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| Aufgabe | Sei X eine torische Fläche, die genau einen singulären Punkt p hat. Sei [mm]\varphi \colon Y \rightarrow X[/mm] eine Auflösung von Singularitäten mit der Eigenschaft, dass [mm]E \cdot E \neq -1[/mm] für jede irreduzible Komponente E von [mm]\varphi^{-1} (p) [/mm] gilt. Zeige, dass [mm] \varphi [/mm] eine minimale Auflösung ist.
Sei dazu [mm]\psi \colon Z \rightarrow X[/mm] eine weitere Auslösung von Singularitäten. Setze [mm]S = Z \times_X Y [/mm] und sei R eine Auflösung von S. Dann haben wir ein kommutatives Diagramm von Morphismen
[mm] \begin{matrix}
R & \stackrel{\alpha}{\rightarrow} &Y\\
\downarrow \beta & & \downarrow \varphi\\
Z & \stackrel{\psi}{\rightarrow} & X
\end{matrix}
[/mm]
(a) Es reicht zu zeigen, dass [mm]\beta[/mm] ein Isomorphismus ist.
(b) Falls nicht, wende Hartshorne V.5.3 an um zu zeigen, dass [mm]\beta[/mm] als Sequenz von Aufblasungen von Punkten faktorisiert. Also enthält R Kurven L in der exzeptionellen Faser über p mit [mm]L\cdot L =-1[/mm].
(c) Sei L eine irreduzible Kurve auf R mit [mm]L \cdot L =-1[/mm]. Zeige, dass [mm]E\cdot E =-1[/mm] für [mm]E = \alpha(L)[/mm] gilt.
(d) Folgere, dass [mm]\beta[/mm] ein Isomorphismus ist. |
Ich versuche gerade einige Übungsaufgaben aus dem Buch Toric varieties von Cox, Little und Schenck zu lösen, darunter auch die Aufgabe 10.4.7, deren Aufgabentext ich hier abgetippt habe.
Die Aufgabenteile (a) (wenn [mm]\beta[/mm] ein Isomorphismus ist, dann gilt [mm]\psi = \varphi \circ (\alpha \circ \beta^{-1})[/mm], d.h. [mm]\varphi[/mm] ist minimal) und (d) (dann hat man einen Widerspruch zur Voraussetzung, d.h. [mm]\beta[/mm] ist ein Iso) sind mir klar, aber mit den Aufgabenteilen (b) und (c) komme ich nicht weiter. Ich komme auch nicht darauf, wie ich V.5.3 von Hartshorne anwenden soll.
Es wäre toll, wenn mit jemand weiterhelfen könnte!
Als Info:
Theorem V.5.3, Hartshorne:
Sei [mm] f\colon X' \rightarrow X [/mm] ein birationaler Morphismus von (projektiven, nicht-singulären) Flächen. Sei p ein fundamentaler Punkt von [mm]f^{-1}[/mm]. Dann faktorisiert f durch die monoidale Transformation [mm]\pi \colon \widetilde{X} \rightarrow X[/mm] mit Zentrum p.
Definition minimale Auflösung:
Eine Auflösung von Singularitäten [mm]\varphi \colon Y \rightarrow X[/mm] heißt minimal, falls für jede weitere Auflösung [mm]\psi \colon Z \rightarrow X[/mm] ein Morphismus [mm]f \colon Z \rightarrow Y[/mm] existiert mit [mm]\varphi \circ f = \psi[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 08.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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