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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 So 22.01.2006 | | Autor: | Angie |
Hallo,
Ich soll zeigen, dass der Folgenraum [mm] ({0,2})^{N_{0}} [/mm] ( sollen mengenklammern sein) mit der Metrik:
[mm] d((a_{n})_{0}^{\infty},((b_{n})_{0}^{\infty}))= \summe_{n=0}^{\infty} 2^{-n} |a_{n}-b_{n}| [/mm] vollständig ist.
Ich müsste also zeigen, dass jede Cauchyfolge darin konvergiert.
Mir ist nur leider gar nicht klar, wie ich das anstellen soll und ich wäre für einen kleinen Tipp sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> Mir ist nur leider gar nicht klar, wie ich das anstellen soll und ich wäre für einen kleinen Tipp sehr dankbar!
Du könntest versuchen, den Grenzwert zu konstruieren. Zur Bestimmung der ersten $k$ Folgenglieder wählst du ein spätes Folgenglied in der dir gegebenen Cauchy-Folge [von Folgen] aus, sodass es sich von den folgenden Folgen um weniger als [mm] $2^{-k}$ [/mm] unterscheidet [bzgl. der gegebenen Metrik]. Dann müssen alle folgenden Folgen mit der gewählten Folge in den ersten $k$ Folgengliedern übereinstimmen.
So konstruierst du also eine neue Folge. Zu zeigen, dass diese der Grenzwert der dir gegebenen Folgen-"Folge" ist, ist dann nicht mehr schwierig.
Versuchst du es einmal?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 22.01.2006 | | Autor: | Angie |
Vielen Dank für deine Antwort,
ich müsste also einen Grenzwert (eine Folge) konstruieren und dann zeigen, dass die Folge der Grenzwert der Cauchyfolge (von Folgen) ist. Habe ich dann damit auch gezeigt, dass wirklich alle Cauchyfolgen konvergieren?
Ich verstehe aber nicht ganz deine Erklärung wie ich den Grenzwert konstruieren soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> ich müsste also einen Grenzwert (eine Folge) konstruieren und dann zeigen, dass die Folge der Grenzwert der Cauchyfolge (von Folgen) ist.
Genau.
> Habe ich dann damit auch gezeigt, dass wirklich alle Cauchyfolgen konvergieren?
Ja, denn die betrachtete Cauchy-Folge war beliebig gewählt.
> Ich verstehe aber nicht ganz deine Erklärung wie ich den Grenzwert konstruieren soll...
Was genau verstehst du nicht?
Anschaulich: da eine Cauchy-Folge vorliegt, unterscheiden sich die Glieder immer weniger; irgendwann unterscheiden sie sich die Folgen so wenig, dass sie in einer vorher gewählten Anzahl der ersten Folgenglieder übereinstimmen müssen.
Formeller: Es sei [mm] $((f^n_{i})_{i\in \IN})_{n\in \IN}$ [/mm] die gegebene Cauchy-Folge von Folgen [mm] $(f^n_i)_{i\in \IN}$. [/mm] Für ein [mm] $k\in\IN_0$ [/mm] existiert nun ein [mm] $n_k\in\IN$ [/mm] so, dass [mm] $d(f^{m},f^{n_k})<2^{-k}$ [/mm] für alle [mm] $m\geq n_k$. [/mm] Daraus folgt [mm] $f^m_{k} [/mm] = [mm] f^{n_k}_{k}$ [/mm] für alle [mm] $m\geq n_k$, [/mm] da anderenfalls [mm] $d(f^m_{k},f^{n_k}_{k})\geq 2^{-k}|f^m_{k}-f^{n_k}_{k}|\geq 2^{-k}$ [/mm] wäre - Widerspruch.
Ab [mm] $f^{n_k}$ [/mm] stimmen also alle Folgen in Folgenglieder $k$ (und logischer weise auch in allen vorangegangenen) überein.
Liebe Grüße,
Hanno
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