> A+B := $\{$ [mm]n+\bruch{1}{n}-n[/mm] : n [mm]\in \IN[/mm] , n [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2$\}$ ?
Nein.
$A+B=\{n+\bruch1n-m\;|\;n,m\in\IN,\;n,m\ge2\}$
Zugegebenermaßen nicht sehr übersichtlich. Aber die entscheidenden Eigenschaften sind:
1. $\bruch1n\in A+B$ für alle $n\in\IN$ mit $n\ge 2$
2. $0\not\in A+B$ (denn alle Elemente von $A+B$ sind keine ganzen Zahlen)
Kann $A+B$ also abgeschlossen sein? Abgeschlossenheit einer Teilmenge $C\subseteq\IR$ (oder auch $C\subseteq\IR^n$) ist ja gleichbedeutend mit der Bedingung, dass der Limes jeder konvergenten Folge von Werten aus $C$ wieder in $C$ liegt.
Sind $A$ und $B$ abgeschlossen?
> zu a)
>
> A, B offen : => A und B enthalten jeweils nur innere
> Punkte, d.h. [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\subset[/mm] A, [mm]U_\varepsilon[/mm] (b)
für geeignete [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] A$, [mm] $b\in [/mm] B$
> [mm]\subset[/mm] B
> zu zeigen wäre dann
die Existenz eines [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit
> [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\subset[/mm] A+B
Guter Ansatz!
Zeige [mm] $U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\}\subseteq [/mm] A+B$.
> ich versuchs immer irgendwie über indirekten Beweis:
> vlt so:
>
> Annahme : [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\cap (\IR^n[/mm] \ A+B) [mm]\not= \emptyset[/mm]
für alle [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
> dann enthält A+B all seine Häufungspunkte.
Warum sollte das gelten?
> In jeder der
> [mm]U_\varepsilon[/mm] (HP) liegen unendlich viele Elemente.
> Doch in A und in B liegen in jeder [mm]U_\varepsilon[/mm] nur
> endliche Elemente.
Nein. Jeder Epsilonball im [mm] $\IR^n$ [/mm] enthält unendlich viele Elemente.
|
|
|
| |
|
> > > > Betrachte z.B. mal [mm]A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm] und
> > > > > [mm]B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm].
> > sry ich steh aufm Schlauch. Wie sieht denn A+B dann
> aus?
> > müsste es nicht
> > A+B := [mm]\{[/mm] [mm]n+\bruch{1}{n}-n[/mm] : n [mm]\in \IN[/mm] , n [mm]\ge[/mm] 2[mm]\}[/mm] ?
> Nein.
>
> [mm]A+B=\{n+\bruch1n-m\;|\;n,m\in\IN,\;n,m\ge2\}[/mm]
>
> Zugegebenermaßen nicht sehr übersichtlich. Aber die
> entscheidenden Eigenschaften sind:
> 1. [mm]\bruch1n\in A+B[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n\ge 2[/mm]
> 2.
> [mm]0\not\in A+B[/mm] (denn alle Elemente von [mm]A+B[/mm] sind keine ganzen
> Zahlen)
>
> Kann [mm]A+B[/mm] also abgeschlossen sein? Abgeschlossenheit einer
> Teilmenge [mm]C\subseteq\IR[/mm] (oder auch [mm]C\subseteq\IR^n[/mm]) ist ja
> gleichbedeutend mit der Bedingung, dass der Limes jeder
> konvergenten Folge von Werten aus [mm]C[/mm] wieder in [mm]C[/mm] liegt.
>
> Sind [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] abgeschlossen?
>
Ahhh, m und n statt n und n^^ für n [mm] \to \infty [/mm] wäre 0 ja ein Wert bei der Teilfolge [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] der Nicht in A+B liegt, daher gibt es eine konvergente TeilFolge, die gegen ein c [mm] \not\in [/mm] C konvergiert.
> > zu a)
> >
> > A, B offen : => A und B enthalten jeweils nur innere
> > Punkte, d.h. [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\subset[/mm] A, [mm]U_\varepsilon[/mm]
> (b)
> für geeignete [mm]\varepsilon>0[/mm] für alle [mm]a\in A[/mm], [mm]b\in B[/mm]
>
> > [mm]\subset[/mm] B
> > zu zeigen wäre dann
> die Existenz eines [mm]\varepsilon>0[/mm] mit
> > [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\subset[/mm] A+B
>
> Guter Ansatz!
zumindest etwas :P
> Zeige [mm]U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\}\subseteq A+B[/mm].
>
gilt [mm] U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\}, [/mm] weil b selbst natürlich in der [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von sich selbst liegt? und dann [mm] U_\varepsilon(A) [/mm] sozusagen ein beliebiges a [mm] \in [/mm] A ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ahhh, m und n statt n und n^^ für n [mm]\to \infty[/mm] wäre 0 ja
> ein Wert bei der Teilfolge [mm]\bruch{1}{n},[/mm] der Nicht in A+B
> liegt, daher gibt es eine konvergente TeilFolge, die gegen
> ein c [mm]\not\in[/mm] C konvergiert.
Nicht lehrbuchreif aufgeschrieben, aber ich glaube, du hast die Argumentation verstanden.
Da A und B als diskrete Mengen abgeschlossen sind und A+B nicht abgeschlossen ist, wie du gerade begründet hast, ist Aussage b) widerlegt.
> > > zu a)
> > >
> > > A, B offen : => A und B enthalten jeweils nur innere
> > > Punkte, d.h. [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\subset[/mm] A, [mm]U_\varepsilon[/mm]
> > (b)
> > für geeignete [mm]\varepsilon>0[/mm] für alle [mm]a\in A[/mm], [mm]b\in B[/mm]
>
> >
> > > [mm]\subset[/mm] B
> > > zu zeigen wäre dann
> > die Existenz eines [mm]\varepsilon>0[/mm] mit
> > > [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\subset[/mm] A+B
> >
> > Guter Ansatz!
> zumindest etwas :P
> > Zeige [mm]U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\}\subseteq A+B[/mm].
>
> >
> gilt [mm]U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\},[/mm]
> weil b selbst natürlich in der [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung von
> sich selbst liegt? und dann [mm]U_\varepsilon(A)[/mm] sozusagen ein
> beliebiges a [mm]\in[/mm] A ist?
Nein.
Sorry, ich habe mich vertippt: Es hätte natürlich [mm] $U_\varepsilon(a)$ [/mm] anstelle von [mm] $U_\varepsilon(A)$ [/mm] heißen müssen.
Nehmen wir mal die erste der beiden Inklusionen (Teilmengenbeziehungen):
Sei [mm] $x\in U_\varepsilon(a+b)$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $U_\varepsilon(a)+\{b\}$.
[/mm]
Wegen [mm] $x\in U_{\varepsilon}(a+b)$ [/mm] gilt [mm] $||x-(a+b)||<\varepsilon$, [/mm] also [mm] $||(x-b)-a||<\varepsilon$. [/mm] Also gilt [mm] $x-b\in U_\varepsilon(a)$. [/mm] Also tatsächlich [mm] $x=(x-b)+b\in U_\varepsilon(a)+\{b\}$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
> > Ahhh, m und n statt n und n^^ für n [mm]\to \infty[/mm] wäre 0 ja
> > ein Wert bei der Teilfolge [mm]\bruch{1}{n},[/mm] der Nicht in A+B
> > liegt, daher gibt es eine konvergente TeilFolge, die gegen
> > ein c [mm]\not\in[/mm] C konvergiert.
> Nicht lehrbuchreif aufgeschrieben, aber ich glaube, du
> hast die Argumentation verstanden.
>
> Da A und B als diskrete Mengen abgeschlossen sind und A+B
> nicht abgeschlossen ist, wie du gerade begründet hast, ist
> Aussage b) widerlegt.
>
>
> > > > zu a)
> > > >
> > > > A, B offen : => A und B enthalten jeweils nur innere
> > > > Punkte, d.h. [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\subset[/mm] A, [mm]U_\varepsilon[/mm]
> > > (b)
> > > für geeignete [mm]\varepsilon>0[/mm] für alle [mm]a\in A[/mm], [mm]b\in B[/mm]
>
> >
> > >
> > > > [mm]\subset[/mm] B
> > > > zu zeigen wäre dann
> > > die Existenz eines [mm]\varepsilon>0[/mm] mit
> > > > [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\subset[/mm] A+B
> > >
> > > Guter Ansatz!
> > zumindest etwas :P
> > > Zeige [mm]U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\}\subseteq A+B[/mm].
>
> >
> > >
> > gilt [mm]U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\},[/mm]
> > weil b selbst natürlich in der [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung von
> > sich selbst liegt? und dann [mm]U_\varepsilon(A)[/mm] sozusagen ein
> > beliebiges a [mm]\in[/mm] A ist?
> Nein.
>
> Sorry, ich habe mich vertippt: Es hätte natürlich
> [mm]U_\varepsilon(a)[/mm] anstelle von [mm]U_\varepsilon(A)[/mm] heißen
> müssen.
>
> Nehmen wir mal die erste der beiden Inklusionen
> (Teilmengenbeziehungen):
>
> Sei [mm]x\in U_\varepsilon(a+b)[/mm]. Zu zeigen ist
> [mm]U_\varepsilon(a)+\{b\}[/mm].
>
> Wegen [mm]x\in U_{\varepsilon}(a+b)[/mm] gilt
> [mm]||x-(a+b)||<\varepsilon[/mm], also [mm]||(x-b)-a||<\varepsilon[/mm]. Also
> gilt [mm]x-b\in U_\varepsilon(a)[/mm]. Also tatsächlich
> [mm]x=(x-b)+b\in U_\varepsilon(a)+\{b\}[/mm].
[mm] U_{\varepsilon}(b) [/mm] + {a}
[mm] U_{\varepsilon}(a+b) [/mm] => || x-(a+b)|| < [mm] \varepsilon, [/mm] ||x-a-b|| = ||(x-a)-b|| < [mm] \varepsilon [/mm] => x-a [mm] \in U_{\varepsilon}(b)
[/mm]
x = (x-a) + a [mm] \in U_{\varepsilon}(b) [/mm] + {a}
omg das sieht so einfach aus ;P Zwar selbst nix hingekriegt aber dank dir hab ichs auf jeden Fall verstanden .. ^^
Lg und vielen Dank
Eve
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]U_{\varepsilon}(b)[/mm] + {a}
> [mm]U_{\varepsilon}(a+b)[/mm] => || x-(a+b)|| < [mm]\varepsilon,[/mm]
> ||x-a-b|| = ||(x-a)-b|| < [mm]\varepsilon[/mm] => x-a [mm]\in U_{\varepsilon}(b)[/mm]
>
> x = (x-a) + a [mm]\in U_{\varepsilon}(b)[/mm] + {a}
Was tust du da?
(Es steht noch aus, [mm] $U_\varepsilon(a)+\{b\}\subseteq [/mm] A+B$ zu begründen.)
> omg das sieht so einfach aus ;P Zwar selbst nix hingekriegt
Der korrekte Ansatz stammte sehr wohl von dir...
|
|
|
| |
|
> (Es steht noch aus, [mm]U_\varepsilon(a)+\{b\}\subseteq A+B[/mm] zu
> begründen.)
>
reicht hier eine argumentative Begründung..?^^
bzw muss ich [mm] U_\varepsilon(a)+\{b\} [/mm] auf {a}+{b} bringen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> reicht hier eine argumentative Begründung..?^^
Eine Begründung mit stichhaltigen Argumenten genügt eigentlich immer... 
> bzw muss ich [mm]U_\varepsilon(a)+\{b\}[/mm] auf {a}+{b} bringen?
Nimm dir ein Element von [mm] $x\in U_\varepsilon(a)+b$ [/mm] und zeige [mm] $x\in [/mm] A+B$.
Vergiss dabei nicht, [mm] $U_\varepsilon(a)\subseteq [/mm] A$ ins Spiel zu bringen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Di 01.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> > [mm]U_{\varepsilon}(b)[/mm] + {a}
> > [mm]U_{\varepsilon}(a+b)[/mm] => || x-(a+b)|| < [mm]\varepsilon,[/mm]
> > ||x-a-b|| = ||(x-a)-b|| < [mm]\varepsilon[/mm] => x-a [mm]\in U_{\varepsilon}(b)[/mm]
>
> >
> > x = (x-a) + a [mm]\in U_{\varepsilon}(b)[/mm] + {a}
> Was tust du da?
Ich denke mal, Eve will die Voraussetzung, daß $B$ offen ist, ins Spiel bringen.
Dies ist aber gar nicht nötig, da $A+B$ schon offen ist, wenn nur $A$ offen ist, denn dann ist [mm] $A+\{b\}$ [/mm] für jedes [mm] $b\in [/mm] B$ offen, wie schon Tobias gezeigt hat, und $A+B$ ist als Vereinigung offener Mengen auch offen.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
|
