metrischer Teilraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Mi 24.05.2006 | | Autor: | stak44 |
| Aufgabe | Die Menge I [mm] \subset \IR [/mm] , aufgefasst als metrischer Teilraum von [mm] \IR [/mm] , besitzt die folgende Eigenschaft:
(*) Sind A,B [mm] \subset [/mm] I offen, mit A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] und A [mm] \cup [/mm] B = I, so gilt A = I oder B = I.
Zeigen Sie: I ist ein Intervall. |
Wie zeigt man das?
LG, würd mich auf Antwort freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mi 24.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo stak!
> Die Menge I [mm]\subset \IR[/mm] , aufgefasst als metrischer
> Teilraum von [mm]\IR[/mm] , besitzt die folgende Eigenschaft:
> (*) Sind A,B [mm]\subset[/mm] I offen, mit A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm]
> und A [mm]\cup[/mm] B = I, so gilt A = I oder B = I.
> Zeigen Sie: I ist ein Intervall.
> Wie zeigt man das?
Du musst zeigen, dass fuer jedes $a, b [mm] \in [/mm] I$ auch $[a, b] [mm] \subseteq [/mm] I$ ist, also jedes $c [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] b$. Daraus folgt dann, dass $I$ ein Intervall ist.
Wie du das zeigen kannst? Nimm doch mal an, ein $c$ dazwischen ist nicht in $I$. Damit kannst du dann zwei solche Mengen $A, B$ konstruieren mit $a [mm] \in [/mm] A$ und $b [mm] \in [/mm] B$, die es laut Voraussetzung nicht geben darf. Womit du einen Widerspruch hast und $c [mm] \in [/mm] I$ sein muss.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Do 25.05.2006 | | Autor: | stak44 |
> Du musst zeigen, dass fuer jedes [mm]a, b \in I[/mm] auch [mm][a, b] \subseteq I[/mm]
> ist, also jedes [mm]c \in \IR[/mm] mit [mm]a \le c \le b[/mm]. Daraus folgt
> dann, dass [mm]I[/mm] ein Intervall ist.
Das ist mir klar...
> Wie du das zeigen kannst? Nimm doch mal an, ein [mm]c[/mm]
> dazwischen ist nicht in [mm]I[/mm]. Damit kannst du dann zwei solche
> Mengen [mm]A, B[/mm] konstruieren mit [mm]a \in A[/mm] und [mm]b \in B[/mm], die es
> laut Voraussetzung nicht geben darf. Womit du einen
> Widerspruch hast und [mm]c \in I[/mm] sein muss.
Wie konstruiere ich diese Mengen A und B? Soll ich das so verstehen, dass ich sage, Seinen A,B [mm] \subset [/mm] I. Damit die Eigenschaft gilt muss etweder A oder B die leere Menge sein oder nicht?
Wie bekomme ich das "offen" in den Beweis?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Wie du das zeigen kannst? Nimm doch mal an, ein [mm]c[/mm]
> > dazwischen ist nicht in [mm]I[/mm]. Damit kannst du dann zwei solche
> > Mengen [mm]A, B[/mm] konstruieren mit [mm]a \in A[/mm] und [mm]b \in B[/mm], die es
> > laut Voraussetzung nicht geben darf. Womit du einen
> > Widerspruch hast und [mm]c \in I[/mm] sein muss.
>
> Wie konstruiere ich diese Mengen A und B? Soll ich das so
> verstehen, dass ich sage, Seinen A,B [mm]\subset[/mm] I. Damit die
> Eigenschaft gilt muss etweder A oder B die leere Menge sein
> oder nicht?
> Wie bekomme ich das "offen" in den Beweis?
Versuch das ganze doch erstmal im Spezialfall $I = [mm] \IR \setminus \{ 0 \}$. [/mm] dann ist ja $c = 0$. Wie wuerdest du hier die Mengen $A$ und $B$ waehlen?
LG Felix
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