metrischer Raum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Mila007 |
| Aufgabe | Sei X = [mm] \IR^{2}. [/mm] der Abstand zwischen p = (x1, y1) und q = (x2,y2) ist definiert durch
d(p,q) [mm] =\begin{cases} |y1 - y2| falls x1=x2, & \mbox{für } |y1|+|y2|+|x1-x2| falls x1 \not= x2 \end{cases}
[/mm]
zz. [mm] (\IR^{2},d) [/mm] ist ein metrischer Raum. |
Hallo,
bei der Aufgabe soll ich zeigen dass es ein m.R ist. Ich hab also positiv definit, symmetrie und Dreiecksungleichung gezeigt.
Nur weiß ich jetzt nicht wie ich die Symmetrie und die Dreiecksungleichung bei |y1|+|y2|+|x1-x2| zeigen soll. das |x1-x2| verwirrt mich. ich kann es doch nicht einfach zu |y1+y2+x1-x2| zusammenfassen oder?
lg, Mila
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mila,
> Sei X = [mm]\IR^{2}.[/mm] der Abstand zwischen p = [mm] (x_1, y_1) [/mm] und q = [mm] (x_2,y_2) [/mm] ist definiert durch
> d(p,q) [mm]=\begin{cases} |y_1 - y_2|, \text{ falls }x_1=x_2, \\ |y_1|+|y_2|+|x_1-x_2|, \text{ falls } x_1 \not= x_2 \end{cases}[/mm]
>
> zz. [mm](\IR^{2},d)[/mm] ist ein metrischer Raum.
> Hallo,
> bei der Aufgabe soll ich zeigen dass es ein m.R ist. Ich
> hab also positiv definit, symmetrie und Dreiecksungleichung
> gezeigt.
Du meinst: Du hast das ZU ZEIGEN. Denn gezeigt hast Du noch gar nichts.
Hast Du denn die Definitheit? Klar ist, dass stets $d(p,q) [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Ebenso klar ist,
dass [mm] $d((0,0),(0,0))=|0-0|=0\,.$ [/mm]
Nicht ganz so klar:
Aus [mm] $d(p,q)=d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=0$ [/mm] folgt auch [mm] $p=q\,,$ [/mm] also [mm] $x_1=y_1$ [/mm] und [mm] $x_2=y_2\,.$
[/mm]
Beweis dafür?
> Nur weiß ich jetzt nicht wie ich die Symmetrie und die
> Dreiecksungleichung bei [mm] |y_1|+|y_2|+|x_1-x_2| [/mm] zeigen soll. das
> [mm] |x_1-x_2| [/mm] verwirrt mich. ich kann es doch nicht einfach zu
> [mm] |y_1+y_2+x_1-x_2| [/mm] zusammenfassen oder?
Ich habe mal beim Zitieren das Zeugs überhaupt (etwas) leserlicher
umgeschrieben (schreibe bitte wenigstens $x_1$ anstatt x1, das
ist echt grauenhaft zu lesen - weiter kannst Du Dich mal genauer drüber
informieren, wie der Formeleditor funktioniert: www.matheraum.de/mm).
Die Symmetrie ist eigentlich ziemlich klar:
Wie sehen denn, rein per Definitionem
[mm] $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))$
[/mm]
(das ist ja nur eine C&P-Aufgabe)
und
[mm] $d((x_2,y_2),(x_1,y_1))$
[/mm]
(hier musst Du ein paar kleine Änderungen nach C&P bei den Indizes
vornehmen!)
aus??
Hinschreiben und vergleichen! Dann siehst Du, dass Du die Symmetrie aus
der Kenntnis [mm] $|a-b|=|b-a|\,$ [/mm] - für alle $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] - sofort folgern kannst.
Bei der Dreiecksungleichung nimmst Du halt erstmal $p,q,r [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit
[mm] $p=(x_1,y_1),\;q=(x_2,y_2)$ [/mm] und [mm] $r=(x_3,y_3)$ [/mm] her. Dann solltest Du halt auch
Fallunterscheidungen treffen (und zudem beachten, dass Du in
[mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] - ausgestattet mit [mm] $d_{|.|}(r,s):=|r-s|$ [/mm] für alle $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] - bereits
die Dreiecksungleichung benutzen darfst!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Mila007 |
Hallo Marcel,
danke für deine Antwort.
für d(p,q) = [mm] |y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}| [/mm] habe ich bereits gezeigt, dass positiv definitheit, symmetrie und Dreiecksungleich gilt. (Hab es nur nicht nochmal extra hier aufgeschrieben, weil es sonst so lange dauert ;))
auch für d(p,q) = [mm] |y_{1} [/mm] |+ [mm] |y_{2}| +|x_{1}-x_{2}| [/mm] habe ich die positive definitheit und jetzt auch die symmetrie gezeigt. Nur bei der Dreiecksungleichung weiß ich nicht wie ich die zeigen soll.
ich hätte die nämlich so gezeigt:
d(p,q) = [mm] |y_{1} [/mm] |+ [mm] |y_{2}| +|x_{1}-x_{2}| [/mm] = [mm] |y_{1} [/mm] |+ [mm] |y_{2}| [/mm] + [mm] |y_{3}-y_{3}| +|x_{1}-x_{2}| [/mm] + [mm] |x_{3}-x_{3}| \le |y_{1} [/mm] + [mm] y_{2} [/mm] + [mm] y_{3}-y_{3} +x_{1}-x_{2} [/mm] + [mm] x_{3}-x_{3}| [/mm] = [mm] |y_{1}| +|y_{3}| +|x_{1}- x_{3}| [/mm] + |- [mm] y_{3}|+|y_{2}|+|x_{3}-x_{2}| [/mm] = d(p,z)+d(z,q)
aber das - dürfte da ja nicht dort stehen :/
Grüße, Mila
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke für deine Antwort.
>
> für d(p,q) = [mm]|y_{1}[/mm] - [mm]y_{2}|[/mm] habe ich bereits gezeigt,
> dass positiv definitheit, symmetrie und Dreiecksungleich
> gilt. (Hab es nur nicht nochmal extra hier aufgeschrieben,
> weil es sonst so lange dauert ;))
aber [mm] $d\,$ [/mm] ist so nicht definiert. Du verstehst ja anscheinend die Definition
von [mm] $d\,$ [/mm] nicht?
> auch für d(p,q) = [mm]|y_{1}[/mm] |+ [mm]|y_{2}| +|x_{1}-x_{2}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
habe
> ich die positive definitheit
Ich würde gerne mal die Rechnung zur Definitheit sehen! Mich interessiert
immer noch, wie Du
$$d(p,q)=d((x_1,y_1),\,(x_2,y_2))=0\;\;\;\;\;\; \Longrightarrow\;\;\;\;\;\; p=q$$
folgerst!
> und jetzt auch die symmetrie
> gezeigt. Nur bei der Dreiecksungleichung weiß ich nicht
> wie ich die zeigen soll.
Menschenskind: Es ist
$$d(p,q):=\begin{cases} |y_1 - y_2|, \text{ falls }x_1=x_2, \\ |y_1|+|y_2|+|x_1-x_2|, \text{ falls } x_1 \not= x_2 \end{cases}$$
für $p=(x_1,y_1)$ und $q=(x_2,y_2)\,.$
Dann ist rein per Definitionem für $p,q\,$ wie oben auch
$$d(q,p):=\begin{cases} |y_2 - y_1|, \text{ falls }x_2=x_1, \\ |y_2|+|y_1|+|x_2-x_1|, \text{ falls } x_2 \not= x_1 \end{cases}$$
Die Symmetrie $d(p,q)=d(q,p)\,$ erkennt man jetzt quasi (fast) durch
hinsehen (Symmetrie des Betrages und meinetwegen sogar die Symmetrie
von $=\,$ bzw. $\not=$ benutzen - und Kommutativität der Addition in $\IR$!).
Du kannst das auch ein wenig "umständlich" machen und es so
nachrechnen (es ist eigentlich umständlich, aber vielleicht hilft es ja doch,
das Ganze mal genauer zu verstehen, um das es hier geht):
Seien $p,q \in \IR^2$ mit $p=(x_1,y_1)$ und $q=(x_2,y_2)\,.$
1. Fall: Falls $x_1=x_2$ ist, so ist $d(p,q)=|y_1-y_2|\,.$ Aus $x_1=x_2$ folgt auch
$x_2=x_1\,,$ also ist $d(q,p)=|y_2-y_1|\,.$ Wegen $|y_1-y_2|=|y_2-y_1|$ folgt
in diesem Fall also $d(p,q)=d(q,p)\,.$
2, Fall: Falls $x_1 \not=x_2$ ist, so ist $d(p,q)=|y_1|+|y_2|+|x_1-x_2|\,.$ Da aus
$x_1 \not=x_2$ auch $x_2 \not=x_1$ folgt, ist rein per Definitionem also
$d(q,p)=|y_2|+|y_1|+|x_2-x_1|\,.$
Wegen der Kommutativität der Addition und weil $|x_2-x_1|=|x_1-x_2|$ gilt,
erhalten wir also auch in diesem Fall $d(p,q)=d(q,p)\,.$
(So, und nun mal für Dich:
Berechne mir mal bitte $d((3,7),\;(3,12))$ und $d((\pi,3),(3,\sqrt{2}))$!)
Und jetzt erneut: für die Dreiecksungleichung:
Seien $p=(x_1,y_1),\;q=(x_2,y_2)$ und $r=(x_3,y_3)\,.$
Du musst (besser: solltest!) hier Fallunterscheidungen machen
(vielleicht geht das auch mit Geschick tatsächlich ohne, aber mit
Fallunterscheidungen behältst Du mit Sicherheit überhaupt mal den
Überblick!).
Zu zeigen ist (in allen möglichen Fällen), dass
$$d(p,r) \le d(p,q)+d(q,r)\,$$
gilt.
1. Fall: Falls $x_1=x_3$ gilt, so ist sicherlich $d(p,r)=d((x_1,y_1),\;(x_3,y_3))=|y_1-y_3|\,.$
Jetzt unterscheide - in Unterfällen - die Fälle
$1.\;\alpha)$ $x_1 \not=x_2$
bzw.
$1.\;\beta)$ $x_1=x_2\,.$
(Beachte, dass aus $x_1=x_3$ und $x_1=x_2$ auch $x_2=x_3$ folgt (Fall $1.\;\beta)$)!
Im Falle $x_1=x_3$ und $x_1 \not=x_2$ (das ist der Fall $1.\;\alpha)$) kann zudem sicher
nicht $x_2=x_3$ gelten, weil...?)
2. Fall: Falls $x_1 \not=x_3$ ist, so ist $d(p,r)=d((x_1,y_1),\;(x_3,y_3))=|y_1|+|y_3|+|x_1-x_3|\,.$
Jetzt halt wieder analog Unterfälle hinschreiben!
P.S. Was Du da bei der Dreiecksungleichung eigentlich rechnen wolltest,
weiß ich nicht. Das ist einfach irgendetwas in den Raum geraten, mit den
Ausdrücken, die Du siehst. Warum Du meinen Hinweis bzgl. der
Fallunterscheidungen ignoriert hast, weiß ich zudem auch nicht. Und nach
wie vor:
Ich glaube, Du hast noch nichtmal die Definition von $d\,$ richtig
verstanden.
Bspw. wäre $d((\red{\textbf{3}},-4),(\green{\textbf{4}},5))=|-4|+|5|+|\red{\textbf{3}}-\green{\textbf{4}}|=10\,,$ weil $\red{\textbf{3}\;} \not=\green{\;\textbf{4}\$ gilt. Ferner
wäre $d((\textbf{\blue{4}},5),(\textbf{\black{4}},6))=|5-6|=1\,,$ weil halt $\textbf{\blue{4}}=\textbf{\black{4}}\,$ gilt.
Und denke gar nicht daran, wie man sich $d\,$ "anschaulich vorstellen" kann.
Das wird viel zu kompliziert und brauchst Du auch nicht. Arbeite einfach
rein per Definitionem von $d\,.$
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Mila007 |
Hallo,
es tut mir echt leid, wenn du dich wegen mir aufregst. Da ich es ja leider nicht wirklich verstehe, frage ich ja deshalb.
> Ich würde gerne mal die Rechnung zur Definitheit sehen!
> Mich interessiert
> immer noch, wie Du
> [mm]d(p,q)=d((x_1,y_1),\,(x_2,y_2))=0\;\;\;\;\;\; \Longrightarrow\;\;\;\;\;\; p=q[/mm]
>
> folgerst!
das habe ich wie gefolgt gezeigt:
1. Fall [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] und [mm] y_1 \not= y_2 [/mm]
d(p,q) => [mm] |y_1-y_2| \ge [/mm] 0 , wegen Betrag
2.Fall p = q
d(p,p) => [mm] |y_1-y_1|= [/mm] 0
3.Fall [mm] x_1 \not= x_2 [/mm] , dh p [mm] \not= [/mm] q
d(p,q) = [mm] |y_1| [/mm] + [mm] |y_2| [/mm] + [mm] |x_1-x_2| \ge [/mm] 0 , da [mm] |y_1| \ge [/mm] 0, [mm] |y_2| \ge [/mm] 0, und [mm] |x_1-x_2| \ge [/mm] 0
> (So, und nun mal für Dich:
> Berechne mir mal bitte [mm]d((3,7),\;(3,12))[/mm] und
> [mm]d((\pi,3),(3,\sqrt{2}))[/mm]!)
[mm] d((3,7),\;(3,12)) [/mm] = |7-12| = |-5| = 5
[mm] d((\pi,3),(3,\sqrt{2})) [/mm] = |3| + [mm] |\sqrt{2}| +|\pi [/mm] -3| = 4,55580....
Das mit der Fallunterscheidung werde ich jetzt probieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> es tut mir echt leid, wenn du dich wegen mir aufregst.
wie kommst Du darauf? Das tue ich nicht.
> Da
> ich es ja leider nicht wirklich verstehe, frage ich ja
> deshalb.
Eben deshalb rege ich mich nicht auf. Es geht mir drum, dass Du bitte
auch das beachtest und das umsetzt (umzusetzen versuchst), was ich
Dir als Hinweis gebe! Dass das vielleicht ein wenig "mit Nachdruck" ist,
mag ja sein. Aber aufregen tut's mich nicht! 
> > Ich würde gerne mal die Rechnung zur Definitheit sehen!
> > Mich interessiert
> > immer noch, wie Du
> > [mm]d(p,q)=d((x_1,y_1),\,(x_2,y_2))=0\;\;\;\;\;\; \Longrightarrow\;\;\;\;\;\; p=q[/mm]
>
> >
> > folgerst!
>
> das habe ich wie gefolgt gezeigt:
> 1. Fall [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] und [mm]y_1 \not= y_2[/mm]
> d(p,q) => [mm]|y_1-y_2| \ge[/mm] 0 , wegen Betrag
>
> 2.Fall p = q
> d(p,p) => [mm]|y_1-y_1|=[/mm] 0
>
> 3.Fall [mm]x_1 \not= x_2[/mm] , dh p [mm]\not=[/mm] q
> d(p,q) = [mm]|y_1|[/mm] + [mm]|y_2|[/mm] + [mm]|x_1-x_2| \ge[/mm] 0 , da [mm]|y_1| \ge[/mm]
> 0, [mm]|y_2| \ge[/mm] 0, und [mm]|x_1-x_2| \ge[/mm] 0
Das zeigt nur $d(p,q) [mm] \ge 0\,$ [/mm] und [mm] $d(p,p)=0\,,$ [/mm] was auch okay ist, man aber nach einem
kurzen Blick auf die Definition von [mm] $d\,$ [/mm] eh direkt als trivial ansieht. Aber
das macht nichts. Dass Du das nochmal ausführlicher kontrollierst, finde ich
sogar besser!
Aber:
Der Beweis zu [mm] $d(p,q)=d((x_1,y_1),\;(x_2,y_2))=0$ $\Rightarrow$ $p=q\,$
[/mm]
steht hier immer noch nicht!
Fange mal an mit:
Es sei [mm] $d((x_1,y_1),\;(x_2,y_2))=0\,.$ [/mm] Dann muss [mm] $x_1=x_2$ [/mm] sein, denn wäre
[mm] $x_1 \not=x_2\,,$ [/mm] so folgt [mm] $|x_1-x_2| [/mm] > 0$ und damit...
Also muss, wie gesagt, [mm] $x_1=x_2$ [/mm] sein. Dann liefert aber...
(P.S. Mit kleinen Modifikationen in Deiner Fallunterscheidung mit den 3 Fällen
oben hätte man auch den Beweis zu $d(p,q)=0$ [mm] $\Rightarrow$ $p=q\,$ [/mm] schneller:
Dafür müßtest Du nur im 1. und 3. Fall halt $d(p,q) [mm] \red{\;>\;}0$ [/mm] folgern...
Mach' Dir auch das mal bitte direkt klar!
P.P.S. Es ist schlecht, dass Du - bei der Fallunterscheidung mit den drei Fällen -
beim 3. Fall "d.h. $p [mm] \not=q$" [/mm] schreibst, denn auch im 1. Fall ist $p [mm] \not=q$... [/mm]
D.h. '$p [mm] \not=q$ $\iff$ [/mm] "1. Fall oder 3. Fall"!')
So, bin jetzt erstmal weg. Bis später!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Di 07.05.2013 | | Autor: | Mila007 |
Hallo marcel,
>
> wie kommst Du darauf? Das tue ich nicht.
>
klang nur danach. :)
> Aber:
> Der Beweis zu [mm]d(p,q)=d((x_1,y_1),\;(x_2,y_2))=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]p=q\,[/mm]
> steht hier immer noch nicht!
oh...ich geh immer davon aus, dass es mit dem zweiten Fall schon bewiesen ist :D
>
> Fange mal an mit:
> Es sei [mm]d((x_1,y_1),\;(x_2,y_2))=0\,.[/mm] Dann muss [mm]x_1=x_2[/mm]
> sein, denn wäre
> [mm]x_1 \not=x_2\,,[/mm] so folgt [mm]|x_1-x_2| > 0[/mm] und damit...
wäre [mm] d((x_1,y_1),\;(x_2,y_2)) [/mm] nicht mehr = 0, sondern > 0
> Also muss, wie gesagt, [mm]x_1=x_2[/mm] sein. Dann liefert aber...
für [mm] y_1 \not= y_2 [/mm] der 1.Fall und für [mm] y_1 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] , [mm] d((x_1,y_1),\;(x_2,y_2)) [/mm] = [mm] |y_1-y_1| [/mm] = 0 also 2.Fall, oder?
> (P.S. Mit kleinen Modifikationen in Deiner
> Fallunterscheidung mit den 3 Fällen
> oben hätte man auch den Beweis zu [mm]d(p,q)=0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]p=q\,[/mm] schneller:
> Dafür müßtest Du nur im 1. und 3. Fall halt [mm]d(p,q) \red{\;>\;}0[/mm]
> folgern...
> Mach' Dir auch das mal bitte direkt klar!
ok, hab ich mir gemerkt! Danke!
>
> P.P.S. Es ist schlecht, dass Du - bei der
> Fallunterscheidung mit den drei Fällen -
> beim 3. Fall "d.h. [mm]p \not=q[/mm]" schreibst, denn auch im 1.
> Fall ist [mm]p \not=q[/mm]...
> D.h. '[mm]p \not=q[/mm] [mm]\iff[/mm] "1. Fall oder 3. Fall"!')
Jupp, mein Fehler hab nicht drauf geachtet.
liebe Grüße Mila
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo marcel,
>
> >
> > wie kommst Du darauf? Das tue ich nicht.
> >
>
> klang nur danach. :)
>
>
> > Aber:
> > Der Beweis zu [mm]d(p,q)=d((x_1,y_1),\;(x_2,y_2))=0[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]p=q\,[/mm]
> > steht hier immer noch nicht!
>
> oh...ich geh immer davon aus, dass es mit dem zweiten Fall
> schon bewiesen ist :D
Du kannst nicht sagen, dass Du die Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ bewiesen hast,
indem Du $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ begründest...
> > Fange mal an mit:
> > Es sei [mm]d((x_1,y_1),\;(x_2,y_2))=0\,.[/mm] Dann muss [mm]x_1=x_2[/mm]
> > sein, denn wäre
> > [mm]x_1 \not=x_2\,,[/mm] so folgt [mm]|x_1-x_2| > 0[/mm] und damit...
> wäre [mm]d((x_1,y_1),\;(x_2,y_2))[/mm] nicht mehr = 0, sondern > 0
Ja, genauer: Es wäre [mm] $d((x_1,y_1),\,(x_2,y_2))=|y_1|+|y_2|+|x_1-x_2| \ge |x_1-x_2| [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
> > Also muss, wie gesagt, [mm]x_1=x_2[/mm] sein. Dann liefert aber...
> für [mm]y_1 \not= y_2[/mm] der 1.Fall und für [mm]y_1[/mm] = [mm]y_2[/mm] ,
> [mm]d((x_1,y_1),\;(x_2,y_2))[/mm] = [mm]|y_1-y_1|[/mm] = 0 also 2.Fall, oder?
Na, jetzt gehst Du da in Deine Fälle rein. Das passt schon irgendwie, aber
arbeite doch rein per Definitionem - Du brauchst da nichts Neues, was Du
zwischendurch zusammengeschrieben hast:
Wir wissen nun, dass aus [mm] $d((x_1,y_1),\,(x_2,y_2))=0$ [/mm] nun [mm] $x_1=x_2$ [/mm] folgt.
Dann besagt wegen [mm] $x_1=x_2$ [/mm] aber [mm] $d((x_1,y_1),\,(x_2,y_2))=0$ [/mm] nichts anderes
mehr als [mm] $|y_1-y_2|=0\,,$ [/mm] also folgt [mm] $y_1=...$?
[/mm]
Aus [mm] $x_1=x_2$ [/mm] und [mm] $y_1=...$ [/mm] folgt [mm] $(x_1,y_1)=(x_2,...)$ [/mm] (was gehört anstatt
der ... da wohl hin?) und damit [mm] $p=q\,.$
[/mm]
> > (P.S. Mit kleinen Modifikationen in Deiner
> > Fallunterscheidung mit den 3 Fällen
> > oben hätte man auch den Beweis zu [mm]d(p,q)=0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm]p=q\,[/mm] schneller:
> > Dafür müßtest Du nur im 1. und 3. Fall halt [mm]d(p,q) \red{\;>\;}0[/mm]
> > folgern...
> > Mach' Dir auch das mal bitte direkt klar!
> ok, hab ich mir gemerkt! Danke!
Ist Dir das denn klar? Denn so zeigst Du:
Für alle $p,q [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $p [mm] \not=q$ [/mm] gilt $d(p,q) > [mm] 0\,$ [/mm] und zudem gilt [mm] $d(p,p)=0\,.$
[/mm]
Das ist äquivalent zu:
Für alle $p,q [mm] \in \IR^2$ [/mm] gilt $d(p,q) [mm] \ge 0\,,$ [/mm] und: Für alle $p,q [mm] \in \IR^2$ [/mm] gilt
$d(p,q)=0 [mm] \iff p=q\,.$ [/mm]
> > P.P.S. Es ist schlecht, dass Du - bei der
> > Fallunterscheidung mit den drei Fällen -
> > beim 3. Fall "d.h. [mm]p \not=q[/mm]" schreibst, denn auch im 1.
> > Fall ist [mm]p \not=q[/mm]...
> > D.h. '[mm]p \not=q[/mm] [mm]\iff[/mm] "1. Fall oder 3. Fall"!')
> Jupp, mein Fehler hab nicht drauf geachtet.
Es ist für mich schwer, zu erkennen, ob das ein wirklicher "logischer Fehler"
bei Dir war oder nur ein "Flüchtigkeitsfehler". Aufmerksam machen will ich
allemal auf solche Unstimmigkeiten!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ach okay, das kann ich schnell auch noch kontrollieren:
> > (So, und nun mal für Dich:
> > Berechne mir mal bitte [mm]d((3,7),\;(3,12))[/mm] und
> > [mm]d((\pi,3),(3,\sqrt{2}))[/mm]!)
>
> [mm]d((3,7),\;(3,12))[/mm] = |7-12| = |-5| = 5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]d((\pi,3),(3,\sqrt{2}))[/mm] = |3| + [mm]|\sqrt{2}| +|\pi[/mm] -3|
> = 4,55580....
Diese Zahl interessiert mich gar nicht so sehr.
> Das mit der Fallunterscheidung werde ich jetzt probieren.
Okay!
Gruß,
Marcel
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